Страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

158*. Подберите $x_0$ и разложите на множители многочлен:

a) $x^2 + 3x - 4 = $

б) $x^2 + 5x - 14 = $

в) $x^2 - x - 6 = $

г) $x^2 - 2x - 3 = $

a) Чтобы разложить на множители многочлен $x^2 + 3x - 4$, необходимо найти его корни. Согласно заданию, сначала подберем один корень $x_0$. По теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена. В данном случае свободный член равен -4, его делители: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим значение $x_0 = 1$. Подставим в многочлен: $1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.
Так как значение многочлена равно нулю, то $x_0 = 1$ является его корнем. Следовательно, $(x - 1)$ является одним из множителей.
Для нахождения второго корня воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $x^2 + 3x - 4 = 0$, значит $q = -4$.
Пусть $x_1 = 1$, тогда $1 \cdot x_2 = -4$, откуда $x_2 = -4$.
Разложение квадратного многочлена имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. Поскольку старший коэффициент $a=1$, получаем:
$x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x - (-4)) = (x - 1)(x + 4)$.
Ответ: $(x - 1)(x + 4)$.

б) Рассмотрим многочлен $x^2 + 5x - 14$. Делители свободного члена -14: $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.
Подберем корень $x_0$. Проверим $x_0 = 2$: $2^2 + 5 \cdot 2 - 14 = 4 + 10 - 14 = 0$.
Значит, $x_0 = 2$ является корнем, а $(x - 2)$ — множителем.
По теореме Виета, произведение корней уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$ равно -14. Пусть $x_1 = 2$.
Тогда $2 \cdot x_2 = -14$, откуда $x_2 = -7$.
Таким образом, разложение на множители:
$x^2 + 5x - 14 = (x - 2)(x - (-7)) = (x - 2)(x + 7)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 7)$.

в) Рассмотрим многочлен $x^2 - x - 6$. Делители свободного члена -6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Подберем корень $x_0$. Проверим $x_0 = 3$: $3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$.
Значит, $x_0 = 3$ является корнем, а $(x - 3)$ — множителем.
(Также можно было проверить $x_0 = -2$: $(-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$).
По теореме Виета, сумма корней уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ равна $-(-1) = 1$. Пусть $x_1 = 3$.
Тогда $3 + x_2 = 1$, откуда $x_2 = -2$.
Таким образом, разложение на множители:
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2)$.
Ответ: $(x + 2)(x - 3)$.

г) Рассмотрим многочлен $x^2 - 2x - 3$. Делители свободного члена -3: $\pm1, \pm3$.
Подберем корень $x_0$. Проверим $x_0 = -1$: $(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.
Значит, $x_0 = -1$ является корнем, а $(x - (-1)) = (x + 1)$ — множителем.
По теореме Виета, сумма корней уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равна $-(-2) = 2$. Пусть $x_1 = -1$.
Тогда $-1 + x_2 = 2$, откуда $x_2 = 3$.
Таким образом, разложение на множители:
$x^2 - 2x - 3 = (x - (-1))(x - 3) = (x + 1)(x - 3)$.
Ответ: $(x + 1)(x - 3)$.

159. Упростите целое выражение:

а) $3(x + 3) + 2(x - 4) = \dots$

б) $4(3x - 1) - 3(x + 2) = \dots$

в) $3(x^2 + 2x - 3) - x(3x - 6) = \dots$

а)

Для упрощения выражения $3(x + 3) + 2(x - 4)$ необходимо раскрыть скобки, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобки, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскрываем первую скобку: $3 \cdot x + 3 \cdot 3 = 3x + 9$.

2. Раскрываем вторую скобку: $2 \cdot x + 2 \cdot (-4) = 2x - 8$.

3. Складываем полученные выражения: $(3x + 9) + (2x - 8)$.

4. Группируем и складываем подобные члены (члены с $x$ и свободные члены): $(3x + 2x) + (9 - 8) = 5x + 1$.

Итак, $3(x + 3) + 2(x - 4) = 3x + 9 + 2x - 8 = 5x + 1$.

Ответ: $5x + 1$

б)

Для упрощения выражения $4(3x - 1) - 3(x + 2)$ также раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Обращаем внимание на знак минус перед второй скобкой.

1. Раскрываем первую скобку: $4 \cdot 3x + 4 \cdot (-1) = 12x - 4$.

2. Раскрываем вторую скобку, учитывая знак минус: $-3 \cdot x - 3 \cdot 2 = -3x - 6$.

3. Записываем выражение без скобок: $12x - 4 - 3x - 6$.

4. Группируем и складываем подобные члены: $(12x - 3x) + (-4 - 6) = 9x - 10$.

Итак, $4(3x - 1) - 3(x + 2) = 12x - 4 - 3x - 6 = 9x - 10$.

Ответ: $9x - 10$

в)

Для упрощения выражения $3(x^2 + 2x - 3) - x(3x - 6)$ действуем аналогично предыдущим пунктам.

1. Раскрываем первую скобку: $3 \cdot x^2 + 3 \cdot 2x + 3 \cdot (-3) = 3x^2 + 6x - 9$.

2. Раскрываем вторую скобку, умножая на $-x$: $-x \cdot 3x - x \cdot (-6) = -3x^2 + 6x$.

3. Записываем выражение без скобок: $3x^2 + 6x - 9 - 3x^2 + 6x$.

4. Группируем и приводим подобные слагаемые (члены с $x^2$, члены с $x$ и свободные члены): $(3x^2 - 3x^2) + (6x + 6x) - 9$.

5. Выполняем действия: $0 + 12x - 9 = 12x - 9$.

Итак, $3(x^2 + 2x - 3) - x(3x - 6) = 3x^2 + 6x - 9 - 3x^2 + 6x = 12x - 9$.

Ответ: $12x - 9$

329. Разделите многочлен A на многочлен B, если:

a) $A = x^2 + 2x + 5, B = x + 1;$

б) $A = 3x^3 + 5x^2 + 7x + 9, B = x^2 + 1;$

в) $A = 2x^2 - 4x + 11, B = x - 2;$

г) $A = 4x^3 - x^2 + 3x - 19, B = x^2 + 3x - 1.$

а) Выполним деление многочлена $A = x^2 + 2x + 5$ на многочлен $B = x + 1$ методом деления столбиком (уголком).

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^2$) на старший член делителя ($x$), получаем $x^2 / x = x$. Это первый член частного.
Умножаем делитель $x + 1$ на $x$: $x \cdot (x + 1) = x^2 + x$.
Вычитаем полученный многочлен из делимого: $(x^2 + 2x + 5) - (x^2 + x) = x + 5$.

Шаг 2: Теперь делим старший член нового делимого ($x$) на старший член делителя ($x$), получаем $x / x = 1$. Это второй член частного.
Умножаем делитель $x + 1$ на $1$: $1 \cdot (x + 1) = x + 1$.
Вычитаем из нового делимого: $(x + 5) - (x + 1) = 4$.

Степень остатка $4$ (нулевая степень) меньше степени делителя $x+1$ (первая степень), поэтому деление завершено. В результате деления многочлена $A$ на многочлен $B$ мы получили неполное частное $x + 1$ и остаток $4$.

Это можно записать в виде равенства: $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)(x + 1) + 4$.

Ответ: неполное частное $x + 1$, остаток $4$.

б) Выполним деление многочлена $A = 3x^3 + 5x^2 + 7x + 9$ на многочлен $B = x^2 + 1$.

Шаг 1: Делим $3x^3$ на $x^2$, получаем $3x$.
Умножаем $x^2 + 1$ на $3x$: $3x \cdot (x^2 + 1) = 3x^3 + 3x$.
Вычитаем из делимого: $(3x^3 + 5x^2 + 7x + 9) - (3x^3 + 3x) = 5x^2 + 4x + 9$.

Шаг 2: Делим $5x^2$ на $x^2$, получаем $5$.
Умножаем $x^2 + 1$ на $5$: $5 \cdot (x^2 + 1) = 5x^2 + 5$.
Вычитаем: $(5x^2 + 4x + 9) - (5x^2 + 5) = 4x + 4$.

Степень остатка $4x + 4$ (первая степень) меньше степени делителя $x^2 + 1$ (вторая степень), деление завершено. Неполное частное равно $3x + 5$, остаток равен $4x + 4$.

Ответ: неполное частное $3x + 5$, остаток $4x + 4$.

в) Выполним деление многочлена $A = 2x^2 - 4x + 11$ на многочлен $B = x - 2$.

Шаг 1: Делим $2x^2$ на $x$, получаем $2x$.
Умножаем $x - 2$ на $2x$: $2x \cdot (x - 2) = 2x^2 - 4x$.
Вычитаем из делимого: $(2x^2 - 4x + 11) - (2x^2 - 4x) = 11$.

Степень остатка $11$ (нулевая степень) меньше степени делителя $x - 2$ (первая степень), деление завершено. Неполное частное равно $2x$, остаток равен $11$.

Ответ: неполное частное $2x$, остаток $11$.

г) Выполним деление многочлена $A = 4x^3 - x^2 + 3x - 19$ на многочлен $B = x^2 + 3x - 1$.

Шаг 1: Делим $4x^3$ на $x^2$, получаем $4x$.
Умножаем $x^2 + 3x - 1$ на $4x$: $4x \cdot (x^2 + 3x - 1) = 4x^3 + 12x^2 - 4x$.
Вычитаем из делимого: $(4x^3 - x^2 + 3x - 19) - (4x^3 + 12x^2 - 4x) = -13x^2 + 7x - 19$.

Шаг 2: Делим $-13x^2$ на $x^2$, получаем $-13$.
Умножаем $x^2 + 3x - 1$ на $-13$: $-13 \cdot (x^2 + 3x - 1) = -13x^2 - 39x + 13$.
Вычитаем: $(-13x^2 + 7x - 19) - (-13x^2 - 39x + 13) = 46x - 32$.

Степень остатка $46x - 32$ (первая степень) меньше степени делителя $x^2 + 3x - 1$ (вторая степень), деление завершено. Неполное частное равно $4x - 13$, остаток равен $46x - 32$.

Ответ: неполное частное $4x - 13$, остаток $46x - 32$.