Страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

168. Докажите формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Доказательство. $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

Доказательство. Формула квадрата суммы доказывается путем раскрытия скобок в выражении $(a + b)^2$.

По определению, возведение в квадрат означает умножение выражения на само себя:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$

Теперь применим правило умножения многочленов: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго.
$(a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$

Выполним умножение и упростим полученное выражение:
$a \cdot a = a^2$
$b \cdot b = b^2$

Слагаемые $a \cdot b$ и $b \cdot a$ являются подобными, так как от перестановки множителей произведение не меняется ($ab = ba$). Приведем подобные слагаемые:
$ab + ba = ab + ab = 2ab$

Теперь соберем все члены вместе:
$a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы завершили доказательство. Полная цепочка преобразований выглядит так:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Что и требовалось доказать.

Ответ: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

169. Примените формулу квадрата суммы:

$(a + 1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1;$

$(2a + 1)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 + 4a + 1$

а) $(a + 2)^2 = a^2 + \ldots + 2^2 = \ldots$

б) $(a + 3)^2 = a^2 + \ldots$

в) $(a + 4)^2 = \ldots$

г) $(a + 5)^2 = \ldots$

д) $(3a + 1)^2 = \ldots$

е) $(2a + 3)^2 = \ldots$

ж) $(3a + 0,5)^2 = \ldots$

а) Для решения применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. В данном случае $x=a$ и $y=2$.
$(a + 2)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 + 4a + 4$.
Ответ: $a^2 + 4a + 4$.

б) Аналогично предыдущему пункту, применяем формулу квадрата суммы для $(a + 3)^2$, где $x=a$ и $y=3$.
$(a + 3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$.
Ответ: $a^2 + 6a + 9$.

в) Применяем формулу квадрата суммы для $(a + 4)^2$, где $x=a$ и $y=4$.
$(a + 4)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 + 8a + 16$.
Ответ: $a^2 + 8a + 16$.

г) Применяем формулу квадрата суммы для $(a + 5)^2$, где $x=a$ и $y=5$.
$(a + 5)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 + 10a + 25$.
Ответ: $a^2 + 10a + 25$.

д) В данном случае $x=3a$ и $y=1$.
$(3a + 1)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = 9a^2 + 6a + 1$.
Ответ: $9a^2 + 6a + 1$.

е) В данном случае $x=2a$ и $y=3$.
$(2a + 3)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 + 12a + 9$.
Ответ: $4a^2 + 12a + 9$.

ж) В данном случае $x=3a$ и $y=0,5$.
$(3a + 0,5)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 0,5 + (0,5)^2 = 9a^2 + 3a + 0,25$.
Ответ: $9a^2 + 3a + 0,25$.

170. Запишите многочлен в виде квадрата суммы:

$a^2 + 14a + 49 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 7 + 7^2 = (a + 7)^2$

a) $a^2 + 16a + 64 = a^2 + \ldots + 8^2 = \ldots$

б) $4a^2 + 12a + 9 = (2a)^2 + \ldots$

в) $9a^2 + 12a + 4 = \ldots$

г) $4a^2 + 2a + 0.25 = \ldots$

д) $0.25a^2 + 2a + 4 = \ldots$

Для того чтобы записать многочлен в виде квадрата суммы, используется формула сокращенного умножения: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В каждом из заданий необходимо определить слагаемые $x$ и $y$, квадраты которых ($x^2$ и $y^2$) являются первым и третьим членами многочлена, а затем проверить, равен ли средний член многочлена их удвоенному произведению ($2xy$).

а) $a^2 + 16a + 64$
В этом многочлене первый член $a^2$ является квадратом $a$, а третий член $64$ — это квадрат $8$.
Проверяем средний член: он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $8$.
$2 \cdot a \cdot 8 = 16a$.
Так как средний член совпадает, многочлен является квадратом суммы $(a+8)$.
$a^2 + 16a + 64 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 8 + 8^2 = (a + 8)^2$.
Ответ: $(a + 8)^2$.

б) $4a^2 + 12a + 9$
Здесь первый член $4a^2$ является квадратом $2a$, а третий член $9$ — это квадрат $3$.
Проверяем средний член: $2 \cdot 2a \cdot 3 = 12a$.
Условие выполняется, следовательно, многочлен является квадратом суммы $(2a+3)$.
$4a^2 + 12a + 9 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = (2a + 3)^2$.
Ответ: $(2a + 3)^2$.

в) $9a^2 + 12a + 4$
Первый член $9a^2$ — это квадрат $3a$, третий член $4$ — это квадрат $2$.
Проверяем средний член: $2 \cdot 3a \cdot 2 = 12a$.
Условие выполняется, значит, это квадрат суммы $(3a+2)$.
$9a^2 + 12a + 4 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2 + 2^2 = (3a + 2)^2$.
Ответ: $(3a + 2)^2$.

г) $4a^2 + 2a + 0,25$
Первый член $4a^2$ — это квадрат $2a$, третий член $0,25$ — это квадрат $0,5$.
Проверяем средний член: $2 \cdot 2a \cdot 0,5 = 2a$.
Условие выполняется, значит, это квадрат суммы $(2a+0,5)$.
$4a^2 + 2a + 0,25 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 0,5 + (0,5)^2 = (2a + 0,5)^2$.
Ответ: $(2a + 0,5)^2$.

д) $0,25a^2 + 2a + 4$
Первый член $0,25a^2$ — это квадрат $0,5a$, третий член $4$ — это квадрат $2$.
Проверяем средний член: $2 \cdot 0,5a \cdot 2 = 2a$.
Условие выполняется, значит, это квадрат суммы $(0,5a+2)$.
$0,25a^2 + 2a + 4 = (0,5a)^2 + 2 \cdot 0,5a \cdot 2 + 2^2 = (0,5a + 2)^2$.
Ответ: $(0,5a + 2)^2$.