Страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

163. Заполните таблицу:

$x$ 0 1 -1 2 -2 3 -3

$2x - 1$ -1 1

$x^2 + 1$ 1

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения $x$ из верхней строки вычислить соответствующие значения выражений $2x - 1$ и $x^2 + 1$.

Вычисление значений для выражения $2x - 1$

Вычислим значения для пустых ячеек в строке $2x - 1$. Заданные значения для $x=0$ и $x=1$ уже верны: $2 \cdot 0 - 1 = -1$ и $2 \cdot 1 - 1 = 1$.

При $x = -1$:

Подставляем значение в выражение: $2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.

Ответ: -3

При $x = 2$:

Подставляем значение в выражение: $2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$.

Ответ: 3

При $x = -2$:

Подставляем значение в выражение: $2 \cdot (-2) - 1 = -4 - 1 = -5$.

Ответ: -5

При $x = 3$:

Подставляем значение в выражение: $2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$.

Ответ: 5

При $x = -3$:

Подставляем значение в выражение: $2 \cdot (-3) - 1 = -6 - 1 = -7$.

Ответ: -7

Вычисление значений для выражения $x^2 + 1$

Вычислим значения для пустых ячеек в строке $x^2 + 1$. Заданное значение для $x=0$ уже верно: $0^2 + 1 = 1$.

При $x = 1$:

Подставляем значение в выражение: $1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

При $x = -1$:

Подставляем значение в выражение: $(-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

При $x = 2$:

Подставляем значение в выражение: $2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

Ответ: 5

При $x = -2$:

Подставляем значение в выражение: $(-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

Ответ: 5

При $x = 3$:

Подставляем значение в выражение: $3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.

Ответ: 10

При $x = -3$:

Подставляем значение в выражение: $(-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.

Ответ: 10

Итоговая заполненная таблица

164. Вычислите значение выражения при заданном значении букв.

Если $x = 1$, $y = 3\frac{6}{7}$, то

$4y^2 + (x - 2y)(x + 2y) = 4y^2 + (x^2 - 2xy + 2xy - 4y^2) = 4y^2 + x^2 - 4y^2 = x^2 = 1^2 = 1.$

Как видим, значение выражения зависит только от значения $x$, поэтому если сразу подставить значения $x$ и $y$ в исходное выражение, то в данном примере это приведёт к лишним вычислениям.

a) Если $x = -5\frac{7}{9}$, $y = 2,5$, то $(x - 2y)(x + 2y) - x^2 = \dots$

б) Если $x = 2$, $y = 2,13$, то $(2x - 3y)(2x + 3y) + 9y^2 = \dots$

а)

Сначала упростим данное выражение. Выражение $(x - 2y)(x + 2y)$ является формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Применим эту формулу к нашему выражению:

$(x - 2y)(x + 2y) - x^2 = (x^2 - (2y)^2) - x^2 = x^2 - 4y^2 - x^2 = -4y^2$

Как видим, значение выражения зависит только от значения переменной $y$, а значение $x$ не требуется. Подставим данное значение $y = 2,5$ в упрощенное выражение:

$-4y^2 = -4 \cdot (2,5)^2 = -4 \cdot 6,25 = -25$

Ответ: -25

б)

Сначала упростим данное выражение. Выражение $(2x - 3y)(2x + 3y)$ также является формулой разности квадратов. Применим эту формулу, где $a = 2x$ и $b = 3y$:

$(2x - 3y)(2x + 3y) + 9y^2 = ((2x)^2 - (3y)^2) + 9y^2 = (4x^2 - 9y^2) + 9y^2 = 4x^2 - 9y^2 + 9y^2 = 4x^2$

Как видим, значение выражения зависит только от значения переменной $x$, а значение $y$ не требуется. Подставим данное значение $x = 2$ в упрощенное выражение:

$4x^2 = 4 \cdot (2)^2 = 4 \cdot 4 = 16$

Ответ: 16

165. Является ли данное равенство тождеством? Если нет, то укажите значение неизвестного, при котором это равенство неверно:

$x(x + 1) = x^2 + 1$ — нет, $x = 0$

а) $5(x - 3) = 5x - 3$ — ....

б) $x(x + 1) = x^2 + x$ — ......

в) $5(x - 3) = 5x - 15$ — ....

а) $5(x - 3) = 5x - 3$

Чтобы проверить, является ли данное равенство тождеством, необходимо преобразовать одну или обе его части. Преобразуем левую часть, раскрыв скобки с помощью распределительного свойства умножения: $a(b-c) = ab - ac$.

$5(x - 3) = 5 \cdot x - 5 \cdot 3 = 5x - 15$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства: $5x - 15 = 5x - 3$.

Если вычесть из обеих частей выражения $5x$, то получится неверное числовое равенство: $-15 = -3$.

Это означает, что исходное равенство неверно при любом значении переменной $x$. Следовательно, оно не является тождеством.

В качестве примера можно указать любое значение $x$. Возьмем, например, $x = 1$.

Левая часть: $5(1 - 3) = 5 \cdot (-2) = -10$.

Правая часть: $5 \cdot 1 - 3 = 5 - 3 = 2$.

Так как $-10 \neq 2$, равенство при $x=1$ неверно.

Ответ: нет, не является тождеством. Например, при $x = 1$ равенство неверно.

б) $x(x + 1) = x^2 + x$

Преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки: $x(x + 1) = x \cdot x + x \cdot 1 = x^2 + x$.

После преобразования левая часть стала полностью идентичной правой части: $x^2 + x = x^2 + x$.

Это означает, что равенство верно при любом допустимом значении переменной $x$. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: да, является тождеством.

в) $5(x - 3) = 5x - 15$

Преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки: $5(x - 3) = 5 \cdot x - 5 \cdot 3 = 5x - 15$.

После преобразования левая часть стала полностью идентичной правой части: $5x - 15 = 5x - 15$.

Это означает, что равенство верно при любом допустимом значении переменной $x$. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: да, является тождеством.

330. Найдите многочлен A, для которого верно равенство:

a) $x^6 - 1 = (x^3 + 1) \cdot A$;

б) $x^6 - 1 = (x^2 - 1) \cdot A$;

в) $x^6 - 1 = (x + 1) \cdot A$.

а)

Дано равенство: $x^6 - 1 = (x^3 + 1) \cdot A$.

Чтобы найти многочлен A, выразим его из этого равенства. Для этого нужно разделить многочлен $x^6 - 1$ на многочлен $x^3 + 1$:

$A = \frac{x^6 - 1}{x^3 + 1}$

Для упрощения этого выражения разложим числитель $x^6 - 1$ на множители. Представим его как разность квадратов, используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$ и $b = 1$.

$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$

Теперь подставим это разложение в выражение для A:

$A = \frac{(x^3 - 1)(x^3 + 1)}{x^3 + 1}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^3 + 1)$:

$A = x^3 - 1$

Ответ: $A = x^3 - 1$.

б)

Дано равенство: $x^6 - 1 = (x^2 - 1) \cdot A$.

Выразим многочлен A из равенства:

$A = \frac{x^6 - 1}{x^2 - 1}$

В этот раз представим числитель $x^6 - 1$ как разность кубов, используя формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x^2$ и $b = 1$.

$x^6 - 1 = (x^2)^3 - 1^3 = (x^2 - 1)((x^2)^2 + x^2 \cdot 1 + 1^2) = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$

Подставим полученное разложение в выражение для A:

$A = \frac{(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)}{x^2 - 1}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^2 - 1)$:

$A = x^4 + x^2 + 1$

Ответ: $A = x^4 + x^2 + 1$.

в)

Дано равенство: $x^6 - 1 = (x + 1) \cdot A$.

Выразим многочлен A:

$A = \frac{x^6 - 1}{x + 1}$

Для нахождения A разложим числитель $x^6 - 1$ на множители наиболее полным образом. Используем результаты предыдущих пунктов и формулы суммы и разности кубов:

$x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$

Разложим каждый из множителей:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Таким образом, полное разложение $x^6 - 1$ выглядит так:

$x^6 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)$

Подставим это в выражение для A:

$A = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1}$

Сократим дробь на $(x + 1)$:

$A = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

Мы знаем, что $(x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1$. Перегруппируем множители:

$A = (x^3 - 1)(x^2 - x + 1)$

Теперь раскроем скобки, чтобы получить A в виде многочлена:

$A = x^3(x^2 - x + 1) - 1(x^2 - x + 1) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$

Ответ: $A = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$.