Страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

177. Выделите полный квадрат из многочлена:

$a^2 + 2a + 13 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 + 12 = (a + 1)^2 + 12$

а) $a^2 - 4a + 3 =$

б) $a^2 + 6a + 11 =$

в) $4a^2 - 4a - 1 =$

г) $9a^2 + 6a + 4 =$

д) $9a^2 - 12a + 5 =$

а)

Чтобы выделить полный квадрат из многочлена $a^2 - 4a + 3$, мы используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.В нашем случае, $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $x = a$.Член $-4a$ соответствует $-2xy$. Подставляя $x=a$, получаем $-2ay = -4a$, из чего следует, что $y=2$.Для полного квадрата нам необходим член $y^2$, который равен $2^2=4$.Мы можем переписать исходный многочлен, прибавив и отняв 4, чтобы не изменить его значение:$a^2 - 4a + 3 = (a^2 - 4a + 4) - 4 + 3$.Теперь первые три члена образуют полный квадрат $(a-2)^2$. Выполним оставшееся вычитание:$(a - 2)^2 - 1$.

Ответ: $(a - 2)^2 - 1$

б)

Для выделения полного квадрата из многочлена $a^2 + 6a + 11$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.Здесь $x^2$ соответствует $a^2$, значит $x = a$.Член $6a$ соответствует $2xy$. Подставляя $x=a$, получаем $2ay = 6a$, откуда $y=3$.Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 3^2 = 9$.Перепишем исходное выражение, прибавив и отняв 9:$a^2 + 6a + 11 = (a^2 + 6a + 9) - 9 + 11$.Сгруппировав первые три члена, получаем полный квадрат $(a+3)^2$. Выполняем оставшееся сложение:$(a + 3)^2 + 2$.

Ответ: $(a + 3)^2 + 2$

в)

Рассмотрим многочлен $4a^2 - 4a - 1$. Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.Первый член $4a^2$ является квадратом выражения $2a$, т.е. $x^2 = (2a)^2$, откуда $x = 2a$.Второй член $-4a$ соответствует $-2xy$. Подставляя $x=2a$, получаем $-2(2a)y = -4a$, или $-4ay = -4a$, откуда $y=1$.Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 1^2 = 1$.Прибавим и вычтем 1 в исходном выражении:$4a^2 - 4a - 1 = (4a^2 - 4a + 1) - 1 - 1$.Первые три члена образуют полный квадрат $(2a - 1)^2$. Выполняем оставшееся вычитание:$(2a - 1)^2 - 2$.

Ответ: $(2a - 1)^2 - 2$

г)

Рассмотрим многочлен $9a^2 + 6a + 4$. Используем формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.Первый член $9a^2$ это $(3a)^2$, значит $x=3a$.Второй член $6a$ соответствует $2xy$. Подставляя $x=3a$, получаем $2(3a)y = 6a$, или $6ay = 6a$, откуда $y=1$.Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 1^2 = 1$.Представим число 4 как $1+3$ и перепишем выражение:$9a^2 + 6a + 4 = (9a^2 + 6a + 1) + 3$.Первые три члена образуют полный квадрат $(3a + 1)^2$. Таким образом, выражение принимает вид:$(3a + 1)^2 + 3$.

Ответ: $(3a + 1)^2 + 3$

д)

Рассмотрим многочлен $9a^2 - 12a + 5$. Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.Первый член $9a^2$ равен $(3a)^2$, значит $x=3a$.Второй член $-12a$ соответствует $-2xy$. Подставляя $x=3a$, получаем $-2(3a)y = -12a$, или $-6ay = -12a$, откуда $y=2$.Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 2^2 = 4$.Представим число 5 как $4+1$ и перепишем выражение:$9a^2 - 12a + 5 = (9a^2 - 12a + 4) + 1$.Первые три члена образуют полный квадрат $(3a - 2)^2$. Таким образом, выражение принимает вид:$(3a - 2)^2 + 1$.

Ответ: $(3a - 2)^2 + 1$

178. Докажите, что при каждом значении a выражение принимает положительные значения:

$a^2 - 2a + 12 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 + 11 = (a - 1)^2 + 11 > 0$, так как $(a - 1)^2 \geq 0$ и $11 > 0$

a) $a^2 + 4a + 5$;

б) $a^2 - 6a + 10$;

в) $4a^2 + 4a + 9$;

г) $a^2 - a + 1$;

д) $9a^2 + 12a + 17$.

а) Чтобы доказать, что выражение $a^2 + 4a + 5$ всегда положительно, выделим в нем полный квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. В нашем случае $x=a$, а член $2xy$ соответствует $4a$, откуда $y=2$. Таким образом, нам нужно слагаемое $y^2 = 2^2 = 4$. Представим выражение в следующем виде:
$a^2 + 4a + 5 = (a^2 + 4a + 4) - 4 + 5 = (a + 2)^2 + 1$.
Выражение $(a + 2)^2$ является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда неотрицательно: $(a + 2)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.Сумма неотрицательного числа $(a + 2)^2$ и положительного числа $1$ всегда положительна. Таким образом, $(a + 2)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1 > 0$.Следовательно, выражение $a^2 + 4a + 5$ принимает положительные значения при любом $a$.
Ответ: Доказано.

б) Для выражения $a^2 - 6a + 10$ применим метод выделения полного квадрата, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. Здесь $x=a$, а $2xy$ соответствует $6a$, откуда $y=3$. Требуемое слагаемое $y^2=3^2=9$.
$a^2 - 6a + 10 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 9) - 9 + 10 = (a - 3)^2 + 1$.
Так как $(a - 3)^2 \ge 0$ для любого $a$ (квадрат любого числа неотрицателен), а $1 > 0$, то их сумма $(a - 3)^2 + 1$ всегда будет положительна: $(a - 3)^2 + 1 \ge 0+1=1 > 0$.Следовательно, выражение $a^2 - 6a + 10$ всегда положительно.
Ответ: Доказано.

в) Рассмотрим выражение $4a^2 + 4a + 9$. Выделим полный квадрат. Заметим, что $4a^2 = (2a)^2$. Используя формулу квадрата суммы, где $x=2a$ и $2xy = 4a$, находим $y=1$.
$4a^2 + 4a + 9 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 - 1^2 + 9 = ((2a)^2 + 4a + 1) + 8 = (2a + 1)^2 + 8$.
Выражение $(2a + 1)^2$ как квадрат любого числа неотрицательно: $(2a + 1)^2 \ge 0$. Число $8$ положительно.Их сумма $(2a + 1)^2 + 8$ всегда будет положительной, так как $(2a + 1)^2 + 8 \ge 0 + 8 = 8 > 0$.Таким образом, выражение $4a^2 + 4a + 9$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: Доказано.

г) Для выражения $a^2 - a + 1$ выделим полный квадрат. Используя формулу квадрата разности, где $x=a$ и $2xy = a$, находим $y=1/2$.
$a^2 - a + 1 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (a^2 - a + \frac{1}{4}) + \frac{3}{4} = (a - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
Так как $(a - \frac{1}{2})^2 \ge 0$ при любом значении $a$, а $\frac{3}{4} > 0$, то их сумма $(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ всегда положительна: $(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \ge 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} > 0$.Значит, выражение $a^2 - a + 1$ всегда положительно.
Ответ: Доказано.

д) Рассмотрим выражение $9a^2 + 12a + 17$. Выделим в нем полный квадрат. Заметим, что $9a^2 = (3a)^2$. Используя формулу квадрата суммы, где $x=3a$ и $2xy = 12a$, находим $y=2$.
$9a^2 + 12a + 17 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2 + 2^2 - 2^2 + 17 = ((3a)^2 + 12a + 4) + 13 = (3a + 2)^2 + 13$.
Выражение $(3a + 2)^2$ всегда неотрицательно: $(3a + 2)^2 \ge 0$ для любого $a$. Число $13$ положительно.Следовательно, их сумма $(3a + 2)^2 + 13$ всегда будет положительной: $(3a + 2)^2 + 13 \ge 0 + 13 = 13 > 0$.Выражение $9a^2 + 12a + 17$ принимает положительные значения при любом $a$.
Ответ: Доказано.

337. Решите систему уравнений «треугольного» вида:

а) $\begin{cases} 5x - 7y = 2, \\ 2y = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 3y = 1, \\ 5y = 25; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 7x + 3y = 4, \\ -3x = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y + z = 9, \\ 2y - z = 2, \\ 3z = 12; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x + 2y - 3z = -5, \\ 3y + z = -1, \\ 7z = 14; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 2x - 3y + 4z = 4, \\ 5y - 6z = 4, \\ 7z = 7; \end{cases}$

ж) $\begin{cases} x + 2y + 3z = 10, \\ 4x + 5y = 22, \\ 6x = 18. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x - 7y = 2, \\ 2y = 8. \end{cases} $
Из второго уравнения находим $y$:
$2y = 8$
$y = 8 / 2 = 4$
Подставляем значение $y=4$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
$5x - 7(4) = 2$
$5x - 28 = 2$
$5x = 2 + 28$
$5x = 30$
$x = 30 / 5 = 6$
Ответ: $x = 6, y = 4$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 3y = 1, \\ 5y = 25. \end{cases} $
Из второго уравнения находим $y$:
$5y = 25$
$y = 25 / 5 = 5$
Подставляем значение $y=5$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
$x - 3(5) = 1$
$x - 15 = 1$
$x = 1 + 15 = 16$
Ответ: $x = 16, y = 5$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 7x + 3y = 4, \\ -3x = 6. \end{cases} $
Из второго уравнения находим $x$:
$-3x = 6$
$x = 6 / (-3) = -2$
Подставляем значение $x=-2$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$7(-2) + 3y = 4$
$-14 + 3y = 4$
$3y = 4 + 14$
$3y = 18$
$y = 18 / 3 = 6$
Ответ: $x = -2, y = 6$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y + z = 9, \\ 2y - z = 2, \\ 3z = 12. \end{cases} $
Из третьего уравнения находим $z$:
$3z = 12$
$z = 12 / 3 = 4$
Подставляем значение $z=4$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
$2y - 4 = 2$
$2y = 2 + 4$
$2y = 6$
$y = 6 / 2 = 3$
Подставляем значения $y=3$ и $z=4$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
$x + 3 + 4 = 9$
$x + 7 = 9$
$x = 9 - 7 = 2$
Ответ: $x = 2, y = 3, z = 4$.

д) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y - 3z = -5, \\ 3y + z = -1, \\ 7z = 14. \end{cases} $
Из третьего уравнения находим $z$:
$7z = 14$
$z = 14 / 7 = 2$
Подставляем значение $z=2$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
$3y + 2 = -1$
$3y = -1 - 2$
$3y = -3$
$y = -3 / 3 = -1$
Подставляем значения $y=-1$ и $z=2$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
$x + 2(-1) - 3(2) = -5$
$x - 2 - 6 = -5$
$x - 8 = -5$
$x = -5 + 8 = 3$
Ответ: $x = 3, y = -1, z = 2$.

е) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - 3y + 4z = 4, \\ 5y - 6z = 4, \\ 7z = 7. \end{cases} $
Из третьего уравнения находим $z$:
$7z = 7$
$z = 7 / 7 = 1$
Подставляем значение $z=1$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
$5y - 6(1) = 4$
$5y - 6 = 4$
$5y = 4 + 6$
$5y = 10$
$y = 10 / 5 = 2$
Подставляем значения $y=2$ и $z=1$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
$2x - 3(2) + 4(1) = 4$
$2x - 6 + 4 = 4$
$2x - 2 = 4$
$2x = 4 + 2$
$2x = 6$
$x = 6 / 2 = 3$
Ответ: $x = 3, y = 2, z = 1$.

ж) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y + 3z = 10, \\ 4x + 5y = 22, \\ 6x = 18. \end{cases} $
Из третьего уравнения находим $x$:
$6x = 18$
$x = 18 / 6 = 3$
Подставляем значение $x=3$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
$4(3) + 5y = 22$
$12 + 5y = 22$
$5y = 22 - 12$
$5y = 10$
$y = 10 / 5 = 2$
Подставляем значения $x=3$ и $y=2$ в первое уравнение, чтобы найти $z$:
$3 + 2(2) + 3z = 10$
$3 + 4 + 3z = 10$
$7 + 3z = 10$
$3z = 10 - 7$
$3z = 3$
$z = 3 / 3 = 1$
Ответ: $x = 3, y = 2, z = 1$.