Страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

201*. Докажите, что неполный квадрат суммы $a^2 + ab + b^2$ принимает положительные значения для любых $a$ и $b$.

Доказательство. Выделим полный квадрат:

$a^2 + ab + b^2 = \ldots$

Доказательство. Чтобы доказать утверждение, преобразуем данное выражение, выделив в нём полный квадрат. Для этого мы используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 = (a^2 + ab + \frac{b^2}{4}) - \frac{b^2}{4} + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$.

Полученное выражение $(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$ является суммой двух слагаемых. Проанализируем каждое из них:

1. Слагаемое $(a + \frac{b}{2})^2$ является квадратом действительного числа, а значит, его значение всегда неотрицательно (больше или равно нулю): $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$.

2. Слагаемое $\frac{3b^2}{4}$ также всегда неотрицательно, поскольку $b^2 \ge 0$ и коэффициент $\frac{3}{4}$ положителен: $\frac{3b^2}{4} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Выражение может равняться нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю: $(a + \frac{b}{2})^2 = 0$ и $\frac{3b^2}{4} = 0$.

Из второго уравнения $\frac{3b^2}{4} = 0$ получаем $b^2=0$, то есть $b=0$. Подставив $b=0$ в первое уравнение, имеем $(a + \frac{0}{2})^2 = 0$, то есть $a^2 = 0$, откуда $a=0$.

Таким образом, выражение $a^2 + ab + b^2$ обращается в ноль только при $a=0$ и $b=0$. Во всех остальных случаях, когда хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю, одно из слагаемых $(a + \frac{b}{2})^2$ или $\frac{3b^2}{4}$ будет строго положительным, а значит, и вся сумма будет строго положительной. Что и требовалось доказать.

Ответ: После выделения полного квадрата выражение принимает вид $(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4}$. Так как оба слагаемых в этой сумме неотрицательны и одновременно равны нулю только при $a=b=0$, то для любых других значений $a$ и $b$ выражение принимает строго положительные значения.

202*. Объясните с помощью рисунка 12, почему равенство $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ верно для положительных чисел $a$ и $b$ $(a > b)$.

Перепишем левую часть равенства в виде

$(a - b)a^2 + (a - b)ab + (a - b)b^2$.

Найдём на рисунке прямоугольные параллелепипеды, объёмы которых равны

$(a - b)a^2$, $(a - b)ab$ и $(a - b)b^2$.

Рис. 12

Равенство $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ можно доказать геометрически, интерпретируя обе его части как объёмы тел.

Правая часть, $a^3 - b^3$, представляет собой объём большого куба со стороной $a$, из которого удалили меньший куб со стороной $b$. Эта фигура изображена на рисунке 12.

Левая часть равенства, после раскрытия скобок, принимает вид $(a - b)a^2 + (a - b)ab + (a - b)b^2$. Это можно рассматривать как сумму объёмов трёх прямоугольных параллелепипедов. Покажем, что фигура на рисунке состоит именно из этих трёх частей.

Найдём на рисунке прямоугольные параллелепипеды, объёмы которых равны $(a - b)a^2$, $(a - b)ab$ и $(a - b)b^2$.

Тело на рисунке можно разделить на три прямоугольных параллелепипеда:

1. Первый, самый большой параллелепипед (на рисунке он находится слева). Его измерения, согласно обозначениям на рисунке, равны $a$, $a$ и $(a-b)$. Его объём $V_1 = a \cdot a \cdot (a-b) = a^2(a-b)$.

2. Второй параллелепипед (на рисунке он расположен справа от первого, спереди). Его измерения равны $a$, $b$ и $(a-b)$. Его объём $V_2 = a \cdot b \cdot (a-b) = ab(a-b)$.

3. Третий параллелепипед (расположен сзади второго, под вырезанным кубом). Его измерения равны $b$, $b$ и $(a-b)$. Его объём $V_3 = b \cdot b \cdot (a-b) = b^2(a-b)$.

Сложив объёмы этих трёх параллелепипедов, мы получим общий объём фигуры:

$V = V_1 + V_2 + V_3 = a^2(a-b) + ab(a-b) + b^2(a-b)$

Вынеся общий множитель $(a-b)$ за скобки, получим:

$V = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Таким образом, с одной стороны, объём фигуры равен $a^3 - b^3$ (как объём большого куба минус объём малого), а с другой стороны, он равен сумме объёмов трёх составляющих её параллелепипедов, то есть $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Это геометрически доказывает справедливость исходного равенства.

Ответ: Геометрически равенство $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ доказывается тем, что объём фигуры, полученной вырезанием из куба со стороной $a$ куба со стороной $b$ (объём $a^3 - b^3$), можно представить как сумму объёмов трёх прямоугольных параллелепипедов. На рисунке 12 показано, что эти параллелепипеды имеют объёмы $a^2(a-b)$, $ab(a-b)$ и $b^2(a-b)$. Сумма этих объёмов равна $(a-b)(a^2+ab+b^2)$, что и доказывает тождество.

203. Докажите формулу куба суммы:

$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $

Доказательство.

$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = $

Доказательство.

Чтобы доказать формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, необходимо преобразовать левую часть равенства, раскрыв скобки. Продолжим вычисления, начатые в условии задачи.

Исходное выражение, полученное после применения формулы квадрата суммы:

$(a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$

Теперь необходимо умножить многочлен $(a + b)$ на многочлен $(a^2 + 2ab + b^2)$. Для этого умножим каждый член первого многочлена (сначала $a$, а затем $b$) на каждый член второго многочлена:

$a \cdot (a^2 + 2ab + b^2) + b \cdot (a^2 + 2ab + b^2)$

Раскроем скобки, выполнив умножение:

$a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2 = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Далее сгруппируем подобные слагаемые (члены, имеющие одинаковую буквенную часть):

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3$

Выполнив сложение в скобках, получаем итоговый результат:

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Таким образом, мы показали, что выражение $(a + b)^3$ равно $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, что и требовалось доказать.

Ответ: $(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

352. ОГЭ. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 6 мин назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6 км/ч меньше скорости второго.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — это скорость первого бегуна. Из условия известно, что скорость первого бегуна на 6 км/ч меньше скорости второго. Следовательно, скорость второго бегуна равна $(x + 6)$ км/ч.

Действие происходит спустя 1 час после старта. За это время первый бегун пробежал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t = x \cdot 1 = x$ км. Ему осталось 4 км до конца первого круга, значит, длина всей круговой трассы $L$ равна расстоянию, которое он пробежал, плюс оставшееся расстояние: $L = x + 4$ км.

Второму бегуну сообщили, что он закончил первый круг 6 минут назад. Это означает, что время, которое он затратил на преодоление первого круга, составляет $1 \text{ час} - 6 \text{ минут}$. Переведем время в часы для удобства вычислений: $1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$. $t_2 = 60 \text{ мин} - 6 \text{ мин} = 54 \text{ минуты}$. $54 \text{ минуты} = \frac{54}{60} \text{ часа} = \frac{9}{10} \text{ часа} = 0,9$ часа.

За это время ($0,9$ ч) второй бегун со своей скоростью $(x + 6)$ км/ч пробежал один полный круг, то есть расстояние $L$. Таким образом, длину круга можно также выразить как: $L = (x + 6) \cdot 0,9$ км.

Мы получили два выражения для длины круга $L$. Приравняем их и решим получившееся уравнение: $x + 4 = 0,9(x + 6)$ $x + 4 = 0,9x + 0,9 \cdot 6$ $x + 4 = 0,9x + 5,4$ $x - 0,9x = 5,4 - 4$ $0,1x = 1,4$ $x = \frac{1,4}{0,1}$ $x = 14$

За $x$ мы принимали скорость первого бегуна. Следовательно, его скорость равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч.

353. ЕГЭ. Маша и Настя могут вымыть окно за 20 мин. Настя и Лена могут вымыть это же окно за 15 мин, а Маша и Лена — за 12 мин. За какое время девочки вымоют окно, работая втроём?

Пусть у нас было две Маши, две Насти и две Лены, причём девочки с одинаковыми именами работали с одинаковой производительностью.

Тогда за 60 мин Маша и Настя вымоют . . . окна,

Настя и Лена вымоют . . . . окна, а Маша и Лена вымоют . . . . окон. За 60 мин 6 девочек при совместной работе вымоют . . . . окон.

Тогда Маша, Настя и Лена за 60 мин вымоют . . . . окон,

а одно окно они вымоют за . . . . мин.

Ответ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Для решения задачи определим общую производительность трех девочек, то есть какую часть окна они моют вместе за одну минуту. Всю работу по мытью одного окна примем за 1.

Пусть $P_М$, $P_Н$ и $P_Л$ — производительность Маши, Насти и Лены соответственно (в долях окна за минуту).

Исходя из условия, составим уравнения для производительности каждой пары:

• Маша и Настя моют окно за 20 минут, значит, их совместная производительность: $P_М + P_Н = \frac{1}{20}$
• Настя и Лена моют окно за 15 минут, их совместная производительность: $P_Н + P_Л = \frac{1}{15}$
• Маша и Лена моют окно за 12 минут, их совместная производительность: $P_М + P_Л = \frac{1}{12}$

Чтобы найти общую производительность трех девочек, работающих вместе ($P_М + P_Н + P_Л$), сложим все три уравнения. В левой части производительность каждой девочки будет посчитана дважды:

$(P_М + P_Н) + (P_Н + P_Л) + (P_М + P_Л) = 2P_М + 2P_Н + 2P_Л = 2(P_М + P_Н + P_Л)$

Теперь сложим правые части уравнений (значения производительности):

$2(P_М + P_Н + P_Л) = \frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 60:

$2(P_М + P_Н + P_Л) = \frac{3}{60} + \frac{4}{60} + \frac{5}{60} = \frac{3+4+5}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

Мы получили удвоенную производительность трех девочек. Чтобы найти их реальную совместную производительность, разделим результат на 2:

$P_М + P_Н + P_Л = \frac{1}{5} \div 2 = \frac{1}{10}$

Это означает, что, работая втроем, девочки за 1 минуту вымоют $\frac{1}{10}$ часть окна. Чтобы найти время $t$, необходимое для мытья всего окна, нужно всю работу (1) разделить на их совместную производительность:

$t = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10$ минут.

Заполнение пропусков в тексте из задания:

Рассуждения в задании используют тот же принцип, но на примере конкретного временного интервала в 60 минут (наименьшее общее кратное для 20, 15 и 12).

Пусть у нас было две Маши, две Насти и две Лены, причём девочки с одинаковыми именами работали с одинаковой производительностью. Тогда за 60 мин Маша и Настя вымоют 3 окна ($60 \div 20=3$), Настя и Лена вымоют 4 окна ($60 \div 15=4$), а Маша и Лена вымоют 5 окон ($60 \div 12=5$). За 60 мин 6 девочек при совместной работе вымоют 12 окон ($3+4+5=12$). Тогда Маша, Настя и Лена за 60 мин вымоют 6 окон ($12 \div 2=6$), а одно окно они вымоют за 10 мин ($60 \div 6=10$).

Ответ: 10 минут.