Страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

196*. Докажите, что неполный квадрат разности $a^2 - ab + b^2$ принимает положительные значения для любых $a$ и $b$.

Доказательство. Выделим полный квадрат:

$a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2a(0,5b) + (0,5b)^2 + 0,75b^2 = \dots$

Доказательство.

Чтобы доказать, что выражение $a^2 - ab + b^2$ принимает положительные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат. Следуем началу решения, представленному в задаче:

$a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2a(0,5b) + b^2$

Для формирования полного квадрата разности $(a - 0,5b)^2$ нам необходимо слагаемое $(0,5b)^2 = 0,25b^2$. Представим $b^2$ как сумму $0,25b^2 + 0,75b^2$.

$a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2a(0,5b) + 0,25b^2 + 0,75b^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат разности:

$(a^2 - 2a(0,5b) + 0,25b^2) + 0,75b^2 = (a - 0,5b)^2 + 0,75b^2$

Проанализируем полученное выражение $(a - 0,5b)^2 + 0,75b^2$:

Первое слагаемое, $(a - 0,5b)^2$, является квадратом числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(a - 0,5b)^2 \ge 0$ для любых $a$ и $b$.

Второе слагаемое, $0,75b^2$, также всегда неотрицательно, поскольку $b^2 \ge 0$ и коэффициент $0,75$ положителен. Значит, $0,75b^2 \ge 0$ для любого $b$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю.

$0,75b^2 = 0 \implies b^2 = 0 \implies b = 0$.

$(a - 0,5b)^2 = 0 \implies a - 0,5b = 0$. Подставив $b=0$, получаем $a - 0 = 0 \implies a = 0$.

Таким образом, выражение обращается в ноль только при $a=0$ и $b=0$. Во всех остальных случаях, когда хотя бы одна из переменных не равна нулю, значение выражения будет строго больше нуля, так как хотя бы одно из неотрицательных слагаемых будет положительным.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $a^2 - ab + b^2$ равно $(a - 0,5b)^2 + 0,75b^2$, что является суммой двух неотрицательных слагаемых. Эта сумма равна нулю только при $a=b=0$ и строго положительна для всех остальных значений $a$ и $b$.

197. Докажите формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Доказательство. $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + \ldots$

........................

Чтобы доказать формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки. Для этого умножим каждый член многочлена $(a - b)$ на многочлен $(a^2 + ab + b^2)$:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - ba^2 - bab - b^3$.
Запишем члены в стандартном виде и приведем подобные слагаемые. Члены $a^2b$ и $-a^2b$ взаимно уничтожаются, как и члены $ab^2$ и $-ab^2$:
$a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 - b^3$.
Таким образом, мы показали, что правая часть тождества $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ равна его левой части $a^3 - b^3$. Формула доказана.
Ответ: Раскрыв скобки в правой части формулы и приведя подобные слагаемые, мы получаем $a^3 - b^3$, что доказывает верность тождества $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

198. Запишите в виде разности кубов:

а) $(a - 2)(a^2 + 2a + 2^2) = a^3 - \dots$

б) $(3 - b)(3^2 + 3b + b^2) = 3^3 - \dots$

в) $(m - 4)(m^2 + 4m + 4^2) = m^3 + \dots$

г) $(5 - n)(5^2 + 5n + n^2) = \dots$

а) Данное выражение представляет собой произведение разности двух выражений на их неполный квадрат суммы. Это соответствует формуле разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В данном случае $x = a$ и $y = 2$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.
Ответ: $a^3 - 8$

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Здесь $x = 3$ и $y = b$.
Применяя формулу, получаем:
$(3 - b)(3^2 + 3 \cdot b + b^2) = 3^3 - b^3 = 27 - b^3$.
Ответ: $27 - b^3$

в) Выражение $(m - 4)(m^2 + 4m + 4^2)$ также является разложением разности кубов. В условии задачи, вероятно, содержится опечатка (знак `+` вместо `-` после $m^3$), так как данное произведение соответствует именно формуле разности кубов.
Применяем формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = m$ и $y = 4$.
$(m - 4)(m^2 + m \cdot 4 + 4^2) = m^3 - 4^3 = m^3 - 64$.
Ответ: $m^3 - 64$

г) Для данного выражения снова применима формула разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В этом случае $x = 5$ и $y = n$.
Выполняем преобразование:
$(5 - n)(5^2 + 5 \cdot n + n^2) = 5^3 - n^3 = 125 - n^3$.
Ответ: $125 - n^3$

199. Запишите в виде многочлена стандартного вида:

а) $(a - 6)(a^2 + 6a + 36) = ....................

б) $(7 - b)(49 + 7b + b^2) = ....................

в) $(m - 8)(m^2 + 8m + 64) = ....................

г) $(9 - n)(81 + 9n + n^2) = ....................

Для решения всех пунктов используется формула сокращенного умножения "разность кубов": $ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 $.

а) В выражении $ (a - 6)(a^2 + 6a + 36) $ переменные для формулы: $ x = a $, $ y = 6 $.

Вторая скобка $ (a^2 + 6a + 36) $ является неполным квадратом суммы $ a $ и $ 6 $, что соответствует части формулы $ (x^2 + xy + y^2) $, так как $ a^2 = (a)^2 $, $ 6a = a \cdot 6 $ и $ 36 = 6^2 $.

Применяя формулу, получаем:

$ (a - 6)(a^2 + 6a + 36) = a^3 - 6^3 = a^3 - 216 $.

Ответ: $ a^3 - 216 $

б) В выражении $ (7 - b)(49 + 7b + b^2) $ переменные для формулы: $ x = 7 $, $ y = b $.

Проверяем соответствие второй скобки: $ 49 = 7^2 $, $ 7b = 7 \cdot b $ и $ b^2 = (b)^2 $. Выражение является разностью кубов.

Применяем формулу:

$ (7 - b)(49 + 7b + b^2) = 7^3 - b^3 = 343 - b^3 $.

Ответ: $ 343 - b^3 $

в) В выражении $ (m - 8)(m^2 + 8m + 64) $ переменные для формулы: $ x = m $, $ y = 8 $.

Вторая скобка $ (m^2 + 8m + 64) $ соответствует части формулы $ (x^2 + xy + y^2) $, так как $ m^2 = (m)^2 $, $ 8m = m \cdot 8 $ и $ 64 = 8^2 $.

Применяем формулу:

$ (m - 8)(m^2 + 8m + 64) = m^3 - 8^3 = m^3 - 512 $.

Ответ: $ m^3 - 512 $

г) В выражении $ (9 - n)(81 + 9n + n^2) $ переменные для формулы: $ x = 9 $, $ y = n $.

Проверяем соответствие второй скобки: $ 81 = 9^2 $, $ 9n = 9 \cdot n $ и $ n^2 = (n)^2 $. Условия формулы выполняются.

Применяем формулу:

$ (9 - n)(81 + 9n + n^2) = 9^3 - n^3 = 729 - n^3 $.

Ответ: $ 729 - n^3 $

200. Запишите в виде произведения:

a) $x^3 - y^3 = (x - y)(... + xy + ...);$

б) $m^3 - n^3 = (m ... n)(m^2 ... + n^2);$

в) $y^3 - 1^3 = (y ...)(y^2 ...);$

г) $p^3 - 9^3 = ...$

Для решения всех пунктов используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

а) В выражении $x^3 - y^3$ переменная $a$ соответствует $x$, а переменная $b$ соответствует $y$. Применяя формулу разности кубов, получаем, что второй множитель (неполный квадрат суммы) равен $x^2 + xy + y^2$. Заполним пропуски в исходном выражении.

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

б) В выражении $m^3 - n^3$ переменная $a$ соответствует $m$, а $b$ соответствует $n$. Согласно формуле, первая скобка будет разностью $(m - n)$, а вторая — неполным квадратом суммы $(m^2 + mn + n^2)$. Заполняем пропуски.

$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$

Ответ: $m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

в) В выражении $y^3 - 1^3$ переменная $a$ соответствует $y$, а $b$ соответствует $1$. Подставляем эти значения в формулу разности кубов: $(y - 1)(y^2 + y \cdot 1 + 1^2)$. Упрощаем выражение во второй скобке.

$y^3 - 1^3 = (y - 1)(y^2 + y + 1)$

Ответ: $y^3 - 1^3 = (y - 1)(y^2 + y + 1)$.

г) В выражении $p^3 - 9^3$ переменная $a$ соответствует $p$, а $b$ соответствует $9$. Применим формулу разности кубов и выполним вычисления:

$p^3 - 9^3 = (p - 9)(p^2 + p \cdot 9 + 9^2) = (p - 9)(p^2 + 9p + 81)$

Ответ: $(p - 9)(p^2 + 9p + 81)$.

349. ОГЭ. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 26 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям навстречу поезду со скоростью 4 км/ч, за 90 с. Найдите длину поезда в метрах.

1) Какова скорость сближения поезда и пешехода?

$26 + 4 = 30 \text{ (км/ч)}$

2) Какова длина поезда?

$30 \text{ км/ч} \cdot 90 \text{ с} = \frac{30 \text{ км}}{1 \text{ ч}} \cdot 90 \text{ с} = \frac{30000 \text{ м} \cdot 90 \text{ с}}{3600 \text{ с}} = \ldots$

1) Какова скорость сближения поезда и пешехода?

Поскольку поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их скорости складываются, чтобы найти скорость сближения. Скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме скорости поезда ($v_{поезда}$) и скорости пешехода ($v_{пешехода}$).

Дано:

• Скорость поезда, $v_{поезда} = 26$ км/ч
• Скорость пешехода, $v_{пешехода} = 4$ км/ч

Формула для скорости сближения:

$v_{сбл} = v_{поезда} + v_{пешехода}$

Подставляем значения:

$v_{сбл} = 26 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$

Ответ: Скорость сближения поезда и пешехода равна 30 км/ч.

2) Какова длина поезда?

Длина поезда – это расстояние, которое поезд проходит относительно пешехода за время, пока он проезжает мимо. Это расстояние можно найти, умножив скорость сближения на время. Сначала необходимо привести все единицы к единой системе (например, метры и секунды).

Дано:

• Скорость сближения, $v_{сбл} = 30$ км/ч
• Время, $t = 90$ с

Переведем скорость сближения из км/ч в м/с:

$1 \text{ км/ч} = \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{18} \text{ м/с}$

$v_{сбл} = 30 \times \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{30000}{3600} \text{ м/с} = \frac{300}{36} \text{ м/с} = \frac{25}{3} \text{ м/с}$

Теперь найдем длину поезда ($L$) по формуле $L = v_{сбл} \times t$:

$L = \frac{25}{3} \text{ м/с} \times 90 \text{ с} = 25 \times \frac{90}{3} \text{ м} = 25 \times 30 \text{ м} = 750 \text{ м}$

Альтернативный способ, как в примере на изображении:

$L = 30 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \times 90 \text{ с} = \frac{30 \times 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \times 90 \text{ с} = \frac{2 \ 700 \ 000}{3600} \text{ м} = 750 \text{ м}$

Ответ: Длина поезда составляет 750 метров.

350. ОГЭ. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $75 \text{ км/ч}$, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям навстречу поезду со скоростью $3 \text{ км/ч}$, за $30 \text{ с}$. Найдите длину поезда в метрах.

Для решения этой задачи мы должны рассматривать движение поезда относительно пешехода. Когда поезд проезжает мимо пешехода, он преодолевает расстояние, равное своей собственной длине. Поскольку поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Эта суммарная скорость называется скоростью сближения.

1. Найдем скорость сближения.
Скорость поезда $v_п = 75$ км/ч.
Скорость пешехода $v_{пеш} = 3$ км/ч.
Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:$v_{сбл} = v_п + v_{пеш} = 75 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 78 \text{ км/ч}$.

2. Переведем скорость сближения в метры в секунду (м/с).
В задаче время дано в секундах, а длину поезда нужно найти в метрах. Поэтому для удобства расчетов переведем скорость сближения в м/с. Для этого нужно умножить значение в км/ч на коэффициент $\frac{1000}{3600}$, который равен $\frac{5}{18}$.
$v_{сбл} = 78 \times \frac{5}{18} \text{ м/с} = \frac{13 \times 6 \times 5}{3 \times 6} \text{ м/с} = \frac{65}{3} \text{ м/с}$.

3. Найдем длину поезда.
Длина поезда $L$ равна расстоянию, которое он проходит относительно пешехода за время $t = 30$ с. Для этого умножим скорость сближения на время:
$L = v_{сбл} \times t = \frac{65}{3} \text{ м/с} \times 30 \text{ с} = 65 \times \frac{30}{3} \text{ м} = 65 \times 10 \text{ м} = 650 \text{ м}$.

Ответ: 650.

351. ОГЭ. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя час, когда одному из них оставалось 7 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 3 мин назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

1) На сколько второй бегун удалился от первого за 1 ч?

$8 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 8 \text{ км.}$

2) На сколько второй бегун удалился за 3 мин от места старта?

3) Какова скорость второго бегуна?

... : 3 мин = ... : $\frac{3 \text{ ч}}{60}$ = ...

4) Какова скорость первого бегуна?

Для решения задачи введем переменные: $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго бегунов соответственно (в км/ч), а $L$ — длина круговой трассы (в км).

Проанализируем условия задачи:

1. Скорость первого бегуна на 8 км/ч меньше скорости второго: $v_1 = v_2 - 8$.
2. Спустя 1 час ($t=1$ ч) первый бегун пробежал расстояние $d_1 = v_1 \cdot 1 = v_1$ км. Ему осталось 7 км до конца круга, следовательно, длина круга: $L = v_1 + 7$.
3. Второй бегун пробежал полный круг (дистанцию $L$) за время на 3 минуты меньшее, чем 1 час. То есть, время второго бегуна на первом круге $t_2 = 60 \text{ мин} - 3 \text{ мин} = 57 \text{ минут}$. Переведя в часы, получаем $t_2 = \frac{57}{60}$ ч. Его скорость равна $v_2 = \frac{L}{t_2} = \frac{L}{57/60} = \frac{60L}{57}$.

Используя эти соотношения, ответим на поставленные вопросы.

1) На сколько второй бегун удалился от первого за 1 ч?

Разница в скоростях бегунов по условию составляет 8 км/ч ($v_2 - v_1 = 8$ км/ч). Это означает, что за каждый час расстояние между ними увеличивается на 8 км. Следовательно, за 1 час второй бегун удалился от первого на:

$\Delta d = (v_2 - v_1) \cdot 1 \text{ ч} = 8 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 8 \text{ км}$.

Ответ: 8 км.

2) На сколько второй бегун удалился за 3 мин от места старта?

Этот вопрос относится к моменту времени "спустя час". К этому моменту второй бегун уже завершил первый круг (это произошло 3 минуты назад) и 3 минуты бежал по второму кругу. Таким образом, его расстояние от места старта равно дистанции, которую он пробежал за эти 3 минуты. Для расчета нам понадобится его скорость $v_2$, которую мы найдем в следующем пункте. Как будет показано в п. 3, скорость второго бегуна $v_2 = 20$ км/ч.

Переведем 3 минуты в часы: $3 \text{ мин} = \frac{3}{60} \text{ ч} = \frac{1}{20}$ ч.

Расстояние от места старта:

$d = v_2 \cdot \frac{3}{60} = 20 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{20} \text{ ч} = 1 \text{ км}$.

Ответ: 1 км.

3) Какова скорость второго бегуна?

Для нахождения скорости $v_2$ решим систему уравнений, составленную в начале:

$v_1 = v_2 - 8$

$L = v_1 + 7$

$v_2 = \frac{60L}{57}$

Подставим второе уравнение в третье: $v_2 = \frac{60(v_1 + 7)}{57}$.

Теперь подставим первое уравнение в полученное выражение:

$v_2 = \frac{60((v_2 - 8) + 7)}{57}$

$v_2 = \frac{60(v_2 - 1)}{57}$

Решим уравнение относительно $v_2$:

$57 v_2 = 60(v_2 - 1)$

$57 v_2 = 60 v_2 - 60$

$60 v_2 - 57 v_2 = 60$

$3 v_2 = 60$

$v_2 = \frac{60}{3} = 20$ км/ч.

Ответ: 20 км/ч.

4) Какова скорость первого бегуна?

Согласно условию, скорость первого бегуна на 8 км/ч меньше скорости второго, которую мы нашли в предыдущем пункте:

$v_1 = v_2 - 8 = 20 \text{ км/ч} - 8 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$.

Ответ: 12 км/ч.