Страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

215. Докажите двумя способами формулу

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.$

Доказательство.

I способ. $(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c) = \dots$

...

II способ. $((a + b) + c)^2 = (a + b)^2 + \dots$

I способ.

Данный способ заключается в прямом раскрытии скобок по определению квадрата выражения. Квадрат выражения $(a + b + c)$ — это произведение этого выражения на само себя. Выполним умножение многочлена $(a + b + c)$ на многочлен $(a + b + c)$, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго.

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c) = a \cdot (a + b + c) + b \cdot (a + b + c) + c \cdot (a + b + c)$

$= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

Теперь сгруппируем и сложим подобные слагаемые (учитывая, что от перемены мест множителей произведение не меняется, например, $ab = ba$):

$= a^2 + b^2 + c^2 + (ab + ba) + (ac + ca) + (bc + cb) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

Формула доказана.

Ответ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

II способ.

Этот способ основан на использовании формулы квадрата суммы двух слагаемых: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Для этого сгруппируем слагаемые в исходном выражении, представив их как сумму двух: пусть $x = (a + b)$ и $y = c$.

$(a + b + c)^2 = ((a + b) + c)^2 = (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2$.

Теперь раскроем скобки в полученном выражении. Выражение $(a + b)^2$ также является квадратом суммы, поэтому $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Второе слагаемое раскроем по распределительному закону умножения: $2(a + b)c = 2ac + 2bc$.

Подставим результаты в наше выражение:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2$.

Перегруппируем слагаемые для получения стандартного вида формулы:

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

Формула доказана.

Ответ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

216. Упростите выражение:

a) $(a + b - c)^2 = \dots \dots \dots$

б) $(a - b + c)^2 = \dots \dots \dots$

в) $(a - b - c)^2 = \dots \dots \dots$

Для упрощения данных выражений необходимо раскрыть скобки, используя формулу квадрата трехчлена: $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$.

а) Для выражения $(a + b - c)^2$ слагаемыми являются $a$, $b$ и $-c$. Подставим их в формулу:

$(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + (-c)^2 + 2(a)(b) + 2(a)(-c) + 2(b)(-c) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$.

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$

б) Для выражения $(a - b + c)^2$ слагаемыми являются $a$, $-b$ и $c$. Подставим их в формулу:

$(a - b + c)^2 = a^2 + (-b)^2 + c^2 + 2(a)(-b) + 2(a)(c) + 2(-b)(c) = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$.

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$

в) Для выражения $(a - b - c)^2$ слагаемыми являются $a$, $-b$ и $-c$. Подставим их в формулу:

$(a - b - c)^2 = a^2 + (-b)^2 + (-c)^2 + 2(a)(-b) + 2(a)(-c) + 2(-b)(-c) = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$.

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$

217. Числа a и b — натуральные, $a > b$. Докажите, что:

а) число $(a + b)^2 - (a - b)^2$ делится на 4;

б) число $(a + b)^3 + (a - b)^3$ делится на $2a$;

в) число $(a + b)^3 - (a - b)^3$ делится на $2b$;

г) число $(a + b)^2 - 4ab$ является квадратом натурального числа;

д) число $(a - b)^2 + 4ab$ является квадратом натурального числа.

а) Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$(a + b)^2 - (a - b)^2 = ((a + b) - (a - b))((a + b) + (a - b)) = (2b)(2a) = 4ab$.
Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то их произведение $ab$ является натуральным числом, а значит выражение $4ab$ делится на 4.
Ответ: Доказано.

б) Упростим выражение, раскрыв скобки по формулам куба суммы и куба разности:
$(a + b)^3 + (a - b)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = 2a^3 + 6ab^2$.
Вынесем за скобки общий множитель $2a$:
$2a^3 + 6ab^2 = 2a(a^2 + 3b^2)$.
Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, выражение в скобках $(a^2 + 3b^2)$ является натуральным числом. Следовательно, всё выражение $2a(a^2 + 3b^2)$ делится на $2a$.
Ответ: Доказано.

в) Упростим выражение, раскрыв скобки по формулам куба суммы и куба разности:
$(a + b)^3 - (a - b)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = 6a^2b + 2b^3$.
Вынесем за скобки общий множитель $2b$:
$6a^2b + 2b^3 = 2b(3a^2 + b^2)$.
Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, выражение в скобках $(3a^2 + b^2)$ является натуральным числом. Следовательно, всё выражение $2b(3a^2 + b^2)$ делится на $2b$.
Ответ: Доказано.

г) Упростим выражение, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы:
$(a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2$.
Это выражение является полным квадратом разности: $(a - b)^2$.
По условию $a, b$ — натуральные числа и $a > b$, следовательно, разность $a - b$ также является натуральным числом. Значит, $(a - b)^2$ является квадратом натурального числа.
Ответ: Доказано.

д) Упростим выражение, раскрыв скобки по формуле квадрата разности:
$(a - b)^2 + 4ab = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2$.
Это выражение является полным квадратом суммы: $(a + b)^2$.
По условию $a, b$ — натуральные числа, следовательно, их сумма $a + b$ также является натуральным числом. Значит, $(a + b)^2$ является квадратом натурального числа.
Ответ: Доказано.

359. Сколько чистой воды нужно добавить к 400 г морской воды, содержащей 4 % соли, чтобы получить воду с содержанием 2 % соли?

Для решения этой задачи сначала определим массу соли в исходном растворе. При добавлении чистой воды масса соли не изменяется, меняется только общая масса раствора и, соответственно, концентрация соли.

1. Находим массу соли в исходном растворе.

Изначально у нас есть 400 г морской воды с концентрацией соли 4%. Массу соли ($m_{соли}$) можно найти, умножив общую массу раствора на процентное содержание соли, выраженное в долях.

Масса раствора $m_1 = 400$ г.

Концентрация соли $C_1 = 4\% = 0.04$.

Масса соли вычисляется по формуле:

$m_{соли} = m_1 \times C_1 = 400 \, \text{г} \times 0.04 = 16 \, \text{г}$.

Таким образом, в 400 г морской воды содержится 16 г соли.

2. Составляем уравнение для нового раствора.

Пусть $x$ – это масса чистой воды (в граммах), которую необходимо добавить. После добавления воды общая масса нового раствора ($m_2$) будет равна сумме начальной массы раствора и массы добавленной воды.

$m_2 = m_1 + x = 400 + x$.

Масса соли в новом растворе остается неизменной – 16 г. Требуемая концентрация соли в новом растворе ($C_2$) составляет 2%, или 0.02.

Концентрация нового раствора определяется по формуле:

$C_2 = \frac{m_{соли}}{m_2}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$0.02 = \frac{16}{400 + x}$

3. Решаем уравнение и находим $x$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$0.02 \times (400 + x) = 16$

Раскроем скобки:

$0.02 \times 400 + 0.02x = 16$

$8 + 0.02x = 16$

Перенесем 8 в правую часть уравнения:

$0.02x = 16 - 8$

$0.02x = 8$

Найдем $x$:

$x = \frac{8}{0.02} = \frac{800}{2} = 400$

Следовательно, чтобы получить воду с 2% содержанием соли, нужно добавить 400 г чистой воды.

Ответ: 400 г.

360. Имеется два куска сплавов, содержащих 40 % и 60 % олова. В каком отношении (по массе) нужно сплавить части этих кусков, чтобы получить сплав с 45 %-ным содержанием олова?

Пусть надо взять $x$ г первого сплава и $y$ г второго. Тогда олова в первом и втором сплавах будет соответственно $0,4x$ г и $0,6y$ г. После сплавления масса олова не изменится и составит $0,45(x + y)$ г.

...

...

...

...

Из уравнения получим, что $x = \dots y$. Тогда $x : y = \dots$

Составим и решим уравнение:

Исходя из условия, что масса олова в исходных компонентах равна массе олова в конечном сплаве, мы можем составить следующее уравнение, где $x$ — масса первого сплава, а $y$ — масса второго сплава:

$0.4x + 0.6y = 0.45(x + y)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$0.4x + 0.6y = 0.45x + 0.45y$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в правой части, а с переменной $y$ — в левой:

$0.6y - 0.45y = 0.45x - 0.4x$

Упростим обе части уравнения:

$0.15y = 0.05x$

Из уравнения получим, что $x = 3y$. Тогда $x : y = 3:1$.

Чтобы выразить $x$ через $y$, разделим обе части уравнения $0.15y = 0.05x$ на коэффициент при $x$, то есть на $0.05$:

$x = \frac{0.15y}{0.05}$

$x = 3y$

Теперь, зная соотношение между $x$ и $y$, мы можем найти их отношение. Разделим обе части равенства $x = 3y$ на $y$ (поскольку масса $y$ не может быть нулевой):

$\frac{x}{y} = \frac{3}{1}$

Это означает, что отношение массы первого сплава к массе второго сплава составляет $3$ к $1$.

Ответ: $3:1$.

361. Имеется 40 кг 0,5 %-ного раствора и 50 кг 2 %-ного раствора кислоты. Сколько нужно взять первого и сколько второго раствора, чтобы получить 30 кг 1,5 %-ного раствора кислоты?

Пусть взяли $x$ кг первого раствора, тогда второго раствора взяли $(30 - x)$ кг. Масса кислоты (в килограммах) до смешения растворов равна $0,005x + 0,02 \cdot (30 - x)$, а после смешения растворов равна $0,015 \cdot 30 = 0,45$. Составим и решим уравнение:

Тогда первого раствора надо взять ..... кг, а второго .... кг.

Для решения задачи составим уравнение, основываясь на массе чистой кислоты в растворах. Пусть $x$ кг — это масса первого (0,5%-ного) раствора, которую необходимо взять. Поскольку итоговая масса смеси должна составлять 30 кг, масса второго (2%-ного) раствора будет равна $(30 - x)$ кг.

Масса чистой кислоты в первом взятом объеме раствора составляет $0,5\%$ от его массы, то есть $0,005x$ кг.

Масса чистой кислоты во втором объеме составляет $2\%$ от его массы, то есть $0,02(30 - x)$ кг.

Масса кислоты в итоговом 30-килограммовом растворе с концентрацией 1,5% равна $30 \cdot 0,015 = 0,45$ кг.

Сумма масс кислоты в исходных компонентах должна быть равна массе кислоты в полученной смеси. Составим и решим уравнение, которое предложено в условии:

$0,005x + 0,02(30 - x) = 0,45$

Раскрываем скобки в левой части уравнения:

$0,005x + 0,02 \cdot 30 - 0,02x = 0,45$

$0,005x + 0,6 - 0,02x = 0,45$

Приводим подобные слагаемые:

$0,6 - 0,015x = 0,45$

Переносим 0,6 в правую часть уравнения, изменяя знак:

$-0,015x = 0,45 - 0,6$

$-0,015x = -0,15$

Находим $x$, разделив обе части уравнения на -0,015:

$x = \frac{-0,15}{-0,015}$

$x = 10$

Таким образом, масса первого раствора, которую нужно взять, составляет 10 кг. Соответственно, масса второго раствора составит:

$30 - x = 30 - 10 = 20$ кг.

Исходные количества растворов (40 кг 0,5%-ного и 50 кг 2%-ного) являются достаточными, так как $10 < 40$ и $20 < 50$.

Тогда первого раствора надо взять 10 кг, а второго 20 кг.

Ответ: первого раствора надо взять 10 кг, а второго — 20 кг.