Страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

192. Запишите в виде суммы кубов:

а) $(a + 2)(a^2 - 2a + 2^2) = a^3 + \dots$

б) $(3 + b)(3^2 - 3b + b^2) = 3^3 + \dots$

в) $(m + 4)(m^2 - 4m + 4^2) = m^3 + \dots$

г) $(5 + n)(25 - 5n + n^2) = \dots$

Для решения всех пунктов данной задачи используется формула сокращенного умножения, а именно формула суммы кубов:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Эта формула позволяет представить произведение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности в виде суммы кубов этих выражений. Раскроем каждый пример по этой формуле.

а) В выражении $(a + 2)(a^2 - 2a + 2^2)$ мы можем отождествить $x$ с $a$ и $y$ с $2$. Выражение полностью соответствует правой части формулы суммы кубов.

Следовательно, данное произведение равно сумме кубов $a$ и $2$:

$(a + 2)(a^2 - 2a + 2^2) = a^3 + 2^3$

Вычисляя значение $2^3$, получаем:

$a^3 + 2^3 = a^3 + 8$

Ответ: $a^3 + 8$.

б) В выражении $(3 + b)(3^2 - 3b + b^2)$ первое слагаемое $x=3$, а второе $y=b$.

Применяя формулу суммы кубов, получаем:

$(3 + b)(3^2 - 3b + b^2) = 3^3 + b^3$

Вычисляя значение $3^3$, получаем:

$3^3 + b^3 = 27 + b^3$

Ответ: $27 + b^3$.

в) В выражении $(m + 4)(m^2 - 4m + 4^2)$ первое слагаемое $x=m$, а второе $y=4$.

Произведение равно сумме кубов $m$ и $4$:

$(m + 4)(m^2 - 4m + 4^2) = m^3 + 4^3$

Вычисляя значение $4^3$, получаем:

$m^3 + 4^3 = m^3 + 64$

Ответ: $m^3 + 64$.

г) В выражении $(5 + n)(25 - 5n + n^2)$ сначала приведем второй множитель к виду неполного квадрата разности.

Заметим, что $25 = 5^2$. Тогда выражение можно переписать как $(5 + n)(5^2 - 5n + n^2)$.

Здесь первое слагаемое $x=5$, а второе $y=n$.

Используя формулу суммы кубов, находим:

$(5 + n)(5^2 - 5n + n^2) = 5^3 + n^3$

Вычисляя значение $5^3$, получаем:

$5^3 + n^3 = 125 + n^3$

Ответ: $125 + n^3$.

193. Запишите в виде многочлена стандартного вида:

a) $(a + 6)(a^2 - 6a + 36) = ................

б) $(7 + b)(49 - 7b + b^2) = ................

в) $(m + 8)(m^2 - 8m + 64) = ................

г) $(9 + n)(81 - 9n + n^2) = ................

а) Данное выражение является формулой сокращенного умножения, а именно суммой кубов. Общая формула выглядит так: $ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $.
В выражении $ (a + 6)(a^2 - 6a + 36) $, у нас $ x = a $ и $ y = 6 $.
Вторая скобка $ (a^2 - 6a + 36) $ полностью соответствует части формулы $ (x^2 - xy + y^2) $, так как $ a^2 - a \cdot 6 + 6^2 = a^2 - 6a + 36 $.
Применяя формулу, получаем:
$ (a + 6)(a^2 - 6a + 36) = a^3 + 6^3 = a^3 + 216 $.
Ответ: $ a^3 + 216 $

б) Здесь также применяется формула суммы кубов: $ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $.
Для выражения $ (7 + b)(49 - 7b + b^2) $ имеем $ x = 7 $ и $ y = b $.
Проверяем вторую скобку: $ x^2 - xy + y^2 = 7^2 - 7 \cdot b + b^2 = 49 - 7b + b^2 $.
Применяем формулу:
$ (7 + b)(49 - 7b + b^2) = 7^3 + b^3 = 343 + b^3 $.
Запишем многочлен в стандартном виде (переменная на первом месте): $ b^3 + 343 $.
Ответ: $ b^3 + 343 $

в) Снова используем формулу суммы кубов: $ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $.
В выражении $ (m + 8)(m^2 - 8m + 64) $, у нас $ x = m $ и $ y = 8 $.
Вторая скобка $ (m^2 - 8m + 64) $ соответствует части формулы $ (x^2 - xy + y^2) $, поскольку $ m^2 - m \cdot 8 + 8^2 = m^2 - 8m + 64 $.
Применяя формулу, получаем:
$ (m + 8)(m^2 - 8m + 64) = m^3 + 8^3 = m^3 + 512 $.
Ответ: $ m^3 + 512 $

г) Данное выражение также раскладывается по формуле суммы кубов: $ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $.
Для выражения $ (9 + n)(81 - 9n + n^2) $ имеем $ x = 9 $ и $ y = n $.
Проверяем вторую скобку: $ x^2 - xy + y^2 = 9^2 - 9 \cdot n + n^2 = 81 - 9n + n^2 $.
Применяем формулу:
$ (9 + n)(81 - 9n + n^2) = 9^3 + n^3 = 729 + n^3 $.
Запишем многочлен в стандартном виде: $ n^3 + 729 $.
Ответ: $ n^3 + 729 $

194. Запишите в виде произведения:

а) $x^3 + y^3 = (x + y)(\ldots - xy + \ldots)$

б) $m^3 + n^3 = \ldots$

в) $y^3 + 1^3 = \ldots$

г) $p^3 + 9^3 = \ldots$

Для решения этого задания используется формула сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

а) Дано выражение $x^3 + y^3 = (x + y)(.... - xy + ....)$.
Согласно формуле суммы кубов, где $a = x$ и $b = y$, второй множитель, называемый неполным квадратом разности, должен быть равен $x^2 - xy + y^2$.
Заполняем пропуски в исходном выражении: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

б) Необходимо разложить на множители выражение $m^3 + n^3$.
Применяем формулу суммы кубов, где $a = m$ и $b = n$:
$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$.
Ответ: $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$.

в) Необходимо разложить на множители выражение $y^3 + 1^3$.
Применяем формулу суммы кубов, где $a = y$ и $b = 1$:
$y^3 + 1^3 = (y + 1)(y^2 - y \cdot 1 + 1^2) = (y + 1)(y^2 - y + 1)$.
Ответ: $(y + 1)(y^2 - y + 1)$.

г) Необходимо разложить на множители выражение $p^3 + 9^3$.
Применяем формулу суммы кубов, где $a = p$ и $b = 9$:
$p^3 + 9^3 = (p + 9)(p^2 - p \cdot 9 + 9^2) = (p + 9)(p^2 - 9p + 81)$.
Ответ: $(p + 9)(p^2 - 9p + 81)$.

195*. Объясните с помощью рисунка 11, почему равенство

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$

верно для положительных чисел $a$ и $b$.

Перепишем левую часть равенства в виде

$(a + b)a^2 - (a + b)ab + (a + b)b^2$.

Найдём на рисунке прямоугольные параллелепипеды, объёмы которых равны $(a + b)a^2$, $(a + b)ab$ и $(a + b)b^2$.

...

...

Рис. 11

Данное равенство представляет собой формулу суммы кубов. Чтобы объяснить ее с помощью рисунка 11, мы представим левую часть равенства как сумму и разность объемов различных геометрических тел, которые изображены на рисунке.

Перепишем левую часть равенства в виде $(a + b)a^2 - (a + b)ab + (a + b)b^2$.

Эта форма представляет левую часть тождества $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ после раскрытия скобок, но без приведения подобных членов. Мы будем интерпретировать каждый член этого выражения — $(a+b)a^2$, $(a+b)ab$ и $(a+b)b^2$ — как объем определенного тела или совокупности тел, изображенных на рисунке.

Найдем на рисунке прямоугольные параллелепипеды, объемы которых равны $(a + b)a^2$, $(a + b)ab$ и $(a + b)b^2$.

Сначала определим объемы основных «строительных блоков», из которых состоит фигура на рисунке 11:

• Большой полупрозрачный куб (на заднем плане слева) имеет ребро длиной $a$, следовательно, его объем равен $a^3$.
• Маленький темный куб (на переднем плане справа) имеет ребро длиной $b$, его объем равен $b^3$.
• Прямоугольный параллелепипед, расположенный справа от большого куба, имеет размеры $a \times a \times b$ (высота $\times$ глубина $\times$ ширина). Его объем равен $a^2b$.
• Прямоугольный параллелепипед, расположенный под предыдущим (и справа от воображаемого продолжения большого куба вниз), имеет размеры $a \times b \times b$ (глубина $\times$ высота $\times$ ширина). Его объем равен $ab^2$.

Теперь соотнесем члены разложения с объемами составных частей фигуры:

1. Первый член: $V_1 = (a + b)a^2 = a^3 + a^2b$.
   Этот объем равен сумме объемов большого куба ($a^3$) и примыкающего к нему справа параллелепипеда ($a^2b$). На рисунке эти два тела вместе образуют верхнюю L-образную часть фигуры.
2. Второй член (вычитаемый): $V_2 = (a + b)ab = a^2b + ab^2$.
   Этот объем равен сумме объемов двух параллелепипедов, образующих правую «стенку» фигуры: верхнего ($a^2b$) и нижнего ($ab^2$).
3. Третий член (добавляемый): $V_3 = (a + b)b^2 = ab^2 + b^3$.
   Этот объем равен сумме объемов нижнего правого параллелепипеда ($ab^2$) и малого куба ($b^3$).

Теперь выполним геометрическое сложение и вычитание объемов, как предписано формулой $V_1 - V_2 + V_3$:

1. Начинаем с объема $V_1 = a^3 + a^2b$ (верхняя L-образная часть).

2. Вычитаем объем $V_2 = a^2b + ab^2$. Геометрически это означает, что мы убираем из нашей фигуры два параллелепипеда с такими объемами. Первый из них, объемом $a^2b$, является частью нашего начального объема $V_1$. После его удаления от $V_1$ остается только большой куб объемом $a^3$. Теперь из этого куба нужно вычесть объем $ab^2$.

3. Добавляем объем $V_3 = ab^2 + b^3$. Мы добавляем параллелепипед объемом $ab^2$, который на предыдущем шаге вычли, и малый куб объемом $b^3$.

В результате этих действий объем $a^2b$ сначала добавляется (в составе $V_1$), а затем вычитается (в составе $V_2$). Аналогично, объем $ab^2$ сначала вычитается (в составе $V_2$), а затем добавляется (в составе $V_3$). Эти объемы взаимно уничтожаются.

Итоговый объем равен сумме объемов, которые не были скомпенсированы: объем большого куба ($a^3$) из $V_1$ и объем малого куба ($b^3$) из $V_3$.

Таким образом, geometrically, $(a + b)a^2 - (a + b)ab + (a + b)b^2$ представляет собой объем большого куба плюс объем малого куба.

Ответ: Равенство $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$ верно, так как объем фигуры, полученной путем сложения и вычитания параллелепипедов с объемами $(a + b)a^2$, $-(a + b)ab$ и $(a + b)b^2$, равен сумме объемов двух кубов со сторонами $a$ и $b$.

346. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчёт 5 р. и кафтан. Спрашивается, какой цены тот кафтан был.

Вычислим стоимость одного месяца работы.

Работник не получил $12 - 5 = 7$ (р.) за неотработанные ......... месяцев, поэтому за один месяц ему платили ........., а за 7 месяцев он получил ........., тогда кафтан стоил .........

Для решения этой старинной задачи определим сначала стоимость одного месяца работы, а затем, зная это, вычислим цену кафтана.

Вычислим стоимость одного месяца работы.
Работник был нанят на год (12 месяцев), но проработал только 7 месяцев. Таким образом, он не отработал $12 - 7 = 5$ месяцев.
За полный год ему было обещано 12 рублей и кафтан. За 7 месяцев он получил 5 рублей и кафтан. Разница в денежной выплате, которую работник не получил из-за досрочного ухода, составляет $12 \text{ р.} - 5 \text{ р.} = 7 \text{ р.}$.
Эта сумма в 7 рублей является платой за 5 неотработанных месяцев. Следовательно, стоимость одного месяца работы равна:
$\frac{7 \text{ рублей}}{5 \text{ месяцев}} = \frac{7}{5} = 1.4$ рубля.

Теперь, зная стоимость одного месяца работы, мы можем определить, сколько работник заработал за 7 месяцев:
$7 \text{ месяцев} \times 1.4 \text{ р./месяц} = 9.8$ рубля.

По условию, за 7 месяцев работы он получил "достойный расчет" в виде 5 рублей и кафтана. Это означает, что общая стоимость полученного вознаграждения равна стоимости выполненной работы. Если обозначить цену кафтана как $K$, то мы можем составить уравнение:
$5 + K = 9.8$
Решим уравнение относительно $K$:
$K = 9.8 - 5 = 4.8$ рубля.

Таким образом, мы можем заполнить пропуски в тексте из условия задачи:
Работник не получил $12 - 5 = 7$ (р.) за неотработанные 5 месяцев, поэтому за один месяц ему платили $\frac{7}{5}$ р., а за 7 месяцев он получил $\frac{49}{5}$ р., тогда кафтан стоил 4,8 р.

Ответ: кафтан стоил 4,8 рубля (что равно 4 рублям 80 копейкам).

347. Сын сказал: «Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а сейчас мой отец старше меня в 2 раза». Сколько лет сыну сейчас?

Папа старше сына на $31 - 8 = 23$ года. Сейчас отец в 2 раза старше сына. Пусть возраст сына — 1 часть, тогда возраст отца — 2 части, а разница в возрасте отца и сына — ... часть, что составляет ... года. Следовательно, сыну ... года.

Ответ.

Разница в возрасте между отцом и сыном является постоянной величиной. Когда отцу был 31 год, а сыну 8 лет, разница в их возрасте составляла $31 - 8 = 23$ года. Эта разница сохраняется и сейчас.

По условию, сейчас отец старше сына в 2 раза. Если мы примем текущий возраст сына за 1 часть, то возраст отца будет равен 2 таким частям. Разница между возрастом отца и сына в частях составляет:

$2 \text{ части} - 1 \text{ часть} = 1 \text{ часть}$

Эта разница в 1 часть соответствует постоянной разнице в возрасте, равной 23 годам. Следовательно, 1 часть равна 23 годам.

Так как возраст сына составляет 1 часть, то сыну сейчас 23 года.

Ответ: 23 года.

348. Дочь сказала: «Когда моей маме был 31 год, мне было 7 лет, а сейчас моя мама старше меня в 3 раза». Сколько лет дочери сейчас?

Для решения задачи сначала найдем разницу в возрасте между матерью и дочерью. Эта разница остается неизменной с течением времени.

Когда маме был 31 год, дочери было 7 лет. Разница в возрасте составляет:

$31 - 7 = 24$ года.

Это означает, что мама всегда на 24 года старше дочери.

Теперь обозначим текущий возраст дочери за $x$ лет.

Согласно условию, сейчас мама старше дочери в 3 раза. Значит, текущий возраст мамы можно выразить как $3x$ лет.

Мы знаем, что разница между возрастом мамы и возрастом дочери равна 24 годам. Составим уравнение на основе этих данных:

$3x - x = 24$

Теперь решим это уравнение:

$2x = 24$

$x = \frac{24}{2}$

$x = 12$

Таким образом, сейчас дочери 12 лет.

Проверка:

Если дочери 12 лет, то маме $12 \times 3 = 36$ лет.

Разница в возрасте: $36 - 12 = 24$ года.

Результат совпадает с первоначальной разницей в возрасте, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 12 лет.