Страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

185. Запишите в виде разности квадратов:

а) $(a - 5)(a + 5) = a^2 - \dots$

б) $(b - 7)(b + 7) = \dots - 7^2$

в) $(c - 2)(c + 2) = \dots$

г) $(3 - x)(3 + x) = \dots$

д) $(2y - 3)(2y + 3) = \dots$

е) $(4 - 3x)(4 + 3x) = \dots$

ж) $(5m - 6n)(5m + 6n) = \dots$

з) $(0.1p - 7q)(0.1p + 7q) = \dots$

Для решения всех пунктов используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

а) В выражении $(a - 5)(a + 5)$, $x = a$ и $y = 5$.
Применяем формулу: $(a - 5)(a + 5) = a^2 - 5^2$.
Вычисляем квадрат числа: $5^2 = 25$.
Получаем: $a^2 - 25$.
Ответ: $a^2 - 25$.

б) В выражении $(b - 7)(b + 7)$, $x = b$ и $y = 7$.
Применяем формулу: $(b - 7)(b + 7) = b^2 - 7^2$.
Вычисляем квадрат числа: $7^2 = 49$.
Получаем: $b^2 - 49$.
Ответ: $b^2 - 49$.

в) В выражении $(c - 2)(c + 2)$, $x = c$ и $y = 2$.
Применяем формулу: $(c - 2)(c + 2) = c^2 - 2^2$.
Вычисляем квадрат числа: $2^2 = 4$.
Получаем: $c^2 - 4$.
Ответ: $c^2 - 4$.

г) В выражении $(3 - x)(3 + x)$, $x = 3$ и $y = x$.
Применяем формулу: $(3 - x)(3 + x) = 3^2 - x^2$.
Вычисляем квадрат числа: $3^2 = 9$.
Получаем: $9 - x^2$.
Ответ: $9 - x^2$.

д) В выражении $(2y - 3)(2y + 3)$, $x = 2y$ и $y = 3$.
Применяем формулу: $(2y - 3)(2y + 3) = (2y)^2 - 3^2$.
Возводим в квадрат каждый множитель: $(2y)^2 = 4y^2$ и $3^2 = 9$.
Получаем: $4y^2 - 9$.
Ответ: $4y^2 - 9$.

е) В выражении $(4 - 3x)(4 + 3x)$, $x = 4$ и $y = 3x$.
Применяем формулу: $(4 - 3x)(4 + 3x) = 4^2 - (3x)^2$.
Возводим в квадрат каждый член: $4^2 = 16$ и $(3x)^2 = 9x^2$.
Получаем: $16 - 9x^2$.
Ответ: $16 - 9x^2$.

ж) В выражении $(5m - 6n)(5m + 6n)$, $x = 5m$ и $y = 6n$.
Применяем формулу: $(5m - 6n)(5m + 6n) = (5m)^2 - (6n)^2$.
Возводим в квадрат каждый член: $(5m)^2 = 25m^2$ и $(6n)^2 = 36n^2$.
Получаем: $25m^2 - 36n^2$.
Ответ: $25m^2 - 36n^2$.

з) В выражении $(0,1p - 7q)(0,1p + 7q)$, $x = 0,1p$ и $y = 7q$.
Применяем формулу: $(0,1p - 7q)(0,1p + 7q) = (0,1p)^2 - (7q)^2$.
Возводим в квадрат каждый член: $(0,1p)^2 = 0,01p^2$ и $(7q)^2 = 49q^2$.
Получаем: $0,01p^2 - 49q^2$.
Ответ: $0,01p^2 - 49q^2$.

186. Запишите в виде многочлена стандартного вида:

а) $ (a - 1)(a + 1) = $

б) $ (b - 3)(b + 3) = $

в) $ (5c - 3)(5c + 3) = $

г) $ (11 - 2x)(11 + 2x) = $

д) $ (4y - 1)(4y + 1) = $

е) $ (1 - 4y)(1 + 4y) = $

ж) $ (3m - 7n)(3m + 7n) = $

з) $ (0.2p - 3q)(0.2p + 3q) = $

Для решения всех представленных задач используется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов":

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$

Эта формула позволяет быстро раскрыть скобки, когда мы имеем произведение разности двух выражений на их сумму.

а) В выражении $(a - 1)(a + 1)$ мы можем видеть, что $x = a$ и $y = 1$. Применим формулу разности квадратов:

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.

Полученный многочлен $a^2 - 1$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $a^2 - 1$.

б) В выражении $(b - 3)(b + 3)$ в качестве $x$ выступает $b$, а в качестве $y$ — число $3$. Подставим эти значения в формулу:

$(b - 3)(b + 3) = b^2 - 3^2 = b^2 - 9$.

Многочлен $b^2 - 9$ записан в стандартном виде.

Ответ: $b^2 - 9$.

в) В примере $(5c - 3)(5c + 3)$ первый член $x = 5c$, а второй член $y = 3$. Выполним преобразование по формуле:

$(5c - 3)(5c + 3) = (5c)^2 - 3^2 = 25c^2 - 9$.

Результат $25c^2 - 9$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $25c^2 - 9$.

г) Для выражения $(11 - 2x)(11 + 2x)$ имеем $x = 11$ и $y = 2x$. Применяем формулу:

$(11 - 2x)(11 + 2x) = 11^2 - (2x)^2 = 121 - 4x^2$.

Многочлен $121 - 4x^2$ записан в стандартном виде.

Ответ: $121 - 4x^2$.

д) В выражении $(4y - 1)(4y + 1)$ у нас $x = 4y$ и $y = 1$. Подставляем в формулу разности квадратов:

$(4y - 1)(4y + 1) = (4y)^2 - 1^2 = 16y^2 - 1$.

Получен многочлен стандартного вида $16y^2 - 1$.

Ответ: $16y^2 - 1$.

е) Выражение $(1 - 4y)(1 + 4y)$ аналогично предыдущему, но слагаемые поменяны местами. Здесь $x = 1$ и $y = 4y$.

$(1 - 4y)(1 + 4y) = 1^2 - (4y)^2 = 1 - 16y^2$.

Результат $1 - 16y^2$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $1 - 16y^2$.

ж) В выражении $(3m - 7n)(3m + 7n)$ имеем дело с двумя переменными. Здесь $x = 3m$ и $y = 7n$. Используем формулу:

$(3m - 7n)(3m + 7n) = (3m)^2 - (7n)^2 = 9m^2 - 49n^2$.

Многочлен $9m^2 - 49n^2$ записан в стандартном виде.

Ответ: $9m^2 - 49n^2$.

з) В последнем примере $(0,2p - 3q)(0,2p + 3q)$ члены содержат десятичную дробь. Здесь $x = 0,2p$ и $y = 3q$.

$(0,2p - 3q)(0,2p + 3q) = (0,2p)^2 - (3q)^2 = 0,04p^2 - 9q^2$.

Обратите внимание, что $(0,2)^2 = 0,04$. Полученный многочлен $0,04p^2 - 9q^2$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $0,04p^2 - 9q^2$.

187. Запишите в виде произведения двучленов:

$a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)$

а) $m^2 - n^2 = (m - \dots)(m + \dots);$

б) $y^2 - x^2 = (y - \dots)(\dots + x);$

в) $p^2 - q^2 = \dots$

г) $36 - x^2 = 6^2 - x^2 = \dots$

д) $36x^2 - 1 = (6x)^2 - 1^2 = \dots$

е) $49x^2 - 64y^2 = \dots$

ж) $0,81x^4 - 0,16y^6 = \dots$

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а)

В выражении $m^2 - n^2$ мы имеем разность квадратов, где $a = m$ и $b = n$. Применяя формулу, получаем:

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

Ответ: $(m - n)(m + n)$

б)

В выражении $y^2 - x^2$ мы также имеем разность квадратов, где $a = y$ и $b = x$. Применяя формулу, получаем:

$y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$

Ответ: $(y - x)(y + x)$

в)

Выражение $p^2 - q^2$ является прямой аналогией формулы разности квадратов, где $a = p$ и $b = q$.

$p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$

Ответ: $(p - q)(p + q)$

г)

В выражении $36 - x^2$ сначала представим $36$ как квадрат числа. Так как $36 = 6^2$, выражение принимает вид:

$36 - x^2 = 6^2 - x^2$

Теперь применим формулу разности квадратов, где $a = 6$ и $b = x$.

$6^2 - x^2 = (6 - x)(6 + x)$

Ответ: $(6 - x)(6 + x)$

д)

Рассмотрим выражение $36x^2 - 1$. Представим каждый член в виде квадрата:

$36x^2 = (6x)^2$

$1 = 1^2$

Выражение становится $(6x)^2 - 1^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = 6x$ и $b = 1$.

$(6x)^2 - 1^2 = (6x - 1)(6x + 1)$

Ответ: $(6x - 1)(6x + 1)$

е)

Рассмотрим выражение $49x^2 - 64y^2$. Представим каждый член в виде квадрата:

$49x^2 = (7x)^2$

$64y^2 = (8y)^2$

Выражение становится $(7x)^2 - (8y)^2$. Применим формулу, где $a = 7x$ и $b = 8y$.

$(7x)^2 - (8y)^2 = (7x - 8y)(7x + 8y)$

Ответ: $(7x - 8y)(7x + 8y)$

ж)

Рассмотрим выражение $0,81x^4 - 0,16y^6$. Представим каждый член в виде квадрата:

$0,81x^4 = (0,9x^2)^2$, так как $0,9^2 = 0,81$ и $(x^2)^2 = x^4$.

$0,16y^6 = (0,4y^3)^2$, так как $0,4^2 = 0,16$ и $(y^3)^2 = y^6$.

Выражение принимает вид $(0,9x^2)^2 - (0,4y^3)^2$. Применим формулу, где $a = 0,9x^2$ и $b = 0,4y^3$.

$(0,9x^2)^2 - (0,4y^3)^2 = (0,9x^2 - 0,4y^3)(0,9x^2 + 0,4y^3)$

Ответ: $(0,9x^2 - 0,4y^3)(0,9x^2 + 0,4y^3)$

339. Турист шёл 2 ч со скоростью 4 км/ч, потом 3 ч со скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всём пути?

Вычислим, с какой постоянной скоростью турист прошёл бы тот же путь за то же время. Это и будет средняя скорость движения.

Турист прошёл $2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 23$ (км) за $2 + 3 = 5$ (ч), следовательно, средняя скорость движения равна ..........

Чтобы найти среднюю скорость движения туриста на всём пути, необходимо общий пройденный путь разделить на общее время, затраченное на этот путь. Формула для вычисления средней скорости ($V_{ср}$):

$V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ}$ — это общий путь, а $t_{общ}$ — это общее время в пути.

Следуя рассуждениям из условия задачи, выполним вычисления по шагам.

1. Вычисление общего пути ($S_{общ}$)

Путь туриста состоял из двух участков. На первом участке турист шёл 2 часа со скоростью 4 км/ч. Пройденное расстояние на этом участке составляет: $S_1 = 2 \text{ ч} \cdot 4 \text{ км/ч} = 8 \text{ км}$. На втором участке турист шёл 3 часа со скоростью 5 км/ч. Пройденное расстояние на втором участке: $S_2 = 3 \text{ ч} \cdot 5 \text{ км/ч} = 15 \text{ км}$. Общий путь, как и указано в условии, равен сумме расстояний, пройденных на этих участках: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 8 \text{ км} + 15 \text{ км} = 23 \text{ км}$.

2. Вычисление общего времени ($t_{общ}$)

Общее время в пути равно сумме времени движения на каждом участке, что также соответствует условию: $t_{общ} = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ часов}$.

3. Вычисление средней скорости ($V_{ср}$)

Теперь, зная общий путь (23 км) и общее время (5 ч), можно завершить рассуждение из условия и найти среднюю скорость движения туриста: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{23 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 4,6 \text{ км/ч}$.

Ответ: 4,6 км/ч.

340. Турист шёл со скоростью 4 км/ч, потом точно такое же время со скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всём пути?

Пусть турист шёл $t$ ч со скоростью 4 км/ч и $t$ ч со скоростью 5 км/ч. Тогда он прошёл $4t + 5t = 9t$ (км) за $2t$ ч. Средняя скорость движения туриста равна ..........

Для нахождения средней скорости движения туриста необходимо разделить весь пройденный путь на всё время движения.

Пусть турист шёл $t$ часов со скоростью 4 км/ч, а затем ещё $t$ часов со скоростью 5 км/ч.

1. Найдём расстояние, пройденное на первом участке пути ($S_1$). Для этого умножим скорость на время:
$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 4 \cdot t$ (км)

2. Найдём расстояние, пройденное на втором участке пути ($S_2$):
$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 5 \cdot t$ (км)

3. Найдём общий пройденный путь ($S_{общ}$), сложив расстояния двух участков:
$S_{общ} = S_1 + S_2 = 4t + 5t = 9t$ (км)

4. Найдём общее время в пути ($T_{общ}$), сложив время движения на двух участках:
$T_{общ} = t_1 + t_2 = t + t = 2t$ (ч)

5. Теперь вычислим среднюю скорость ($v_{ср}$), разделив общий путь на общее время:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{9t}{2t}$

Сократив время $t$ в числителе и знаменателе, получим:
$v_{ср} = \frac{9}{2} = 4,5$ (км/ч)

Ответ: средняя скорость движения туриста на всём пути равна 4,5 км/ч.

341. Велосипедист ехал в гору со скоростью 6 км/ч, потом точно такое же время он ехал с горы со скоростью 12 км/ч. Какова средняя скорость движения велосипедиста на всём пути?

Средняя скорость движения вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени, затраченному на этот путь.

Формула для нахождения средней скорости: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть $t$ (в часах) — это время, которое велосипедист ехал в гору. Согласно условию, он ехал с горы точно такое же время $t$.

Скорость в гору $v_1 = 6$ км/ч.

Скорость с горы $v_2 = 12$ км/ч.

1. Вычислим общий путь $S_{общ}$.

Общий путь состоит из двух участков: путь в гору ($S_1$) и путь с горы ($S_2$).

Путь в гору: $S_1 = v_1 \cdot t = 6t$ км.

Путь с горы: $S_2 = v_2 \cdot t = 12t$ км.

Общий путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 6t + 12t = 18t$ км.

2. Вычислим общее время $t_{общ}$.

Общее время — это сумма времени движения на обоих участках:

$t_{общ} = t + t = 2t$ ч.

3. Рассчитаем среднюю скорость $v_{ср}$.

Подставим найденные значения общего пути и общего времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{18t}{2t}$

Переменная $t$ в числителе и знаменателе сокращается:

$v_{ср} = \frac{18}{2} = 9$ км/ч.

Примечание: Так как время движения на двух участках одинаково, среднюю скорость можно найти как среднее арифметическое скоростей на этих участках: $v_{ср} = \frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{6 + 12}{2} = 9$ км/ч.

Ответ: 9 км/ч.

342. Автомобиль ехал 2 ч со скоростью 60 км/ч, 2 ч со скоростью 70 км/ч и 1 ч со скоростью 80 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля на всём пути?

Для того чтобы найти среднюю скорость движения автомобиля, необходимо весь пройденный путь разделить на всё время, затраченное на этот путь. Средняя скорость вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $v_{ср}$ — средняя скорость, $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.

1. Сначала найдём весь пройденный путь ($S_{общ}$). Он складывается из трёх участков. Рассчитаем расстояние для каждого участка по формуле $S = v \cdot t$ (расстояние равно скорости, умноженной на время).

Расстояние, пройденное на первом участке:

$S_1 = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120 \text{ км}$

Расстояние, пройденное на втором участке:

$S_2 = 70 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 140 \text{ км}$

Расстояние, пройденное на третьем участке:

$S_3 = 80 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 80 \text{ км}$

Теперь сложим расстояния всех участков, чтобы найти общий путь:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 120 \text{ км} + 140 \text{ км} + 80 \text{ км} = 340 \text{ км}$

2. Теперь найдём всё время движения ($t_{общ}$), сложив время движения на каждом участке:

$t_{общ} = 2 \text{ ч} + 2 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

3. Наконец, рассчитаем среднюю скорость, подставив найденные значения общего пути и общего времени в формулу:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{340 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 68 \text{ км/ч}$

Ответ: средняя скорость движения автомобиля на всём пути равна 68 км/ч.