Страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

218. Вынесите общий множитель за скобки:

a) $b^3 - 5b^2 + b = $

б) $5ab^4 + 15a^2b^2 - 25a^3b = $

в) $x(x - 5) + 6(x - 5) = $

г) $x(x - 3) - 7(3 - x) = $

а) В выражении $b^3 - 5b^2 + b$ каждый член содержит переменную $b$. Наименьшая степень переменной $b$ в этом выражении – первая ($b^1$ или просто $b$), поэтому мы можем вынести $b$ за скобки. Для этого нужно каждый член многочлена разделить на $b$:
Первый член: $b^3 \div b = b^{3-1} = b^2$
Второй член: $-5b^2 \div b = -5b^{2-1} = -5b$
Третий член: $b \div b = 1$
Запишем общий множитель $b$ перед скобками, а результаты деления внутри скобок. В результате получаем:
$b(b^2 - 5b + 1)$
Ответ: $b(b^2 - 5b + 1)$

б) В выражении $5ab^4 + 15a^2b^2 - 25a^3b$ найдем общий множитель для коэффициентов и для каждой переменной отдельно.
1. Коэффициенты: 5, 15, -25. Наибольший общий делитель (НОД) для этих чисел равен 5.
2. Переменная $a$: она входит в каждый член в степенях $a^1$, $a^2$, $a^3$. Выносим переменную в наименьшей степени, то есть $a^1 = a$.
3. Переменная $b$: она входит в каждый член в степенях $b^4$, $b^2$, $b^1$. Выносим переменную в наименьшей степени, то есть $b^1 = b$.
Итак, общий множитель для всего выражения – это $5ab$. Теперь разделим каждый член исходного многочлена на $5ab$:
$5ab^4 \div (5ab) = b^3$
$15a^2b^2 \div (5ab) = 3ab$
$-25a^3b \div (5ab) = -5a^2$
Результат записываем в виде произведения общего множителя на многочлен в скобках:
$5ab(b^3 + 3ab - 5a^2)$
Ответ: $5ab(b^3 + 3ab - 5a^2)$

в) В выражении $x(x - 5) + 6(x - 5)$ мы видим два слагаемых: $x(x - 5)$ и $6(x - 5)$. Оба этих слагаемых имеют общий множитель — выражение в скобках $(x - 5)$. Мы можем вынести этот общий множитель за скобки. От первого слагаемого останется $x$, а от второго — 6. Получим:
$(x - 5)(x + 6)$
Ответ: $(x - 5)(x + 6)$

г) В выражении $x(x - 3) - 7(3 - x)$ множители в скобках $(x - 3)$ и $(3 - x)$ являются противоположными выражениями. То есть, $(3 - x) = -1 \cdot (x - 3)$. Мы можем использовать это свойство, чтобы сделать множители одинаковыми.
Заменим $(3 - x)$ на $-(x - 3)$ во втором члене:
$x(x - 3) - 7(-(x - 3))$
Умножение $-7$ на $-1$ дает $+7$:
$x(x - 3) + 7(x - 3)$
Теперь у обоих членов есть общий множитель $(x - 3)$, который мы выносим за скобки. От первого члена остается $x$, а от второго $+7$.
$(x - 3)(x + 7)$
Ответ: $(x - 3)(x + 7)$

219. Используя группировку слагаемых, разложите на множители:

а) $b^3 - b^2 + 5b - 5 = b^2(b - 1) + 5(\dots) = \dots$

б) $x^3 - 4x^2 - 2x + 8 = x^2(x - 4) - 2(\dots) = \dots$

в) $2m^4 - 4m^2 + 3m^3 - 6m = \dots$

г) $3y^4 + 2y^2 - 3y^3 - 2y = \dots$

а) В выражении $b^3 - b^2 + 5b - 5$ сгруппируем попарно слагаемые: $(b^3 - b^2) + (5b - 5)$. Из первой группы вынесем общий множитель $b^2$, а из второй — $5$. Получим: $b^2(b - 1) + 5(b - 1)$. Теперь общий множитель $(b - 1)$ можно вынести за скобки: $(b - 1)(b^2 + 5)$.
Ответ: $(b-1)(b^2+5)$

б) В выражении $x^3 - 4x^2 - 2x + 8$ сгруппируем слагаемые: $(x^3 - 4x^2) + (-2x + 8)$. Из первой группы вынесем общий множитель $x^2$, а из второй — $-2$. Это позволит получить одинаковые выражения в скобках. Получим: $x^2(x - 4) - 2(x - 4)$. Теперь вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки: $(x - 4)(x^2 - 2)$.
Ответ: $(x-4)(x^2-2)$

в) В выражении $2m^4 - 4m^2 + 3m^3 - 6m$ сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(2m^4 - 4m^2) + (3m^3 - 6m)$. Из первой группы вынесем за скобки $2m^2$, а из второй — $3m$: $2m^2(m^2 - 2) + 3m(m^2 - 2)$. Теперь вынесем общий множитель $(m^2 - 2)$ за скобки: $(m^2 - 2)(2m^2 + 3m)$. Во втором множителе можно вынести за скобку $m$: $(m^2 - 2)m(2m + 3)$. Запишем в стандартном виде: $m(m^2 - 2)(2m + 3)$.
Ответ: $m(m^2 - 2)(2m + 3)$

г) В выражении $3y^4 + 2y^2 - 3y^3 - 2y$ для удобства переставим слагаемые: $3y^4 - 3y^3 + 2y^2 - 2y$. Сгруппируем их попарно: $(3y^4 - 3y^3) + (2y^2 - 2y)$. Из первой группы вынесем общий множитель $3y^3$, а из второй — $2y$: $3y^3(y - 1) + 2y(y - 1)$. Теперь вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки: $(y - 1)(3y^3 + 2y)$. Во втором множителе можно вынести за скобку $y$: $(y - 1)y(3y^2 + 2)$. Запишем в стандартном виде: $y(y - 1)(3y^2 + 2)$.
Ответ: $y(y - 1)(3y^2 + 2)$

362. ОГЭ. Имеется два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 42 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Пусть в первом сосуде содержится $x$ кг кислоты, а во втором — $y$ кг кислоты. Тогда общее количество кислоты равно $(x + y)$ кг, или $0,42 \cdot (48 + 42)$ кг.

Составим первое уравнение:

Увеличим массы растворов в сосудах: в первом — в 7 раз, во втором — в 8 раз. При этом массы растворов станут равными 336 кг, а общая масса растворов составит 672 кг. В первом сосуде станет $7x$ кг кислоты, а во втором $8y$ кг кислоты.

Тогда общее количество кислоты равно $(7x + 8y)$ кг, или $0,40 \cdot 672$ кг.

Составим второе уравнение:

Решим систему двух уравнений:

Пусть в первом сосуде содержится x кг кислоты, а во втором — y кг кислоты. Тогда общее количество кислоты равно (x + y) кг, или 0,42 ⋅ (48 + 42) кг.

Составим первое уравнение:
Согласно первому условию, при смешивании всего содержимого двух сосудов получается раствор с концентрацией $42\%$. Общая масса раствора равна $48 \text{ кг} + 42 \text{ кг} = 90 \text{ кг}$. Масса чистой кислоты в этом растворе составляет $0,42 \cdot 90 = 37,8$ кг. Так как $x$ и $y$ — это массы кислоты в первом и втором растворах соответственно, их сумма равна общей массе кислоты в смеси.
$x + y = 37,8$

Увеличим массы растворов в сосудах: в первом — в 7 раз, во втором — в 8 раз. При этом массы растворов станут равными 336 кг, а общая масса растворов составит 672 кг. В первом сосуде станет 7x кг кислоты, а во втором 8y кг кислоты.
Этот шаг выполняется для того, чтобы смоделировать второе условие задачи: "если слить равные массы этих растворов". Умножив массу первого раствора ($48$ кг) на $7$ и массу второго ($42$ кг) на $8$, мы получаем равные массы по $336$ кг ($48 \cdot 7 = 336$; $42 \cdot 8 = 336$).
Концентрация первого раствора: $C_1 = \frac{x}{48}$. Количество кислоты в $336$ кг первого раствора: $336 \cdot \frac{x}{48} = 7x$ кг.
Концентрация второго раствора: $C_2 = \frac{y}{42}$. Количество кислоты в $336$ кг второго раствора: $336 \cdot \frac{y}{42} = 8y$ кг.

Тогда общее количество кислоты равно (7x + 8y) кг, или 0,40 ⋅ 672 кг.

Составим второе уравнение:
При смешивании этих равных масс ($336$ кг и $336$ кг) общая масса раствора составит $336 + 336 = 672$ кг. По условию, концентрация такого раствора равна $40\%$.
Общая масса кислоты в этой смеси равна $(7x + 8y)$ кг, а также $0,40 \cdot 672 = 268,8$ кг.
$7x + 8y = 268,8$

Решим систему двух уравнений:
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} x + y = 37,8 \\ 7x + 8y = 268,8 \end{cases} $
Выразим переменную $x$ из первого уравнения:
$x = 37,8 - y$
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$7(37,8 - y) + 8y = 268,8$
$264,6 - 7y + 8y = 268,8$
$264,6 + y = 268,8$
$y = 268,8 - 264,6$
$y = 4,2$
Таким образом, количество килограммов кислоты, которое содержится во втором растворе, равно $4,2$.
Ответ: 4,2