Страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

86 Вычислите вероятность пересечения событий $A$ и $B$, если:

а) $P(A) = 0,8, P(B) = 0,6, P(A \cup B) = 0,9;$

б) $P(A) = 0,5, P(B) = 0,6, P(A \cup B) = 0,8.$

а)

Для вычисления вероятности пересечения событий A и B, $P(A \cap B)$, используется формула сложения вероятностей для совместных событий:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Из этой формулы можно выразить искомую вероятность пересечения:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Подставим заданные значения: $P(A) = 0,8$, $P(B) = 0,6$ и $P(A \cup B) = 0,9$.

Выполним вычисление:

$P(A \cap B) = 0,8 + 0,6 - 0,9 = 1,4 - 0,9 = 0,5$

Ответ: 0,5

б)

Аналогично, используем формулу для вероятности пересечения событий:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Подставим известные значения из условия: $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,6$ и $P(A \cup B) = 0,8$.

Выполним вычисление:

$P(A \cap B) = 0,5 + 0,6 - 0,8 = 1,1 - 0,8 = 0,3$

Ответ: 0,3

87 В торговом центре недалеко друг от друга расположены два автомата, продающие кофе. Вероятность того, что к вечеру в первом автомате закончится кофе, равна $0,3$. Такая же вероятность того, что кофе закончится во втором автомате. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна $0,12$. Найдите вероятность события:

а) «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов»;

б) «кофе закончится только в одном из автоматов».

Для решения задачи введем обозначения для событий:
Событие A: «к вечеру в первом автомате закончится кофе».
Событие B: «к вечеру во втором автомате закончится кофе».

Из условия задачи нам даны следующие вероятности:
Вероятность события A: $P(A) = 0,3$.
Вероятность события B: $P(B) = 0,3$.
Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах (совместное наступление событий A и B): $P(A \cap B) = 0,12$.

Событие «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов» является объединением событий A и B (обозначается как $A \cup B$). Вероятность объединения двух событий находится по формуле сложения вероятностей:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Подставим известные значения:
$P(A \cup B) = 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,6 - 0,12 = 0,48$
Таким образом, вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, равна 0,48.
Ответ: 0,48

Это событие означает, что наступит одно из двух несовместных событий:
1. Кофе закончился в первом автомате, но не закончился во втором. Вероятность этого события равна $P(A) - P(A \cap B)$.
2. Кофе закончился во втором автомате, но не закончился в первом. Вероятность этого события равна $P(B) - P(A \cap B)$.
Найдем вероятность того, что кофе закончится только в одном из автоматов, как сумму вероятностей этих двух событий:
$P(\text{только в одном}) = (P(A) - P(A \cap B)) + (P(B) - P(A \cap B))$
$P(\text{только в одном}) = (0,3 - 0,12) + (0,3 - 0,12) = 0,18 + 0,18 = 0,36$
Также можно решить эту задачу другим способом. Событие «кофе закончится только в одном из автоматов» — это когда кофе закончился «хотя бы в одном», но не «в обоих одновременно». Поэтому можно из вероятности, найденной в пункте а), вычесть вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах:
$P(\text{только в одном}) = P(A \cup B) - P(A \cap B) = 0,48 - 0,12 = 0,36$
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 0,36

88 В банке рядом друг с другом стоят два банкомата — старый и новый. Вероятность того, что в течение дня в старом банкомате закончатся денежные купюры, равна 0,2. Вероятность того, что купюры закончатся в новом банкомате, равна 0,1. В двух банкоматах купюры могут закончиться с вероятностью 0,05. Найдите вероятность события:

а) «в течение дня купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов»;

б) «в течение дня купюры не закончатся ни в одном из банкоматов»;

в) «в течение дня купюры закончатся только в старом банкомате»;

г) «к закрытию банка купюры останутся хотя бы в одном из банкоматов».

Для решения задачи введем обозначения для событий:

• Событие A: «в течение дня в старом банкомате закончатся денежные купюры».
• Событие B: «в течение дня в новом банкомате закончатся денежные купюры».

Из условия задачи известны следующие вероятности:

• Вероятность того, что купюры закончатся в старом банкомате: $P(A) = 0,2$.
• Вероятность того, что купюры закончатся в новом банкомате: $P(B) = 0,1$.
• Вероятность того, что купюры закончатся в обоих банкоматах одновременно (совместное событие): $P(A \cap B) = 0,05$.

а) «в течение дня купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов»

Это событие означает, что произойдет или событие A, или событие B, или оба вместе. В теории вероятностей это соответствует объединению событий A и B, то есть событию $A \cup B$. Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Подставим известные значения:

$P(A \cup B) = 0,2 + 0,1 - 0,05 = 0,25$

Ответ: 0,25

б) «в течение дня купюры не закончатся ни в одном из банкоматов»

Это событие является противоположным (дополнительным) к событию из пункта (а), то есть к событию «купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов». Если событие из пункта (а) мы обозначили как $A \cup B$, то искомое событие будет $\overline{A \cup B}$. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность исходного события:

$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$

Используя результат из пункта (а):

$P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0,25 = 0,75$

Ответ: 0,75

в) «в течение дня купюры закончатся только в старом банкомате»

Это событие означает, что событие A (купюры закончились в старом банкомате) произойдет, а событие B (купюры закончились в новом банкомате) не произойдет. Обозначим событие, что купюры не закончатся в новом банкомате, как $\overline{B}$. Тогда мы ищем вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Вероятность события A можно представить как сумму вероятностей двух несовместных событий: «купюры закончились в старом и в новом банкоматах» ($A \cap B$) и «купюры закончились только в старом банкомате» ($A \cap \overline{B}$). То есть:

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$

Отсюда можно выразить искомую вероятность:

$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$

Подставим известные значения:

$P(A \cap \overline{B}) = 0,2 - 0,05 = 0,15$

Ответ: 0,15

г) «к закрытию банка купюры останутся хотя бы в одном из банкоматов»

Это событие означает, что не произойдет ситуация, когда купюры закончатся в обоих банкоматах одновременно. То есть, это событие является противоположным (дополнительным) к событию $A \cap B$ (купюры закончились в обоих банкоматах). Вероятность этого события равна:

$P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$

Подставим известное значение:

$P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0,05 = 0,95$

Ответ: 0,95

89 Могут ли события C и D быть такими, что $P(C)=0,6$; $P(D)=0,7$ и $P(C \cap D)=0,1$?

Чтобы определить, могут ли существовать события C и D с заданными вероятностями, необходимо проверить, не противоречат ли эти значения основным аксиомам и свойствам теории вероятностей.

Воспользуемся формулой сложения вероятностей для двух совместных событий:

$P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D)$

где $P(C \cup D)$ — это вероятность наступления хотя бы одного из событий C или D, а $P(C \cap D)$ — вероятность их одновременного наступления.

Подставим в эту формулу значения, данные в условии задачи:

$P(C) = 0,6$

$P(D) = 0,7$

$P(C \cap D) = 0,1$

Рассчитаем вероятность объединения событий C и D:

$P(C \cup D) = 0,6 + 0,7 - 0,1 = 1,3 - 0,1 = 1,2$

Согласно одной из основных аксиом теории вероятностей, вероятность любого события не может превышать 1. То есть для любого события A должно выполняться условие $P(A) \le 1$.

В нашем случае мы получили значение вероятности $P(C \cup D) = 1,2$, что больше 1. Это является невозможным результатом.

Следовательно, события C и D с указанными вероятностями существовать не могут, так как это приводит к противоречию с фундаментальными принципами теории вероятностей.

Другой способ проверки:

Вероятность пересечения двух событий $P(C \cap D)$ не может быть меньше, чем сумма их вероятностей минус единица. Это следует из того, что $P(C \cup D) \le 1$.

$P(C \cap D) \ge P(C) + P(D) - 1$

Подставим известные значения $P(C)$ и $P(D)$:

$P(C \cap D) \ge 0,6 + 0,7 - 1$

$P(C \cap D) \ge 1,3 - 1$

$P(C \cap D) \ge 0,3$

Это означает, что при заданных вероятностях событий C и D, вероятность их совместного наступления должна быть не менее 0,3. В условии же дано значение $P(C \cap D) = 0,1$, что меньше 0,3. Это также подтверждает, что такая комбинация вероятностей невозможна.

Ответ: нет, такие события не могут существовать, так как заданные вероятности противоречат аксиомам теории вероятностей.

90 Пользуясь диаграммой Эйлера, докажите, что несовместны события:

а) $\overline{A}$ и $A \cap B$;

б) $A \cap B$ и $A \cap \overline{B}$.

Два события являются несовместными, если они не могут произойти одновременно. На языке теории множеств это означает, что их пересечение является пустым множеством ($ \emptyset $). Докажем это для каждой пары событий с помощью диаграммы Эйлера (диаграммы Венна).

а)
Рассмотрим события $\overline{A}$ и $A \cap B$.
На диаграмме Эйлера событие $A \cap B$ — это область, принадлежащая одновременно множествам A и B (их общая часть). Важно, что вся эта область является частью множества A.
Событие $\overline{A}$ (дополнение к A) — это вся область, которая не принадлежит множеству A.
Поскольку область $A \cap B$ целиком находится внутри A, а область $\overline{A}$ целиком находится вне A, у этих двух областей нет и не может быть общих точек. Их пересечение пусто.
Формально: $(\overline{A}) \cap (A \cap B) = \emptyset$.
Следовательно, события $\overline{A}$ и $A \cap B$ несовместны.
Ответ: События несовместны, так как область $A \cap B$ является подмножеством $A$, а $\overline{A}$ — это все, что не входит в $A$, поэтому их пересечение пусто.

б)
Рассмотрим события $A \cap B$ и $\overline{A \cap B}$.
Обозначим событие $C = A \cap B$. Тогда второе событие будет его дополнением, то есть $\overline{C}$.
На диаграмме Эйлера $C = A \cap B$ — это область пересечения множеств A и B.
Событие $\overline{C} = \overline{A \cap B}$ по определению является дополнением к событию $C$. Это означает, что оно содержит все исходы, которые не принадлежат $C$. На диаграмме это вся область за пределами пересечения $A \cap B$.
По определению дополнения, множество и его дополнение никогда не имеют общих элементов. Их пересечение всегда является пустым множеством.
Формально: $(A \cap B) \cap (\overline{A \cap B}) = \emptyset$.
Следовательно, события $A \cap B$ и $\overline{A \cap B}$ несовместны.
Ответ: События несовместны, так как одно событие является дополнением другого, а пересечение любого события с его дополнением по определению является пустым множеством.

91 Пользуясь диаграммой Эйлера для событий A, B и C, выведите формулу сложения вероятностей для трёх событий:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C).$

Для вывода формулы сложения вероятностей для трёх событий A, B и C воспользуемся диаграммами Эйлера, где вероятность события геометрически представляется площадью соответствующей фигуры. Вероятность объединения событий $P(A \cup B \cup C)$ — это общая площадь, занимаемая фигурами, соответствующими событиям A, B и C.

Вывод формулы основан на принципе включений-исключений, который можно продемонстрировать с помощью диаграммы:

1. Сначала сложим вероятности всех трёх событий: $P(A) + P(B) + P(C)$. При таком сложении площади, соответствующие пересечениям событий, будут учтены несколько раз. В частности, площади попарных пересечений ($A \cap B$, $A \cap C$, $B \cap C$) будут учтены дважды, а площадь тройного пересечения ($A \cap B \cap C$) — трижды.

2. Чтобы устранить это избыточное суммирование, вычтем вероятности попарных пересечений: $P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C)$. После этого шага области, где пересекаются ровно два события, будут учтены корректно (один раз). Однако область тройного пересечения ($A \cap B \cap C$) была сначала добавлена трижды (с $P(A)$, $P(B)$ и $P(C)$), а затем вычтена трижды (как часть каждого попарного пересечения). В результате она оказывается полностью исключённой из подсчёта ($3-3=0$).

3. Поскольку область $A \cap B \cap C$ является частью объединения, её вероятность должна быть учтена. Так как на предыдущем шаге мы её полностью исключили, её необходимо снова добавить. Это и завершает вывод формулы.

Ответ: $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$.