Страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Как называется специальная демографическая диаграмма, показывающая численность мужского и женского населения?

1

Специальная демографическая диаграмма, которая показывает численность мужского и женского населения в разных возрастных группах, называется половозрастной пирамидой. Она представляет собой две гистограммы (для мужчин и женщин), расположенные по обе стороны от вертикальной оси. По вертикальной оси откладываются возрастные группы (обычно с интервалом в 5 лет), а по горизонтальной — численность населения или его доля в процентах. Левая часть пирамиды традиционно показывает численность мужского населения, а правая — женского.

Форма половозрастной пирамиды является важным инструментом для анализа демографической ситуации. Например, пирамида с широким основанием и узкой вершиной (классическая форма) характерна для стран с высокой рождаемостью и высокой смертностью, что свидетельствует о молодом и быстрорастущем населении. Пирамида с более ровными боковыми сторонами, похожая на колонну, указывает на стабильное население с низкой рождаемостью и низкой смертностью, что типично для развитых стран. Пирамида с сужающимся основанием свидетельствует о сокращении рождаемости и старении населения, что ведет к его будущему уменьшению. Таким образом, анализ этой диаграммы позволяет делать выводы о прошлом, настоящем и будущем демографическом развитии страны или региона.

Ответ: половозрастная пирамида.

2 За счёт чего может увеличиваться или уменьшаться численность трудоспособного населения в стране помимо войн?

Численность трудоспособного населения в стране, помимо войн, является динамической величиной, которая изменяется под влиянием демографических, миграционных, социальных и законодательных факторов.

За счёт чего может увеличиваться численность трудоспособного населения

К увеличению численности трудоспособного населения приводят следующие основные факторы:
1. Демографические факторы: Вступление в трудоспособный возраст многочисленных поколений, рожденных в периоды высокой рождаемости (эффект "бэби-бума"). Также положительно сказывается снижение смертности среди населения трудоспособного возраста благодаря развитию системы здравоохранения, улучшению условий труда и повышению общего уровня жизни.
2. Миграционные процессы: Иммиграция, то есть приток в страну населения из других государств, в первую очередь трудовых мигрантов, которые пополняют национальный рынок труда.
3. Изменения в законодательстве: Повышение государством официального пенсионного возраста. Эта мера приводит к тому, что граждане старших возрастов дольше остаются в составе трудоспособного населения, формально увеличивая его численность.

За счёт чего может уменьшаться численность трудоспособного населения

К уменьшению численности трудоспособного населения приводят следующие факторы:
1. Демографические факторы: Низкая рождаемость в предыдущие десятилетия (так называемая "демографическая яма"), что приводит к малочисленности поколения, вступающего в трудоспособный возраст. Также к сокращению ведет общее старение населения, когда доля граждан, достигающих пенсионного возраста, превышает долю молодежи, пополняющей ряды работников. Важным фактором является и высокая смертность в трудоспособном возрасте из-за болезней (включая эпидемии), несчастных случаев, нездорового образа жизни и плохой экологии.
2. Миграционные процессы: Эмиграция — отток граждан трудоспособного возраста в другие страны в поисках более высокооплачиваемой работы и лучших условий жизни (включая "утечку мозгов" — отъезд высококвалифицированных специалистов).
3. Чрезвычайные ситуации: Крупномасштабные эпидемии и пандемии, стихийные бедствия (землетрясения, наводнения) и техногенные катастрофы, которые могут приводить к массовой гибели и инвалидизации населения, в том числе его трудоспособной части.
4. Изменения в законодательстве: Снижение официального пенсионного возраста, что ведет к более раннему выходу значительной части населения из состава трудоспособных.

Ответ: Численность трудоспособного населения может увеличиваться за счет высокой рождаемости в прошлом, притока иммигрантов и повышения пенсионного возраста. Уменьшение происходит из-за низкой рождаемости в прошлом (что ведет к старению нации), высокой смертности (в т.ч. из-за эпидемий и катастроф), оттока населения (эмиграции) в другие страны, а также вследствие снижения пенсионного возраста.

65 На диаграмме Эйлера (рис. 29) изображены события A и B.

Нарисуйте диаграмму в тетради и укажите на ней событие C, которое состоит в том, что:

а) событие A наступило, а событие B нет;

б) не наступило ни одно из событий A и B;

в) наступило хотя бы одно из событий A и B;

г) наступили оба события.

Какое из этих событий является событием $A \cap B$? Какое из этих событий является событием $\overline{A \cup B}$?

Рисунок 29

а) событие А наступило, а событие B нет
Это событие означает, что происходит только событие А. На диаграмме Эйлера это область, принадлежащая кругу А, но не принадлежащая кругу В. Данная область, соответствующая событию С, закрашена на рисунке:
В терминах теории множеств это событие является разностью $A \setminus B$ или пересечением А с дополнением В, то есть $A \cap \overline{B}$.
Ответ: Изображенная область соответствует событию $C = A \setminus B$.

б) не наступило ни одно из событий А и B
Это событие означает, что не произошло ни событие А, ни событие В. На диаграмме Эйлера это область внутри прямоугольника, но вне обоих кругов А и В. Данная область, соответствующая событию С, закрашена на рисунке:
В терминах теории множеств это событие является дополнением к объединению событий А и В, то есть $\overline{A \cup B}$.
Ответ: Изображенная область соответствует событию $C = \overline{A \cup B}$.

в) наступило хотя бы одно из событий А и B
Это событие означает, что произошло или событие А, или событие В, или оба события вместе. На диаграмме Эйлера это область, занимаемая обоими кругами А и В. Данная область, соответствующая событию С, закрашена на рисунке:
В терминах теории множеств это событие является объединением событий А и В, то есть $A \cup B$.
Ответ: Изображенная область соответствует событию $C = A \cup B$.

г) наступили оба события
Это событие означает, что произошли и событие А, и событие В одновременно. На диаграмме Эйлера это общая область для кругов А и В, их пересечение. Данная область, соответствующая событию С, закрашена на рисунке:
В терминах теории множеств это событие является пересечением событий А и В, то есть $A \cap B$.
Ответ: Изображенная область соответствует событию $C = A \cap B$.

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что наступают оба события одновременно. Этому условию соответствует событие, описанное и изображенное в пункте г).
Ответ: Событие г).

Событие $\overline{A \cup B}$ (дополнение к объединению событий A и B) означает, что не наступает ни событие A, ни событие B. Этому условию соответствует событие, описанное и изображенное в пункте б).
Ответ: Событие б).

66 Из класса случайным образом последовательно выбирают двух учеников. Событие $D$ — «первый выбранный ученик — девочка». Событие $C$ — «второй выбранный ученик — девочка». Опишите словами события:

$D \cap C$

$D \cup C$

$D \cap C$

Пересечение событий $D \cap C$ означает, что оба события, $D$ и $C$, должны произойти одновременно. Событие $D$ — «первый выбранный ученик — девочка», а событие $C$ — «второй выбранный ученик — девочка». Таким образом, событие $D \cap C$ заключается в том, что и первый, и второй выбранные ученики являются девочками.
Ответ: оба выбранных ученика — девочки.

$D \cup C$

Объединение событий $D \cup C$ означает, что должно произойти хотя бы одно из событий: или $D$, или $C$, или оба вместе. Это означает, что либо первый ученик — девочка, либо второй ученик — девочка, либо оба ученика — девочки. Другими словами, среди двух выбранных учеников есть по крайней мере одна девочка.
Ответ: хотя бы один из двух выбранных учеников — девочка.

67 Из класса случайным образом последовательно выбирают двух учеников. Событие A — «первый выбранный ученик — девочка». Опишите словами объединение и пересечение событий A и B, если событие B:

a) «среди выбранных учеников есть только одна девочка»;

б) «второй выбранный ученик — мальчик».

Обозначим событие выбора девочки буквой Д, а выбора мальчика — М. Поскольку учеников выбирают последовательно, важен порядок. Возможные исходы выбора двух учеников — это упорядоченные пары: (Д, Д), (Д, М), (М, Д), (М, М).

Событие $A$ — «первый выбранный ученик — девочка». Этому событию соответствуют исходы, у которых на первом месте стоит Д. Таким образом, $A = \{ (Д, Д), (Д, М) \}$.

а)

Событие $B$ в данном случае — «среди выбранных учеников есть только одна девочка». Этому событию соответствуют исходы, в которых есть ровно одна буква Д: $B = \{ (Д, М), (М, Д) \}$.

Объединение событий $A \cup B$ — это событие, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий $A$ или $B$. Оно включает в себя все исходы, принадлежащие хотя бы одному из множеств $A$ или $B$.

$A \cup B = \{ (Д, Д), (Д, М) \} \cup \{ (Д, М), (М, Д) \} = \{ (Д, Д), (Д, М), (М, Д) \}$.

Это множество исходов означает, что среди двух выбранных учеников есть как минимум одна девочка (единственный исход, который не вошел в объединение — (М, М), т.е. выбраны два мальчика). Следовательно, словесное описание объединения: «среди выбранных учеников есть хотя бы одна девочка».

Пересечение событий $A \cap B$ — это событие, которое происходит, если происходят оба события $A$ и $B$ одновременно. Оно включает в себя исходы, принадлежащие обоим множествам $A$ и $B$.

$A \cap B = \{ (Д, Д), (Д, М) \} \cap \{ (Д, М), (М, Д) \} = \{ (Д, М) \}$.

Этот исход означает, что первый выбранный ученик — девочка (выполнение события $A$) и второй выбранный ученик — мальчик (это необходимо, чтобы в паре была только одна девочка — выполнение события $B$). Следовательно, словесное описание пересечения: «первый выбранный ученик — девочка, а второй — мальчик».

Ответ: Объединение событий $A$ и $B$ — «среди выбранных учеников есть хотя бы одна девочка». Пересечение событий $A$ и $B$ — «первый выбранный ученик — девочка, а второй — мальчик».

б)

Событие $B$ в данном случае — «второй выбранный ученик — мальчик». Этому событию соответствуют исходы, у которых на втором месте стоит М: $B = \{ (Д, М), (М, М) \}$.

Объединение событий $A \cup B$ — это событие, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий $A$ или $B$.

$A \cup B = \{ (Д, Д), (Д, М) \} \cup \{ (Д, М), (М, М) \} = \{ (Д, Д), (Д, М), (М, М) \}$.

Это событие происходит, если выполняется условие «первый ученик — девочка» (исходы (Д, Д) и (Д, М)) или условие «второй ученик — мальчик» (исходы (Д, М) и (М, М)). Это и есть его наиболее точное словесное описание. Следовательно, словесное описание объединения: «первый выбранный ученик — девочка, или второй выбранный ученик — мальчик».

Пересечение событий $A \cap B$ — это событие, которое происходит, если происходят оба события $A$ и $B$ одновременно.

$A \cap B = \{ (Д, Д), (Д, М) \} \cap \{ (Д, М), (М, М) \} = \{ (Д, М) \}$.

Этот исход означает, что должен быть выбран первым учеником девочка (событие $A$) и вторым учеником мальчик (событие $B$). Следовательно, словесное описание пересечения: «первый выбранный ученик — девочка, а второй — мальчик».

Ответ: Объединение событий $A$ и $B$ — «первый выбранный ученик — девочка, или второй выбранный ученик — мальчик». Пересечение событий $A$ и $B$ — «первый выбранный ученик — девочка, а второй — мальчик».

68 Бросают одну игральную кость. Событие $A$ — «выпадет чётное число очков».

Событие $B$ состоит в том, что:

a) выпадет число очков, кратное 3;

б) выпадет нечётное число очков;

в) выпадет число очков, кратное 4;

г) выпадет число очков, кратное 5.

Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию $A \cup B$.

Найдите $P(A \cup B)$.

При бросании одной игральной кости существует 6 равновозможных элементарных исходов (событий): выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Общее число исходов $n=6$.

Событие A — «выпадет чётное число очков». Этому событию благоприятствуют следующие элементарные события: {2, 4, 6}.

Событие $A \cup B$ (объединение событий A и B) означает, что произошло хотя бы одно из этих событий (либо A, либо B, либо оба вместе). Чтобы найти элементарные события, благоприятствующие $A \cup B$, нужно найти объединение множеств элементарных событий, благоприятствующих A и B.

а)

Событие B состоит в том, что «выпадет число очков, кратное 3». Этому событию благоприятствуют элементарные события: {3, 6}.

Найдём объединение событий A и B:

$A \cup B = \{2, 4, 6\} \cup \{3, 6\} = \{2, 3, 4, 6\}$.

Элементарные события, благоприятствующие событию $A \cup B$: 2, 3, 4, 6.

Число благоприятствующих исходов $m = 4$. Вероятность события $A \cup B$ вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$.

$P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Элементарные события: {2, 3, 4, 6}; $P(A \cup B) = \frac{2}{3}$.

б)

Событие B состоит в том, что «выпадет нечётное число очков». Этому событию благоприятствуют элементарные события: {1, 3, 5}.

Найдём объединение событий A и B:

$A \cup B = \{2, 4, 6\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Элементарные события, благоприятствующие событию $A \cup B$: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Это все возможные исходы, то есть событие является достоверным.

Число благоприятствующих исходов $m = 6$.

$P(A \cup B) = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: Элементарные события: {1, 2, 3, 4, 5, 6}; $P(A \cup B) = 1$.

в)

Событие B состоит в том, что «выпадет число очков, кратное 4». Этому событию благоприятствует элементарное событие: {4}.

Найдём объединение событий A и B:

$A \cup B = \{2, 4, 6\} \cup \{4\} = \{2, 4, 6\}$.

Элементарные события, благоприятствующие событию $A \cup B$: 2, 4, 6.

Число благоприятствующих исходов $m = 3$.

$P(A \cup B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Элементарные события: {2, 4, 6}; $P(A \cup B) = \frac{1}{2}$.

г)

Событие B состоит в том, что «выпадет число очков, кратное 5». Этому событию благоприятствует элементарное событие: {5}.

Найдём объединение событий A и B:

$A \cup B = \{2, 4, 6\} \cup \{5\} = \{2, 4, 5, 6\}$.

Элементарные события, благоприятствующие событию $A \cup B$: 2, 4, 5, 6.

Число благоприятствующих исходов $m = 4$.

$P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Элементарные события: {2, 4, 5, 6}; $P(A \cup B) = \frac{2}{3}$.

69 Игральную кость бросают дважды. Событие $A$ — «при первом броске выпадет единица». Событие $B$ — «при втором броске выпадет единица».

а) Укажите в таблице этого случайного опыта все элементарные события, благоприятствующие событию $A \cup B$.

б) Сколько у событий $A$ и $B$ общих благоприятствующих элементарных событий?

в) Опишите словами событие $A \cup B$.

г) Найдите вероятность события $A \cup B$.

а) Укажите в таблице этого случайного опыта все элементарные события, благоприятствующие событию A∪B.

Случайный опыт состоит в двукратном бросании игральной кости. Каждый элементарный исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(x, y)$, где $x$ — результат первого броска, а $y$ — результат второго броска. Всего существует $6 \times 6 = 36$ таких исходов.

Событие $A$ — «при первом броске выпадет единица». Ему благоприятствуют исходы, у которых первая координата равна 1: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$.

Событие $B$ — «при втором броске выпадет единица». Ему благоприятствуют исходы, у которых вторая координата равна 1: $(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)$.

Событие $A \cup B$ (объединение событий $A$ и $B$) означает, что произойдет хотя бы одно из этих событий: либо при первом броске выпадет единица, либо при втором, либо на обоих сразу. Благоприятствующие этому событию исходы — это все исходы, входящие в $A$ или в $B$.

В таблице ниже показаны все 36 возможных исходов. Благоприятствующие событию $A \cup B$ выделены жирным шрифтом.

Ответ: Элементарные события, благоприятствующие событию $A \cup B$: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1).

б) Сколько у событий A и B общих благоприятствующих элементарных событий?

Общие благоприятствующие элементарные события — это исходы, которые благоприятствуют и событию $A$, и событию $B$ одновременно. Это соответствует пересечению событий $A \cap B$.

Событие $A \cap B$ означает, что «при первом броске выпала единица» и «при втором броске выпала единица».

Этому условию удовлетворяет только один элементарный исход: (1, 1).

Ответ: У событий A и B одно общее благоприятствующее элементарное событие.

в) Опишите словами событие A∪B.

Событие $A \cup B$ является объединением событий $A$ («при первом броске выпадет единица») и $B$ («при втором броске выпадет единица»).

Это означает, что произойдет или событие $A$, или событие $B$, или оба вместе. Словесно это можно описать так: «при первом броске выпала единица, или при втором броске выпала единица». Более коротко и точно это событие можно описать как «хотя бы раз выпала единица».

Ответ: Событие $A \cup B$ означает, что при двух бросках игральной кости хотя бы один раз выпадет единица.

г) Найдите вероятность события A∪B.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Общее число исходов при двух бросках кости: $n = 6 \times 6 = 36$.

Число исходов, благоприятствующих событию $A \cup B$, мы посчитали в пункте а). Это все исходы, где есть хотя бы одна единица. Их количество $m = 11$.

Таким образом, вероятность события $A \cup B$ равна:

$P(A \cup B) = \frac{m}{n} = \frac{11}{36}$

Также вероятность можно найти по формуле сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Вероятность события $A$ (на первом броске 1): $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Вероятность события $B$ (на втором броске 1): $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Вероятность события $A \cap B$ (на обоих бросках 1): $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$.

Тогда $P(A \cup B) = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} - \frac{1}{36} = \frac{11}{36}$.

Ответ: $P(A \cup B) = \frac{11}{36}$.

70 Игральную кость бросают дважды. Событие $U$ — «в первый раз выпадет число очков, кратное трём». Событие $V$ — «во второй раз выпадет число очков, кратное трём».

а) В таблице элементарных событий этого опыта выделите элементарные события, благоприятствующие одновременно событию $U$ и событию $V$.

б) Опишите словами событие $U \cup V$.

в) Найдите вероятность события $U \cup V$.

а)

Всего при двух бросках игральной кости существует $6 \times 6 = 36$ элементарных событий. Каждое событие можно представить в виде пары чисел $(i, j)$, где $i$ — результат первого броска, а $j$ — результат второго.

Событие $U$ («в первый раз выпадет число очков, кратное трём») происходит, когда число очков первого броска $i \in \{3, 6\}$.
Событие $V$ («во второй раз выпадет число очков, кратное трём») происходит, когда число очков второго броска $j \in \{3, 6\}$.

События $U$ и $V$ происходят одновременно, если результат первого броска кратен трём, и результат второго броска кратен трём. Это соответствует элементарным событиям, где $i \in \{3, 6\}$ и $j \in \{3, 6\}$.

Такими элементарными событиями являются: (3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6).

Выделим эти события в таблице всех элементарных событий (строки соответствуют первому броску, столбцы — второму):

Ответ: Элементарные события, благоприятствующие одновременному наступлению событий $U$ и $V$: (3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6).

б)

Событие $U \cup V$ представляет собой объединение событий $U$ и $V$. Это означает, что должно произойти хотя бы одно из этих событий: либо событие $U$, либо событие $V$, либо оба вместе.

Событие $U$: «в первый раз выпадет число очков, кратное трём».
Событие $V$: «во второй раз выпадет число очков, кратное трём».

Следовательно, событие $U \cup V$ можно описать словами: «хотя бы при одном из двух бросков выпадет число очков, кратное трём».

Ответ: Событие $U \cup V$ означает, что хотя бы при одном из двух бросков выпадет число очков, кратное трём.

в)

Вероятность события $U \cup V$ можно найти по формуле сложения вероятностей для совместных событий: $P(U \cup V) = P(U) + P(V) - P(U \cap V)$.

1. Найдём вероятность события $U$.
Числа на игральной кости, кратные трём: 3 и 6. Всего таких чисел 2 из 6 возможных.
Вероятность выпадения числа, кратного трём, при одном броске равна $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Событие $U$ зависит только от первого броска, поэтому его вероятность $P(U) = \frac{1}{3}$.

2. Найдём вероятность события $V$.
Событие $V$ зависит только от второго броска. Аналогично, его вероятность $P(V) = \frac{1}{3}$.

3. Найдём вероятность события $U \cap V$ (пересечение событий $U$ и $V$).
Это событие означает, что и при первом, и при втором броске выпадет число очков, кратное трём. Так как броски являются независимыми событиями, вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:
$P(U \cap V) = P(U) \times P(V) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

4. Теперь вычислим искомую вероятность события $U \cup V$:
$P(U \cup V) = P(U) + P(V) - P(U \cap V) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.

71 Игральную кость бросают 2 раза. Событие $K$ — «в первый раз выпадает чётное число очков». Событие $L$ — «при втором броске выпадает чётное число очков».

а) Выделите в таблице элементарные события, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий $K$ и $L$. Сколько их?

б) Опишите словами событие $K \cup L$.

в) Найдите вероятность события $K \cup L$.

При двукратном броске игральной кости всего возможно $6 \times 6 = 36$ равновероятных элементарных исходов. Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(i, j)$, где $i$ — число очков, выпавшее при первом броске, а $j$ — число очков, выпавшее при втором броске.

Событие $K$ — «в первый раз выпадает чётное число очков». Этому событию благоприятствуют исходы, у которых первая координата — чётное число (2, 4 или 6).

Событие $L$ — «при втором броске выпадает чётное число очков». Этому событию благоприятствуют исходы, у которых вторая координата — чётное число (2, 4 или 6).

а) Выделите в таблице элементарные события, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий K и L. Сколько их?

Событию «благоприятствуют хотя бы одному из событий K и L» соответствует объединение событий $K \cup L$. Это означает, что в паре $(i, j)$ хотя бы одно из чисел должно быть чётным. В таблице ниже все такие элементарные события выделены жирным шрифтом.

Посчитаем количество выделенных ячеек. В строках с номерами 2, 4, 6 все 6 исходов благоприятные (всего $3 \times 6 = 18$). В строках с номерами 1, 3, 5 благоприятными являются по 3 исхода (с чётным вторым числом), всего $3 \times 3 = 9$.

Общее число благоприятных событий: $18 + 9 = 27$.

Также можно было найти число неблагоприятных исходов (когда оба числа нечётные: 1, 3, 5). Таких исходов $3 \times 3 = 9$. Тогда число благоприятных исходов равно $36 - 9 = 27$.

Ответ: 27 элементарных событий.

б) Опишите словами событие $K \cup L$.

Событие $K \cup L$ (объединение событий $K$ и $L$) означает, что произойдёт хотя бы одно из этих событий: либо событие $K$, либо событие $L$, либо оба вместе.

$K$ — «в первый раз выпадет чётное число очков».

$L$ — «при втором броске выпадет чётное число очков».

Таким образом, событие $K \cup L$ можно описать словами: «хотя бы при одном из двух бросков выпадет чётное число очков».

Ответ: Событие $K \cup L$ означает, что «хотя бы при одном из двух бросков выпадет чётное число очков».

в) Найдите вероятность события $K \cup L$.

Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

В нашем случае, событие $A = K \cup L$.

Общее число элементарных исходов $n = 36$.

Число исходов, благоприятствующих событию $K \cup L$, как мы нашли в пункте а), равно $m = 27$.

Тогда вероятность события $K \cup L$ равна: $P(K \cup L) = \frac{27}{36}$

Сократим дробь на 9: $P(K \cup L) = \frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4}$

Вероятность также можно найти по формуле сложения вероятностей: $P(K \cup L) = P(K) + P(L) - P(K \cap L)$. $P(K) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. $P(L) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. $P(K \cap L)$ — вероятность, что оба раза выпадет чётное число. Так как броски независимы, $P(K \cap L) = P(K) \times P(L) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. $P(K \cup L) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $P(K \cup L) = \frac{3}{4}$.

72 Докажите, что для любых событий A и B верны неравенства

$P(A \cup B) \ge P(A)$ и $P(A \cup B) \ge P(B)$.

$P(A \cup B) \ge P(A)$
Для доказательства данного неравенства воспользуемся определением объединения событий и свойством монотонности вероятности.
Событие $A \cup B$ (объединение событий A и B) происходит тогда, когда происходит хотя бы одно из событий: A или B. Это означает, что любой элементарный исход, при котором наступает событие A, также является исходом, при котором наступает событие $A \cup B$.
Таким образом, событие A является подмножеством события $A \cup B$. В терминах теории множеств это записывается как $A \subseteq (A \cup B)$.
Согласно свойству монотонности вероятности, если событие $E$ является подмножеством события $F$ ($E \subseteq F$), то вероятность события $E$ не превышает вероятность события $F$, то есть $P(E) \le P(F)$.
Применяя это свойство к нашему случаю, из того, что $A \subseteq (A \cup B)$, напрямую следует, что $P(A) \le P(A \cup B)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

$P(A \cup B) \ge P(B)$
Доказательство этого неравенства полностью аналогично предыдущему.
Любой элементарный исход, благоприятствующий событию B, также благоприятствует и событию $A \cup B$.
Следовательно, событие B является подмножеством события $A \cup B$, что записывается как $B \subseteq (A \cup B)$.
По свойству монотонности вероятности, из $B \subseteq (A \cup B)$ следует, что $P(B) \le P(A \cup B)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.