Страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

35 В одной из школ опросили 30 учеников и учителей о домашних животных, живущих в их семьях (из одной семьи опрашивали только одного человека). Результаты опроса занесены в таблицу 21.

Таблица 21. Домашние животные

Кошка Собака Птица Рыбка Другие Нет

18 10 5 2 7 6

а) Суммарное число животных больше, чем число опрошенных семей. Чем это можно объяснить?

б)* Предположим, что в каждой семье есть животные не более чем двух видов. Пользуясь таблицей 21, найдите число семей, где ровно один вид животных. Постройте круговую диаграмму, показывающую доли семей: без домашних животных; с одним видом животных; с двумя видами.

а)

Сначала найдем суммарное число упоминаний животных по всем категориям в таблице. Это не общее число животных, а количество семей, у которых есть животное данного вида.

Сумма = (число семей с кошками) + (число семей с собаками) + (число семей с птицами) + (число семей с рыбками) + (число семей с другими животными).

Выполним сложение: $S = 18 + 10 + 5 + 2 + 7 = 42$.

Полученное число $42$ больше, чем общее число опрошенных семей, которое равно $30$.

Это можно объяснить тем, что в некоторых семьях живет не один, а несколько видов домашних животных. Например, если в семье есть и кошка, и собака, то при опросе эта семья была учтена дважды: и в категории "Кошка", и в категории "Собака". Таким образом, одна и та же семья могла сделать вклад в несколько столбцов таблицы, из-за чего итоговая сумма упоминаний животных превысила количество опрошенных семей.

Ответ: Суммарное число животных больше числа опрошенных семей, потому что в некоторых семьях содержится более одного вида животных, и такие семьи учитывались в каждой соответствующей категории.

б)*

По условию, всего было опрошено $N = 30$ семей. В каждой семье есть животные не более чем двух видов.

Из таблицы мы знаем, что число семей, в которых нет домашних животных, составляет $N_0 = 6$.

Тогда число семей, в которых есть хотя бы один вид животных, равно: $N_{животные} = N - N_0 = 30 - 6 = 24$ семьи.

Эти 24 семьи делятся на две группы:

• $N_1$ — число семей, где ровно один вид животных.
• $N_2$ — число семей, где ровно два вида животных.

Следовательно, мы можем составить первое уравнение: $N_1 + N_2 = 24$.

Теперь посчитаем общее число "упоминаний" животных из таблицы (как в пункте а): $S = 18 + 10 + 5 + 2 + 7 = 42$.

Это число формируется следующим образом: каждая из $N_1$ семей добавила в сумму 1, а каждая из $N_2$ семей добавила в сумму 2 (поскольку у них два вида животных). Отсюда получаем второе уравнение: $1 \cdot N_1 + 2 \cdot N_2 = 42$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} N_1 + N_2 = 24 \\ N_1 + 2N_2 = 42 \end{cases} $$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго: $(N_1 + 2N_2) - (N_1 + N_2) = 42 - 24$ $N_2 = 18$.

Таким образом, в 18 семьях живет по два вида животных.

Теперь найдем $N_1$, подставив значение $N_2$ в первое уравнение: $N_1 + 18 = 24$ $N_1 = 24 - 18 = 6$.

Итак, в 6 семьях живет ровно один вид животных.

Построение круговой диаграммы

Диаграмма должна отображать доли трех групп семей от общего числа (30):

1. Семьи без домашних животных:
   • Количество: $N_0 = 6$.
   • Доля от общего числа: $\frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 20\%$.
   • Угол сектора на диаграмме: $\frac{6}{30} \times 360^\circ = 72^\circ$.
2. Семьи с одним видом животных:
   • Количество: $N_1 = 6$.
   • Доля от общего числа: $\frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 20\%$.
   • Угол сектора на диаграмме: $\frac{6}{30} \times 360^\circ = 72^\circ$.
3. Семьи с двумя видами животных:
   • Количество: $N_2 = 18$.
   • Доля от общего числа: $\frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 60\%$.
   • Угол сектора на диаграмме: $\frac{18}{30} \times 360^\circ = 216^\circ$.

Круговая диаграмма будет состоять из трех секторов: два одинаковых сектора по $72^\circ$ (каждый составляет 20% круга) и один большой сектор в $216^\circ$ (составляет 60% круга).

Ответ: Число семей, где ровно один вид животных, равно 6. Круговая диаграмма будет иметь три сектора: 20% (72°) для семей без животных, 20% (72°) для семей с одним видом животных и 60% (216°) для семей с двумя видами животных.

36 В течение четверти Ваня получил следующие оценки: по английскому языку — 4, 5, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 5, 5; по математике — 4, 3, 5, 5, 4, 5, 5, 4.

а) Постройте круговые диаграммы распределения оценок по каждому из предметов. Сравните диаграммы.

б) Можно ли утверждать, что Ваня примерно одинаково учится по этим предметам?

а) Постройте круговые диаграммы распределения оценок по каждому из предметов. Сравните диаграммы.

Для построения круговых диаграмм сначала необходимо проанализировать оценки по каждому предмету: посчитать их общее количество и частоту каждой оценки.

Английский язык:

Список оценок: 4, 5, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 5, 5.

Общее количество оценок: 12.

• Оценка «5» встречается 6 раз. Доля этой оценки составляет $ \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 50\% $. На круговой диаграмме этому сектору будет соответствовать угол $ \frac{1}{2} \times 360^\circ = 180^\circ $.
• Оценка «4» встречается 4 раза. Доля этой оценки составляет $ \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 33.3\% $. Угол сектора: $ \frac{1}{3} \times 360^\circ = 120^\circ $.
• Оценка «3» встречается 2 раза. Доля этой оценки составляет $ \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \approx 16.7\% $. Угол сектора: $ \frac{1}{6} \times 360^\circ = 60^\circ $.

Математика:

Список оценок: 4, 3, 5, 5, 4, 5, 5, 4.

Общее количество оценок: 8.

• Оценка «5» встречается 4 раза. Доля этой оценки составляет $ \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 50\% $. На круговой диаграмме этому сектору будет соответствовать угол $ \frac{1}{2} \times 360^\circ = 180^\circ $.
• Оценка «4» встречается 3 раза. Доля этой оценки составляет $ \frac{3}{8} = 37.5\% $. Угол сектора: $ \frac{3}{8} \times 360^\circ = 135^\circ $.
• Оценка «3» встречается 1 раз. Доля этой оценки составляет $ \frac{1}{8} = 12.5\% $. Угол сектора: $ \frac{1}{8} \times 360^\circ = 45^\circ $.

Ниже представлены круговые диаграммы, построенные на основе этих данных.

Сравнение диаграмм:

• Самое заметное сходство — доля оценок «5» абсолютно одинакова в обоих предметах и составляет ровно половину (50% или 180°).
• Распределение остальных оценок немного отличается. По математике доля оценок «4» (37.5%) несколько выше, чем по английскому языку (≈33.3%), а доля оценок «3» (12.5%), наоборот, ниже, чем по английскому (≈16.7%).
• Визуально диаграммы очень похожи, что говорит о схожей успеваемости.

Ответ: Круговые диаграммы построены на основе рассчитанных долей оценок. Сравнение показывает, что доля оценок «5» одинакова по обоим предметам (50%). По математике доля оценок «4» немного выше, а доля оценок «3» немного ниже, чем по английскому языку.

б) Можно ли утверждать, что Ваня примерно одинаково учится по этим предметам?

Для более точного ответа на этот вопрос, помимо визуального сравнения диаграмм, вычислим средний балл по каждому предмету.

Средний балл по английскому языку:

Сумма всех оценок: $ (6 \times 5) + (4 \times 4) + (2 \times 3) = 30 + 16 + 6 = 52 $.

Количество оценок: 12.

Средний балл: $ \frac{52}{12} = \frac{13}{3} \approx 4.33 $.

Средний балл по математике:

Сумма всех оценок: $ (4 \times 5) + (3 \times 4) + (1 \times 3) = 20 + 12 + 3 = 35 $.

Количество оценок: 8.

Средний балл: $ \frac{35}{8} = 4.375 $.

Как показывают расчеты, средние баллы по предметам очень близки друг к другу ($4.33$ и $4.375$). Это, в сочетании с очень похожим распределением оценок на круговых диаграммах (особенно одинаковой долей пятерок), позволяет сделать вывод, что успеваемость Вани по английскому языку и математике примерно одинаковая.

Ответ: Да, можно утверждать, что Ваня учится примерно одинаково, так как распределение его оценок и средние баллы по обоим предметам очень близки.

58 На диаграмме Эйлера (рис. 28) показано число элементарных событий, благоприятствующих каждому из двух событий $A$ и $B$. Перенесите рисунок в тетрадь и закрасьте объединение событий $A$ и $B$. Сколько элементарных событий благоприятствует событию $A \cup B$?

Данная диаграмма Эйлера иллюстрирует два события, A и B. Числа внутри кругов показывают количество элементарных событий (исходов), благоприятствующих каждому из этих событий.

• Событию A благоприятствуют 17 элементарных событий, то есть $N(A) = 17$.
• Событию B благоприятствуют 32 элементарных события, то есть $N(B) = 32$.

Круги, представляющие события A и B, на диаграмме не пересекаются. Это означает, что события A и B являются несовместными, то есть они не могут произойти одновременно. Число элементарных событий, благоприятствующих их пересечению, равно нулю: $N(A \cap B) = 0$.

Перенесите рисунок в тетрадь и закрасьте объединение событий A и B.

Объединение событий $A \cup B$ представляет собой событие, состоящее в том, что происходит хотя бы одно из событий: либо A, либо B. На диаграмме Эйлера объединение множеств — это вся область, занимаемая этими множествами. Чтобы закрасить объединение непересекающихся событий A и B, нужно закрасить оба круга целиком.

Сколько элементарных событий благоприятствует событию $A \cup B$?

Для нахождения числа элементарных событий, благоприятствующих объединению двух событий, используется общая формула сложения вероятностей (или, в данном случае, подсчета исходов): $N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B)$

Так как в нашем случае события несовместны, $N(A \cap B) = 0$. Формула упрощается: $N(A \cup B) = N(A) + N(B)$

Подставим известные значения: $N(A \cup B) = 17 + 32 = 49$

Следовательно, объединению событий A и B благоприятствуют 49 элементарных событий.

Ответ: 49.

59 Событию $U$ в ходе некоторого опыта благоприятствуют 5 элементарных событий. Событию $V$ благоприятствуют 8 элементарных событий, но ни одно из них не благоприятствует событию $U$. Сколько элементарных событий благоприятствует событию $U \cup V$?

Рисунок 28

Пусть $N(U)$ — это количество элементарных событий, благоприятствующих событию $U$, и $N(V)$ — количество элементарных событий, благоприятствующих событию $V$.

Согласно условию задачи:
$N(U) = 5$
$N(V) = 8$

Также в условии сказано, что ни одно из элементарных событий, благоприятствующих событию $V$, не благоприятствует событию $U$. Это означает, что события $U$ и $V$ являются несовместными (взаимоисключающими). То есть, нет таких элементарных событий, которые бы благоприятствовали и событию $U$, и событию $V$ одновременно. В терминах теории множеств это означает, что пересечение множеств элементарных событий для $U$ и $V$ является пустым множеством.

Количество элементарных событий в пересечении этих событий равно нулю: $N(U \cap V) = 0$.

Нас просят найти количество элементарных событий, благоприятствующих событию $U \cup V$. Это событие, которое заключается в том, что произойдет либо событие $U$, либо событие $V$.

Для нахождения количества элементов в объединении двух множеств (или количества исходов для объединения двух событий) используется формула включений-исключений:
$N(U \cup V) = N(U) + N(V) - N(U \cap V)$

Подставим в эту формулу известные нам значения:
$N(U \cup V) = 5 + 8 - 0 = 13$

Следовательно, событию $U \cup V$ благоприятствуют 13 элементарных событий.

Ответ: 13

60 Событию $A$ благоприятствуют 6 элементарных событий, а событию $B$ — 8 элементарных событий. Из этих 8 элементарных событий 4 благоприятствуют сразу двум событиям. Нарисуйте в тетради соответствующую диаграмму Эйлера и ответьте на вопросы.

a) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию $A$, но не благоприятствуют событию $B$?

б) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию $B$, но не благоприятствуют событию $A$?

в) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию $A \cup B$?

Для решения этой задачи воспользуемся понятиями из теории множеств. Пусть $A$ — это множество элементарных событий, благоприятствующих событию A, а $B$ — множество элементарных событий, благоприятствующих событию B. По условию нам даны мощности (количества элементов) этих множеств:

• Количество событий, благоприятствующих A: $|A| = 6$.
• Количество событий, благоприятствующих B: $|B| = 8$.
• Количество событий, благоприятствующих A и B одновременно (их пересечение): $|A \cap B| = 4$.

Диаграмма Эйлера для этой задачи представляет собой два пересекающихся круга. Один круг символизирует множество A, другой — множество B. В области их пересечения находится 4 элемента. В части круга A, не входящей в пересечение, находится $|A| - |A \cap B|$ элементов. В части круга B, не входящей в пересечение, находится $|B| - |A \cap B|$ элементов.

а) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию A, но не благоприятствуют событию B?

Нам нужно найти количество элементарных событий, которые входят в множество A, но не входят в множество B. Это соответствует разности множеств $A \setminus B$. Количество таких событий вычисляется по формуле:

$|A \setminus B| = |A| - |A \cap B|$

Подставляя данные из условия, получаем:

$6 - 4 = 2$

Ответ: 2

б) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию B, но не благоприятствуют событию A?

Аналогично предыдущему пункту, нам нужно найти количество элементарных событий, которые входят в множество B, но не входят в множество A. Это соответствует разности множеств $B \setminus A$. Количество таких событий вычисляется по формуле:

$|B \setminus A| = |B| - |A \cap B|$

Подставляя данные из условия, получаем:

$8 - 4 = 4$

Ответ: 4

в) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию $A \cup B$?

Событие $A \cup B$ (объединение) означает, что наступает хотя бы одно из событий: A или B. Количество элементарных событий, благоприятствующих объединению, можно найти по формуле включений-исключений:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Подставляя данные из условия, получаем:

$6 + 8 - 4 = 10$

Другой способ — сложить количество событий, которые благоприятствуют только A, только B, и обоим событиям одновременно:

$|A \cup B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B| = 2 + 4 + 4 = 10$

Ответ: 10

61 В ходе некоторого опыта событию $A$ благоприятствуют 6 элементарных событий, событию $B$ – 8 элементарных событий. При этом 2 элементарных события благоприятствуют событию $A \cap B$. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию:

а) «событие $A$ наступает, а событие $B$ нет»;

б) «событие $B$ наступает, а событие $A$ нет»?

Пусть $N(A)$ - это количество элементарных событий, благоприятствующих событию A, $N(B)$ - количество элементарных событий, благоприятствующих событию B, а $N(A \cap B)$ - количество элементарных событий, благоприятствующих одновременному наступлению событий A и B (пересечению событий).

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
$N(A) = 6$
$N(B) = 8$
$N(A \cap B) = 2$

а) «событие А наступает, а событие В нет»;
Событие «А наступает, а В нет» означает, что мы ищем количество элементарных событий, которые входят в множество А, но не входят в множество В. Это соответствует разности множеств $A \setminus B$. Чтобы найти количество таких событий, нужно из общего числа событий, благоприятствующих А, вычесть число событий, благоприятствующих их одновременному наступлению.
Формула для расчета: $N(A \setminus B) = N(A) - N(A \cap B)$.
Подставляем известные значения:
$N(A \setminus B) = 6 - 2 = 4$.
Ответ: 4.

б) «событие В наступает, а событие А нет»?
Событие «В наступает, а А нет» означает, что мы ищем количество элементарных событий, которые входят в множество В, но не входят в множество А. Это соответствует разности множеств $B \setminus A$. Чтобы найти количество таких событий, нужно из общего числа событий, благоприятствующих В, вычесть число событий, благоприятствующих их одновременному наступлению.
Формула для расчета: $N(B \setminus A) = N(B) - N(A \cap B)$.
Подставляем известные значения:
$N(B \setminus A) = 8 - 2 = 6$.
Ответ: 6.

62 В ходе некоторого случайного опыта событию $A$ благоприятствуют 7 элементарных событий, событию $B$ – 10 элементарных событий. 12 элементарных событий благоприятствуют событию $A \cup B$. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию:

а) «событие $A$ наступит, а событие $B$ нет»;

б) «событие $B$ наступит, а событие $A$ нет»?

Обозначим через $N(X)$ количество элементарных событий, благоприятствующих событию $X$.

Из условия задачи имеем:
Количество элементарных событий, благоприятствующих событию A: $N(A) = 7$.
Количество элементарных событий, благоприятствующих событию B: $N(B) = 10$.
Количество элементарных событий, благоприятствующих событию $A \cup B$ (то есть наступлению хотя бы одного из событий A или B): $N(A \cup B) = 12$.

Для решения задачи сначала необходимо найти количество элементарных событий, благоприятствующих одновременному наступлению событий A и B, то есть их пересечению $A \cap B$. Для этого воспользуемся формулой включений-исключений для двух событий:
$N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B)$

Подставим известные значения в эту формулу:
$12 = 7 + 10 - N(A \cap B)$
$12 = 17 - N(A \cap B)$

Отсюда выразим и найдем $N(A \cap B)$:
$N(A \cap B) = 17 - 12 = 5$
Следовательно, 5 элементарных событий благоприятствуют одновременному наступлению событий A и B.

а) «событие A наступит, а событие B нет»;
Данное событие означает, что происходит событие A, но не происходит событие B. Это соответствует множеству элементарных событий $A \setminus B$. Чтобы найти количество таких событий, нужно из общего числа событий, благоприятствующих A, вычесть число событий, благоприятствующих их совместному наступлению (A и B).
$N(A \setminus B) = N(A) - N(A \cap B)$
$N(A \setminus B) = 7 - 5 = 2$
Другой способ рассуждения: событие $A \cup B$ (наступит A или B) состоит из событий, где наступает B, и событий, где наступает только A.
$N(A \cup B) = N(B) + N(A \setminus B)$
$12 = 10 + N(A \setminus B)$
$N(A \setminus B) = 12 - 10 = 2$
Ответ: 2.

б) «событие B наступит, а событие A нет»?
Это событие означает, что происходит событие B, но не происходит событие A. Это соответствует множеству $B \setminus A$. Количество таких событий находится аналогично: из общего числа событий, благоприятствующих B, вычитаем число событий, благоприятствующих их совместному наступлению.
$N(B \setminus A) = N(B) - N(A \cap B)$
$N(B \setminus A) = 10 - 5 = 5$
Другой способ: событие $A \cup B$ состоит из событий, где наступает A, и событий, где наступает только B.
$N(A \cup B) = N(A) + N(B \setminus A)$
$12 = 7 + N(B \setminus A)$
$N(B \setminus A) = 12 - 7 = 5$
Ответ: 5.

63 Монету бросают дважды. Событие $A$ — «первый раз выпадает орёл». Событие $B$ — «второй раз выпадает орёл». Выпишите элементарные события, благоприятствующие каждому из этих событий и событию $A \cup B$.

Для решения задачи сначала определим все возможные исходы при двукратном бросании монеты. Обозначим выпадение орла буквой «О», а решки — «Р».

Возможные элементарные события (исходы):

• (О, О) — первый раз выпал орёл, и второй раз выпал орёл.
• (О, Р) — первый раз выпал орёл, а второй — решка.
• (Р, О) — первый раз выпала решка, а второй — орёл.
• (Р, Р) — оба раза выпала решка.

Это все возможные исходы эксперимента.

Элементарные события, благоприятствующие событию A
Событие $A$ — «первый раз выпадет орёл». Это означает, что нас интересуют все исходы, у которых на первом месте стоит «О». Из общего списка это: (О, О) и (О, Р).
Ответ: $A = \{ (О, О), (О, Р) \}$.

Элементарные события, благоприятствующие событию B
Событие $B$ — «второй раз выпадет орёл». Это означает, что нас интересуют все исходы, у которых на втором месте стоит «О». Из общего списка это: (О, О) и (Р, О).
Ответ: $B = \{ (О, О), (Р, О) \}$.

Элементарные события, благоприятствующие событию A ∪ B
Событие $A \cup B$ (объединение событий $A$ и $B$) означает, что должно произойти хотя бы одно из этих событий: либо событие $A$, либо событие $B$, либо оба вместе. В контексте задачи это означает «хотя бы раз выпадет орёл». Для нахождения элементарных событий, благоприятствующих $A \cup B$, нужно объединить множества событий для $A$ и $B$.
События для $A$: $ \{ (О, О), (О, Р) \} $.
События для $B$: $ \{ (О, О), (Р, О) \} $.
Объединяя эти два множества, получаем все уникальные элементы из них: $ \{ (О, О), (О, Р), (Р, О) \} $.
Ответ: $A \cup B = \{ (О, О), (О, Р), (Р, О) \}$.

64 Монету бросают дважды. Представьте в виде объединения двух событий со-бытие:

а) «хотя бы один раз выпадет решка»;

б) «оба раза выпадет одна и та же сторона монеты».

Для решения задачи сначала определим все возможные исходы при двукратном бросании монеты. Обозначим выпадение орла буквой «О», а решки — буквой «Р». Тогда пространство элементарных исходов $ \Omega $ состоит из четырех равновозможных пар:

$ \Omega = \{ (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р) \} $, где первая буква в паре — результат первого броска, а вторая — результат второго.

а) «хотя бы один раз выпадет решка»

Обозначим это событие буквой $ A $. Этому событию благоприятствуют все исходы, где есть хотя бы одна буква «Р»:

$ A = \{ (О, Р), (Р, О), (Р, Р) \} $.

Чтобы представить событие $ A $ в виде объединения двух событий, рассмотрим следующие два события:

Событие $ B $: «при первом броске выпала решка». Ему соответствуют исходы $ B = \{ (Р, О), (Р, Р) \} $.

Событие $ C $: «при втором броске выпала решка». Ему соответствуют исходы $ C = \{ (О, Р), (Р, Р) \} $.

Объединение событий $ B $ и $ C $ (обозначается $ B \cup C $) — это событие, которое происходит, когда происходит хотя бы одно из них. Оно включает в себя все элементарные исходы, принадлежащие хотя бы одному из множеств $ B $ или $ C $:

$ B \cup C = \{ (Р, О), (Р, Р) \} \cup \{ (О, Р), (Р, Р) \} = \{ (О, Р), (Р, О), (Р, Р) \} $.

Как видим, $ A = B \cup C $.

Ответ: Событие «хотя бы один раз выпадет решка» можно представить как объединение события «при первом броске выпала решка» и события «при втором броске выпала решка».

б) «оба раза выпадет одна и та же сторона монеты»

Обозначим это событие буквой $ D $. Этому событию благоприятствуют исходы, когда оба результата одинаковы:

$ D = \{ (О, О), (Р, Р) \} $.

Чтобы представить событие $ D $ в виде объединения двух событий, рассмотрим следующие два события:

Событие $ E $: «оба раза выпал орел». Ему соответствует исход $ E = \{ (О, О) \} $.

Событие $ F $: «оба раза выпала решка». Ему соответствует исход $ F = \{ (Р, Р) \} $.

Объединение событий $ E $ и $ F $ включает в себя все исходы, которые есть в $ E $ или в $ F $:

$ E \cup F = \{ (О, О) \} \cup \{ (Р, Р) \} = \{ (О, О), (Р, Р) \} $.

Как видим, $ D = E \cup F $.

Ответ: Событие «оба раза выпадет одна и та же сторона монеты» можно представить как объединение события «оба раза выпал орел» и события «оба раза выпала решка».

1 Что такое пересечение двух событий?

1 В теории вероятностей пересечением (также называемым произведением) двух случайных событий $A$ и $B$ называется новое событие $C$, которое заключается в том, что в результате испытания происходят оба этих события одновременно. То есть, событие $C$ наступает тогда и только тогда, когда наступает и событие $A$, и событие $B$.

Пересечение событий обозначается символом $A \cap B$ или $A \cdot B$ (часто точку опускают и пишут просто $AB$). Словесно это событие можно описать с помощью логического союза "И": "произошло событие $A$ и событие $B$".

Для наглядного представления пересечения событий часто используют диаграммы Венна. Если каждое событие изобразить в виде круга, то их пересечение будет представлять собой общую область, где эти круги накладываются друг на друга.

Пример:
Проводится эксперимент: из колоды в 36 карт наугад вытягивается одна карта.
Пусть событие $A$ — "вытянута карта красной масти (червы или бубны)".
Пусть событие $B$ — "вытянут туз".
Тогда пересечением событий $A$ и $B$ будет событие $A \cap B$ — "вытянут туз красной масти", то есть "вытянут червовый туз или бубновый туз". Это событие наступает только если вытянутая карта удовлетворяет обоим условиям: она и красная, и является тузом.

Расчёт вероятности пересечения:
Формула для вычисления вероятности пересечения событий зависит от их взаимосвязи:
- Если события $A$ и $B$ независимы (то есть наступление одного события никак не влияет на вероятность наступления другого), то вероятность их пересечения равна произведению их индивидуальных вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
- В общем случае, для зависимых событий, используется теорема умножения вероятностей, основанная на понятии условной вероятности: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$, где $P(B|A)$ — это условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло.

Ответ: Пересечение двух событий — это событие, состоящее в совместном появлении этих двух событий в результате одного и того же испытания.

2 Что такое объединение двух событий?

В теории вероятностей объединением (или суммой) двух событий $A$ и $B$ называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из этих событий. Иными словами, новое событие наступает, если наступает событие $A$, или наступает событие $B$, или оба события $A$ и $B$ наступают одновременно.

Объединение событий $A$ и $B$ обозначается как $A \cup B$ или $A + B$.

Если рассматривать события как множества элементарных исходов, то объединение событий $A \cup B$ представляет собой множество всех элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$.

Пример:

Проводится эксперимент: бросают игральный кубик с шестью гранями.

• Пусть событие $A$ — «выпало четное число». Этому событию соответствуют исходы {2, 4, 6}.
• Пусть событие $B$ — «выпало число, меньшее 4». Этому событию соответствуют исходы {1, 2, 3}.

Тогда объединением событий $A$ и $B$ будет событие $C = A \cup B$ — «выпало четное число или число, меньшее 4». Этому событию будут благоприятствовать все исходы, которые есть в $A$ или в $B$: {1, 2, 3, 4, 6}.

Вероятность объединения событий

Вероятность объединения двух произвольных событий находится по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Здесь $P(A \cap B)$ — это вероятность пересечения событий, то есть их одновременного наступления. Она вычитается, чтобы не учитывать дважды исходы, благоприятствующие обоим событиям.

Если события $A$ и $B$ являются несовместными (не могут произойти одновременно, то есть $A \cap B = \emptyset$), то формула упрощается:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Ответ: Объединение двух событий $A$ и $B$ — это событие, которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий $A$ или $B$.

3 Сформулируйте определение несовместных событий.

Два события в теории вероятностей называются несовместными (или взаимоисключающими), если они не могут произойти одновременно в результате одного и того же случайного эксперимента (испытания). Иными словами, наступление одного из несовместных событий полностью исключает возможность наступления другого в том же самом испытании.

С точки зрения теории множеств, если мы рассматриваем события как множества исходов, то два события $A$ и $B$ являются несовместными, если их пересечение является пустым множеством (что соответствует невозможному событию). Математически это выражается так:
$A \cap B = \emptyset$
Из этого следует, что вероятность совместного наступления (пересечения) двух несовместных событий всегда равна нулю:
$P(A \cap B) = 0$

Пример:
При однократном подбрасывании стандартной игральной кости (кубика с гранями от 1 до 6) рассмотрим два события:
Событие $A$ = «выпало число 3».
Событие $B$ = «выпало чётное число» (то есть выпало 2, 4 или 6).
События $A$ и $B$ являются несовместными, так как они не могут произойти одновременно. Если в результате броска выпало число 3, то не могло выпасть чётное число, и наоборот.

Ответ: Несовместные события — это такие события, которые не могут произойти одновременно в рамках одного и того же испытания.

4 Спортсмен выступает на соревнованиях по прыжкам. Первое событие — «спортсмен травмировал левую ногу». Второе событие — «спортсмен травмировал правую ногу». Опишите словами объединение и пересечение этих событий.

Объединение событий

Событие, когда спортсмен травмировал левую ногу или правую ногу (или обе ноги). В символах это обозначается как $A \cup B$.

Пересечение событий

Событие, когда спортсмен травмировал левую ногу и правую ногу одновременно. В символах это обозначается как $A \cap B$.

Обозначим данные события:
Событие $A$: «спортсмен травмировал левую ногу».
Событие $B$: «спортсмен травмировал правую ногу».

Объединение

Объединение событий $A$ и $B$ (обозначается как $A \cup B$) — это событие, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий $A$ или $B$.
В данном случае это означает, что спортсмен травмировал левую ногу, ИЛИ правую ногу, ИЛИ обе ноги.
Таким образом, объединение этих событий можно описать словами: «спортсмен травмировал хотя бы одну ногу».

Ответ: спортсмен травмировал хотя бы одну ногу.

Пересечение

Пересечение событий $A$ и $B$ (обозначается как $A \cap B$) — это событие, которое происходит, если происходят оба события $A$ и $B$ одновременно.
В данном случае это означает, что спортсмен травмировал И левую ногу, И правую ногу.
Таким образом, пересечение этих событий можно описать словами: «спортсмен травмировал обе ноги».

Ответ: спортсмен травмировал обе ноги.