Номер 35, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

35 В одной из школ опросили 30 учеников и учителей о домашних животных, живущих в их семьях (из одной семьи опрашивали только одного человека). Результаты опроса занесены в таблицу 21.

Таблица 21. Домашние животные

Кошка Собака Птица Рыбка Другие Нет

18 10 5 2 7 6

а) Суммарное число животных больше, чем число опрошенных семей. Чем это можно объяснить?

б)* Предположим, что в каждой семье есть животные не более чем двух видов. Пользуясь таблицей 21, найдите число семей, где ровно один вид животных. Постройте круговую диаграмму, показывающую доли семей: без домашних животных; с одним видом животных; с двумя видами.

а)

Сначала найдем суммарное число упоминаний животных по всем категориям в таблице. Это не общее число животных, а количество семей, у которых есть животное данного вида.

Сумма = (число семей с кошками) + (число семей с собаками) + (число семей с птицами) + (число семей с рыбками) + (число семей с другими животными).

Выполним сложение: $S = 18 + 10 + 5 + 2 + 7 = 42$.

Полученное число $42$ больше, чем общее число опрошенных семей, которое равно $30$.

Это можно объяснить тем, что в некоторых семьях живет не один, а несколько видов домашних животных. Например, если в семье есть и кошка, и собака, то при опросе эта семья была учтена дважды: и в категории "Кошка", и в категории "Собака". Таким образом, одна и та же семья могла сделать вклад в несколько столбцов таблицы, из-за чего итоговая сумма упоминаний животных превысила количество опрошенных семей.

Ответ: Суммарное число животных больше числа опрошенных семей, потому что в некоторых семьях содержится более одного вида животных, и такие семьи учитывались в каждой соответствующей категории.

б)*

По условию, всего было опрошено $N = 30$ семей. В каждой семье есть животные не более чем двух видов.

Из таблицы мы знаем, что число семей, в которых нет домашних животных, составляет $N_0 = 6$.

Тогда число семей, в которых есть хотя бы один вид животных, равно: $N_{животные} = N - N_0 = 30 - 6 = 24$ семьи.

Эти 24 семьи делятся на две группы:

• $N_1$ — число семей, где ровно один вид животных.
• $N_2$ — число семей, где ровно два вида животных.

Следовательно, мы можем составить первое уравнение: $N_1 + N_2 = 24$.

Теперь посчитаем общее число "упоминаний" животных из таблицы (как в пункте а): $S = 18 + 10 + 5 + 2 + 7 = 42$.

Это число формируется следующим образом: каждая из $N_1$ семей добавила в сумму 1, а каждая из $N_2$ семей добавила в сумму 2 (поскольку у них два вида животных). Отсюда получаем второе уравнение: $1 \cdot N_1 + 2 \cdot N_2 = 42$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} N_1 + N_2 = 24 \\ N_1 + 2N_2 = 42 \end{cases} $$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго: $(N_1 + 2N_2) - (N_1 + N_2) = 42 - 24$ $N_2 = 18$.

Таким образом, в 18 семьях живет по два вида животных.

Теперь найдем $N_1$, подставив значение $N_2$ в первое уравнение: $N_1 + 18 = 24$ $N_1 = 24 - 18 = 6$.

Итак, в 6 семьях живет ровно один вид животных.

Построение круговой диаграммы

Диаграмма должна отображать доли трех групп семей от общего числа (30):

1. Семьи без домашних животных:
   • Количество: $N_0 = 6$.
   • Доля от общего числа: $\frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 20\%$.
   • Угол сектора на диаграмме: $\frac{6}{30} \times 360^\circ = 72^\circ$.
2. Семьи с одним видом животных:
   • Количество: $N_1 = 6$.
   • Доля от общего числа: $\frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 20\%$.
   • Угол сектора на диаграмме: $\frac{6}{30} \times 360^\circ = 72^\circ$.
3. Семьи с двумя видами животных:
   • Количество: $N_2 = 18$.
   • Доля от общего числа: $\frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 60\%$.
   • Угол сектора на диаграмме: $\frac{18}{30} \times 360^\circ = 216^\circ$.

Круговая диаграмма будет состоять из трех секторов: два одинаковых сектора по $72^\circ$ (каждый составляет 20% круга) и один большой сектор в $216^\circ$ (составляет 60% круга).

Ответ: Число семей, где ровно один вид животных, равно 6. Круговая диаграмма будет иметь три сектора: 20% (72°) для семей без животных, 20% (72°) для семей с одним видом животных и 60% (216°) для семей с двумя видами животных.