Страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Дайте определение среднего арифметического числового набора.

Средним арифметическим числового набора (или ряда чисел) называется частное от деления суммы этих чисел на их количество. Это одна из самых распространённых мер центральной тенденции, показывающая "среднее" значение в наборе данных.

Чтобы найти среднее арифметическое, нужно выполнить два действия:
1. Найти сумму всех чисел в наборе.
2. Разделить полученную сумму на количество чисел в этом наборе.

Формула для вычисления среднего арифметического:
Если имеется набор чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$, который состоит из $n$ элементов, то их среднее арифметическое ($\bar{a}$) вычисляется по формуле:
$\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n}$

Пример:
Найдем среднее арифметическое для набора чисел: 4, 9, 5.
1. Находим сумму чисел: $4 + 9 + 5 = 18$.
2. Считаем количество чисел в наборе: 3.
3. Делим сумму на количество: $\bar{a} = \frac{18}{3} = 6$.
Таким образом, среднее арифметическое данного набора равно 6.

Ответ: Среднее арифметическое числового набора — это сумма всех чисел набора, делённая на их количество.

2 Чему равно среднее арифметическое числового набора, все числа в котором одинаковы и равны 5,6?

Среднее арифметическое числового набора вычисляется как отношение суммы всех чисел этого набора к их количеству.

Пусть в заданном наборе содержится $n$ чисел. По условию, все эти числа одинаковы и равны 5,6.

Таким образом, набор можно представить как {5,6; 5,6; ...; 5,6}, где число 5,6 повторяется $n$ раз.

1. Найдем сумму всех чисел набора.
Сумма ($S$) будет равна произведению значения числа (5,6) на количество этих чисел ($n$):
$S = 5,6 \times n$

2. Найдем количество чисел в наборе.
Количество чисел равно $n$.

3. Вычислим среднее арифметическое.
Разделим сумму всех чисел на их количество:
Среднее арифметическое = $\frac{S}{n} = \frac{5,6 \times n}{n}$

Сократив $n$ в числителе и знаменателе, получаем:
Среднее арифметическое = 5,6

Этот результат показывает, что если все элементы числового набора одинаковы, то их среднее арифметическое равно значению любого из этих элементов, независимо от их количества.

Ответ: 5,6

3 Как можно описать среднее арифметическое с точки зрения физики?

С точки зрения физики, среднее арифметическое можно описать через несколько ключевых понятий, которые придают этой математической абстракции конкретный физический смысл. В основном, оно представляет собой некую "усредненную" характеристику, точку равновесия системы или наиболее вероятное значение измеряемой величины.

1. Центр масс

Самая наглядная физическая интерпретация среднего арифметического — это центр масс (или центр инерции) системы материальных точек одинаковой массы.
Представим себе несколько объектов с одинаковой массой $m$, расположенных на одной прямой в точках с координатами $x_1, x_2, \dots, x_n$. Координата центра масс такой системы $x_{цм}$ вычисляется как взвешенное среднее координат:
$x_{цм} = \frac{m \cdot x_1 + m \cdot x_2 + \dots + m \cdot x_n}{m + m + \dots + m} = \frac{m(x_1 + x_2 + \dots + x_n)}{n \cdot m}$
Сократив массу $m$, мы получаем формулу среднего арифметического:
$x_{цм} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$
Таким образом, среднее арифметическое координат — это геометрическая точка, которая является центром равновесия для данной системы масс. Если бы эти массы были соединены невесомым стержнем, то, подвесив стержень в этой точке, система осталась бы в равновесии. Аналогичное утверждение справедливо и для двух- или трехмерного пространства.
Ответ: Среднее арифметическое координат набора точек можно рассматривать как центр масс системы, состоящей из одинаковых масс, расположенных в этих точках.

2. Наилучшая оценка измеряемой величины

В экспериментальной физике при многократном измерении одной и той же физической величины (например, длины, времени, напряжения) результаты, как правило, немного отличаются друг от друга из-за случайных погрешностей. Пусть мы получили $n$ измерений: $a_1, a_2, \dots, a_n$.
В этом случае, согласно теории погрешностей, наилучшей оценкой истинного значения измеряемой величины является их среднее арифметическое:
$\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$
Это связано с тем, что среднее арифметическое минимизирует сумму квадратов отклонений результатов измерений от искомой величины, и при нормальном (гауссовом) распределении случайных ошибок оно является наиболее вероятным значением.
Ответ: В теории измерений среднее арифметическое ряда наблюдений принимается за наиболее вероятное истинное значение измеряемой физической величины.

3. Среднее значение физической величины

Среднее арифметическое также используется для описания средних характеристик физических процессов или систем, заменяя набор различных значений одним эквивалентным.
- Средняя скорость: Для равноускоренного движения средняя скорость за промежуток времени равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей: $\bar{v} = \frac{v_{нач} + v_{кон}}{2}$. Это та постоянная скорость, с которой тело прошло бы то же расстояние за то же время.
- Средняя температура: При смешивании двух равных объемов одной и той же жидкости с температурами $T_1$ и $T_2$, итоговая температура смеси (при условии отсутствия теплообмена с окружающей средой и одинаковой теплоемкости) будет равна их среднему арифметическому: $T_{итог} = \frac{T_1 + T_2}{2}$. Это следствие закона сохранения энергии.
- Средняя кинетическая энергия: В молекулярно-кинетической теории температура газа пропорциональна средней кинетической энергии хаотического движения его молекул. Эта средняя энергия является результатом усреднения по огромному ансамблю частиц, обладающих разными скоростями.
Ответ: Среднее арифметическое может описывать среднюю характеристику системы (например, среднюю скорость, температуру, энергию), которая эквивалентна значению, которое имела бы эта характеристика, если бы ее распределение по системе было равномерным.

4 Может ли среднее арифметическое числового набора быть больше, чем наибольшее значение в наборе; меньше, чем наименьшее?

больше, чем наибольшее значение в наборе

Нет, не может. Среднее арифметическое по определению является суммой всех элементов набора, деленной на их количество.

Пусть у нас есть числовой набор, состоящий из $n$ элементов: $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$.
Пусть $x_{max}$ — это наибольшее значение в этом наборе. Это означает, что для любого элемента набора $x_i$ выполняется неравенство $x_i \le x_{max}$.

Среднее арифметическое ($M$) вычисляется по формуле:
$M = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

Поскольку каждый член суммы $x_1 + x_2 + ... + x_n$ не превышает $x_{max}$, то и вся сумма будет не больше, чем сумма $n$ элементов, равных $x_{max}$:
$x_1 + x_2 + ... + x_n \le x_{max} + x_{max} + ... + x_{max}$ (где $x_{max}$ повторяется $n$ раз).
Следовательно, $\sum_{i=1}^{n} x_i \le n \cdot x_{max}$.

Теперь разделим обе части неравенства на $n$ (поскольку $n$ — это количество элементов, оно всегда положительно):
$\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \le \frac{n \cdot x_{max}}{n}$
$M \le x_{max}$

Таким образом, среднее арифметическое набора всегда меньше или равно его наибольшему значению. Равенство достигается только в том случае, если все элементы набора равны между собой.
Ответ: нет, не может.

меньше, чем наименьшее

Нет, не может. Рассуждения аналогичны предыдущему пункту.

Пусть у нас есть тот же числовой набор $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$.
Пусть $x_{min}$ — это наименьшее значение в этом наборе. Это означает, что для любого элемента набора $x_i$ выполняется неравенство $x_i \ge x_{min}$.

Сумма всех элементов набора будет не меньше, чем сумма $n$ элементов, равных $x_{min}$:
$x_1 + x_2 + ... + x_n \ge x_{min} + x_{min} + ... + x_{min}$ (где $x_{min}$ повторяется $n$ раз).
Следовательно, $\sum_{i=1}^{n} x_i \ge n \cdot x_{min}$.

Разделим обе части неравенства на $n$:
$\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \ge \frac{n \cdot x_{min}}{n}$
$M \ge x_{min}$

Таким образом, среднее арифметическое набора всегда больше или равно его наименьшему значению. Равенство, как и в первом случае, достигается только тогда, когда все элементы набора равны.
Ответ: нет, не может.