Номер 3, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Как можно описать среднее арифметическое с точки зрения физики?

С точки зрения физики, среднее арифметическое можно описать через несколько ключевых понятий, которые придают этой математической абстракции конкретный физический смысл. В основном, оно представляет собой некую "усредненную" характеристику, точку равновесия системы или наиболее вероятное значение измеряемой величины.

1. Центр масс

Самая наглядная физическая интерпретация среднего арифметического — это центр масс (или центр инерции) системы материальных точек одинаковой массы.
Представим себе несколько объектов с одинаковой массой $m$, расположенных на одной прямой в точках с координатами $x_1, x_2, \dots, x_n$. Координата центра масс такой системы $x_{цм}$ вычисляется как взвешенное среднее координат:
$x_{цм} = \frac{m \cdot x_1 + m \cdot x_2 + \dots + m \cdot x_n}{m + m + \dots + m} = \frac{m(x_1 + x_2 + \dots + x_n)}{n \cdot m}$
Сократив массу $m$, мы получаем формулу среднего арифметического:
$x_{цм} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$
Таким образом, среднее арифметическое координат — это геометрическая точка, которая является центром равновесия для данной системы масс. Если бы эти массы были соединены невесомым стержнем, то, подвесив стержень в этой точке, система осталась бы в равновесии. Аналогичное утверждение справедливо и для двух- или трехмерного пространства.
Ответ: Среднее арифметическое координат набора точек можно рассматривать как центр масс системы, состоящей из одинаковых масс, расположенных в этих точках.

2. Наилучшая оценка измеряемой величины

В экспериментальной физике при многократном измерении одной и той же физической величины (например, длины, времени, напряжения) результаты, как правило, немного отличаются друг от друга из-за случайных погрешностей. Пусть мы получили $n$ измерений: $a_1, a_2, \dots, a_n$.
В этом случае, согласно теории погрешностей, наилучшей оценкой истинного значения измеряемой величины является их среднее арифметическое:
$\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$
Это связано с тем, что среднее арифметическое минимизирует сумму квадратов отклонений результатов измерений от искомой величины, и при нормальном (гауссовом) распределении случайных ошибок оно является наиболее вероятным значением.
Ответ: В теории измерений среднее арифметическое ряда наблюдений принимается за наиболее вероятное истинное значение измеряемой физической величины.

3. Среднее значение физической величины

Среднее арифметическое также используется для описания средних характеристик физических процессов или систем, заменяя набор различных значений одним эквивалентным.
- Средняя скорость: Для равноускоренного движения средняя скорость за промежуток времени равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей: $\bar{v} = \frac{v_{нач} + v_{кон}}{2}$. Это та постоянная скорость, с которой тело прошло бы то же расстояние за то же время.
- Средняя температура: При смешивании двух равных объемов одной и той же жидкости с температурами $T_1$ и $T_2$, итоговая температура смеси (при условии отсутствия теплообмена с окружающей средой и одинаковой теплоемкости) будет равна их среднему арифметическому: $T_{итог} = \frac{T_1 + T_2}{2}$. Это следствие закона сохранения энергии.
- Средняя кинетическая энергия: В молекулярно-кинетической теории температура газа пропорциональна средней кинетической энергии хаотического движения его молекул. Эта средняя энергия является результатом усреднения по огромному ансамблю частиц, обладающих разными скоростями.
Ответ: Среднее арифметическое может описывать среднюю характеристику системы (например, среднюю скорость, температуру, энергию), которая эквивалентна значению, которое имела бы эта характеристика, если бы ее распределение по системе было равномерным.