Номер 43, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

43 Придумайте какие-нибудь четыре разных числа, среднее арифметическое которых равно:

а) второму по величине числу;

б) третьему по величине числу;

в) полусумме второго и третьего по величине из этих чисел.

а) второму по величине числу;

Пусть искомые четыре различных числа, расположенные в порядке возрастания, – это $a_1, a_2, a_3, a_4$. Таким образом, $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$.

Среднее арифметическое этих чисел вычисляется по формуле: $M = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4}$.

По условию задачи, среднее арифметическое равно второму по величине числу, то есть $a_2$.

Составим уравнение: $\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} = a_2$.

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4a_2$.

Перенесем $a_2$ в правую часть:

$a_1 + a_3 + a_4 = 3a_2$.

Теперь нам нужно подобрать четыре различных числа, удовлетворяющих этому равенству. Проще всего это сделать, задав три числа и вычислив четвертое, или выразив три числа через одно. Например, можно выразить $a_1, a_3, a_4$ через $a_2$ с помощью некоторых отклонений $d_1 < 0$ и $0 < d_3 < d_4$. Тогда $a_1=a_2+d_1$, $a_3=a_2+d_3$, $a_4=a_2+d_4$. Условие $a_1 + a_3 + a_4 = 3a_2$ превращается в $(a_2+d_1) + (a_2+d_3) + (a_2+d_4) = 3a_2$, что упрощается до $d_1 + d_3 + d_4 = 0$.

Выберем простые целые значения для отклонений. Пусть $d_3 = 1$ и $d_4 = 2$. Тогда $d_1 = -(1+2) = -3$.

Теперь выберем любое значение для $a_2$, например, $a_2 = 10$.

Найдем остальные числа:

$a_1 = a_2 + d_1 = 10 - 3 = 7$.

$a_3 = a_2 + d_3 = 10 + 1 = 11$.

$a_4 = a_2 + d_4 = 10 + 2 = 12$.

Мы получили набор чисел: 7, 10, 11, 12. Проверим, удовлетворяют ли они всем условиям. Числа различны и $7 < 10 < 11 < 12$. Найдем их среднее арифметическое: $\frac{7 + 10 + 11 + 12}{4} = \frac{40}{4} = 10$. Оно равно второму числу, 10. Условие выполнено.

Ответ: 7, 10, 11, 12.

б) третьему по величине числу;

Снова обозначим четыре различных числа в порядке возрастания как $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$.

По условию, их среднее арифметическое равно третьему по величине числу, $a_3$.

$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} = a_3$.

Умножим обе части на 4:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4a_3$.

Перенесем $a_3$ в правую часть:

$a_1 + a_2 + a_4 = 3a_3$.

Данная задача симметрична предыдущей. Мы можем использовать тот же метод отклонений, но теперь относительно $a_3$. Сумма отклонений $(a_1-a_3)$, $(a_2-a_3)$ и $(a_4-a_3)$ должна быть равна нулю. Пусть $d_1=a_1-a_3$, $d_2=a_2-a_3$, $d_4=a_4-a_3$. Из условия $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$ следует, что $d_1 < d_2 < 0$ и $d_4 > 0$. Уравнение имеет вид $d_1+d_2+d_4=0$.

Выберем простые целые значения для отклонений. Пусть $d_2 = -1$ и $d_1 = -2$. Тогда $d_4 = -(d_1+d_2) = -(-2-1) = 3$.

Теперь выберем любое значение для $a_3$, например, $a_3 = 10$.

Найдем остальные числа:

$a_1 = a_3 + d_1 = 10 - 2 = 8$.

$a_2 = a_3 + d_2 = 10 - 1 = 9$.

$a_4 = a_3 + d_4 = 10 + 3 = 13$.

Мы получили набор чисел: 8, 9, 10, 13. Проверим условия. Числа различны и $8 < 9 < 10 < 13$. Их среднее арифметическое: $\frac{8 + 9 + 10 + 13}{4} = \frac{40}{4} = 10$. Оно равно третьему числу, 10. Условие выполнено.

Ответ: 8, 9, 10, 13.

в) полусумме второго и третьего по величине из этих чисел.

Пусть числа по-прежнему $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$.

Полусумма второго и третьего чисел равна $\frac{a_2 + a_3}{2}$.

По условию, среднее арифметическое всех четырех чисел равно этой полусумме:

$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} = \frac{a_2 + a_3}{2}$.

Умножим обе части уравнения на 4:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2(a_2 + a_3)$.

Раскроем скобки в правой части:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2a_2 + 2a_3$.

Соберем слагаемые с $a_1$ и $a_4$ в левой части, а с $a_2$ и $a_3$ – в правой:

$a_1 + a_4 = 2a_2 - a_2 + 2a_3 - a_3$.

$a_1 + a_4 = a_2 + a_3$.

Это равенство является характерным свойством арифметической прогрессии. Если четыре числа образуют арифметическую прогрессию, то сумма крайних членов равна сумме средних. Возьмем любую арифметическую прогрессию из четырех различных чисел.

Например, выберем простейшую: 1, 2, 3, 4. Здесь первый член $a_1=1$, разность прогрессии $d=1$.

Проверим, выполняются ли условия для набора 1, 2, 3, 4. Числа различны, $1 < 2 < 3 < 4$.

Среднее арифметическое: $\frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.

Полусумма второго и третьего чисел: $\frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Значения равны, следовательно, условие выполнено.

Ответ: 1, 2, 3, 4.