Номер 46, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

46 Сергею нужно было найти среднее арифметическое всех натуральных чисел от 1 до 100. Он вычислил его так:

$\frac{1+100}{2} = 50,5.$

а) Верно ли Сергей нашёл среднее арифметическое?

б) Приведите пример другого набора чисел, среднее арифметическое которого равно полусумме наименьшего и наибольшего чисел.

в) Приведите пример набора, для которого такой способ вычисления среднего даёт неверный результат.

а) Верно ли Сергей нашёл среднее арифметическое?

Да, Сергей нашёл среднее арифметическое верно.
Среднее арифметическое набора чисел определяется как их сумма, делённая на их количество. В данном случае рассматривается набор натуральных чисел от 1 до 100, который представляет собой арифметическую прогрессию.
1. Найдём сумму всех чисел от 1 до 100 по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, где $a_1=1$ — первый член, $a_n=100$ — последний член, а $n=100$ — количество членов.
$S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 5050$.
2. Найдём среднее арифметическое, разделив сумму на количество чисел:
$M = \frac{S_{100}}{n} = \frac{5050}{100} = 50,5$.
Результат совпадает с расчётом Сергея. Его способ является частным случаем вычисления среднего арифметического для арифметической прогрессии, так как $M = \frac{S_n}{n} = \frac{\frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$.
Ответ: Да, верно.

б) Приведите пример другого набора чисел, среднее арифметическое которого равно полусумме наименьшего и наибольшего чисел.

Данный способ вычисления среднего арифметического верен для любого набора чисел, который представляет собой арифметическую прогрессию, то есть последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину (шаг прогрессии).
Рассмотрим, например, набор чётных чисел: {4, 6, 8, 10, 12}.
1. Вычислим среднее арифметическое стандартным способом:
$M = \frac{4 + 6 + 8 + 10 + 12}{5} = \frac{40}{5} = 8$.
2. Вычислим среднее как полусумму наименьшего и наибольшего чисел:
$M = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Результаты совпадают.
Ответ: Любая арифметическая прогрессия, например, набор {4, 6, 8, 10, 12}.

в) Приведите пример набора, для которого такой способ вычисления среднего даёт неверный результат.

Способ вычисления среднего как полусуммы наименьшего и наибольшего чисел даёт неверный результат, если набор чисел не является арифметической прогрессией.
Возьмём, к примеру, набор чисел {1, 2, 5}.
1. Вычислим среднее по "методу Сергея":
$\frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
2. Теперь вычислим истинное среднее арифметическое:
$M = \frac{1 + 2 + 5}{3} = \frac{8}{3} \approx 2,67$.
Поскольку $3 \neq \frac{8}{3}$, для данного набора этот способ вычисления неверен.
Ответ: Любой набор чисел, не являющийся арифметической прогрессией, например, {1, 2, 5}.