Номер 4, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Может ли среднее арифметическое числового набора быть больше, чем наибольшее значение в наборе; меньше, чем наименьшее?

больше, чем наибольшее значение в наборе

Нет, не может. Среднее арифметическое по определению является суммой всех элементов набора, деленной на их количество.

Пусть у нас есть числовой набор, состоящий из $n$ элементов: $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$.
Пусть $x_{max}$ — это наибольшее значение в этом наборе. Это означает, что для любого элемента набора $x_i$ выполняется неравенство $x_i \le x_{max}$.

Среднее арифметическое ($M$) вычисляется по формуле:
$M = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

Поскольку каждый член суммы $x_1 + x_2 + ... + x_n$ не превышает $x_{max}$, то и вся сумма будет не больше, чем сумма $n$ элементов, равных $x_{max}$:
$x_1 + x_2 + ... + x_n \le x_{max} + x_{max} + ... + x_{max}$ (где $x_{max}$ повторяется $n$ раз).
Следовательно, $\sum_{i=1}^{n} x_i \le n \cdot x_{max}$.

Теперь разделим обе части неравенства на $n$ (поскольку $n$ — это количество элементов, оно всегда положительно):
$\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \le \frac{n \cdot x_{max}}{n}$
$M \le x_{max}$

Таким образом, среднее арифметическое набора всегда меньше или равно его наибольшему значению. Равенство достигается только в том случае, если все элементы набора равны между собой.
Ответ: нет, не может.

меньше, чем наименьшее

Нет, не может. Рассуждения аналогичны предыдущему пункту.

Пусть у нас есть тот же числовой набор $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$.
Пусть $x_{min}$ — это наименьшее значение в этом наборе. Это означает, что для любого элемента набора $x_i$ выполняется неравенство $x_i \ge x_{min}$.

Сумма всех элементов набора будет не меньше, чем сумма $n$ элементов, равных $x_{min}$:
$x_1 + x_2 + ... + x_n \ge x_{min} + x_{min} + ... + x_{min}$ (где $x_{min}$ повторяется $n$ раз).
Следовательно, $\sum_{i=1}^{n} x_i \ge n \cdot x_{min}$.

Разделим обе части неравенства на $n$:
$\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \ge \frac{n \cdot x_{min}}{n}$
$M \ge x_{min}$

Таким образом, среднее арифметическое набора всегда больше или равно его наименьшему значению. Равенство, как и в первом случае, достигается только тогда, когда все элементы набора равны.
Ответ: нет, не может.