Номер 7, страница 209 - гдз по физике 7 класс учебник Башарулы, Тезекеев

7. Какую формулу используют при определении центра масс тел (системы тел)? Что означают физические величины, входящие в эти формулы?

Для определения положения центра масс системы, состоящей из конечного числа материальных точек (тел), используется формула, которая выражает радиус-вектор центра масс через радиус-векторы и массы отдельных точек.

В векторной форме формула выглядит так:

$ \vec{r}_{ц} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + ... + m_N\vec{r}_N}{m_1 + m_2 + ... + m_N} = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i} $

Эту векторную формулу можно представить в виде трех скалярных уравнений для координат центра масс $(x_ц, y_ц, z_ц)$ в декартовой системе координат:

$ x_ц = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i} $

$ y_ц = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i y_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i} $

$ z_ц = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i z_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i} $

Физические величины, входящие в эти формулы, означают следующее:

$ \vec{r}_{ц} $ — радиус-вектор центра масс системы тел. Его проекции на оси координат, $x_ц, y_ц, z_ц$, являются координатами центра масс.

$ m_i $ — масса i-го тела (материальной точки) в системе.

$ \vec{r}_i $ — радиус-вектор, определяющий положение i-го тела. Его проекции на оси, $x_i, y_i, z_i$, являются координатами i-го тела.

$ N $ — общее число тел в системе.

$ \sum_{i=1}^{N} $ — знак суммы, который указывает на необходимость сложить произведения массы на соответствующую координату для всех тел системы от первого ($i=1$) до последнего ($i=N$).

Знаменатель $ M = \sum_{i=1}^{N} m_i $ — это полная масса всей системы тел.

Для сплошного (непрерывного) тела, где массу нельзя представить в виде набора отдельных точек, суммирование заменяется интегрированием по всему объему тела:

$ \vec{r}_{ц} = \frac{1}{M} \int_V \vec{r} \, dm $

Здесь $dm$ — масса бесконечно малого элемента тела, $ \vec{r} $ — его радиус-вектор, $ M = \int_V dm $ — полная масса тела, а интегрирование проводится по всему объему $V$.

Ответ: Для определения центра масс системы тел используют формулу радиус-вектора центра масс $ \vec{r}_{ц} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i} $ или ее проекции на оси координат: $ x_ц = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} $, $ y_ц = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i} $, $ z_ц = \frac{\sum m_i z_i}{\sum m_i} $. В этих формулах $ \vec{r}_{ц} $ (с координатами $x_ц, y_ц, z_ц$) — это искомое положение центра масс, $m_i$ — масса i-го тела, а $ \vec{r}_i $ (с координатами $x_i, y_i, z_i$) — положение i-го тела.