Номер 21, страница 18, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 17. Давление жидкостей и газов. Закон Паскаля - номер 21, страница 18.

Условие.

21. С помощью гидравлического пресса, диаметр большего поршня которого равен 15 см, поднимают груз массой 90 кг, прикладывая силу 100 Н. Чему равен диаметр меньшего поршня?

Решение.

Дано:

$D_2 = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$ (диаметр большего поршня)

$m_2 = 90 \text{ кг}$ (масса груза)

$F_1 = 100 \text{ Н}$ (сила, приложенная к меньшему поршню)

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

Найти:

$d_1$ — диаметр меньшего поршня.

Решение:

В основе работы гидравлического пресса лежит закон Паскаля, согласно которому давление в жидкости передается одинаково во всех направлениях. Следовательно, давление, создаваемое меньшим поршнем ($p_1$), равно давлению, действующему на больший поршень ($p_2$):

$p_1 = p_2$

Давление ($\text{p}$) определяется как отношение силы ($\text{F}$) к площади ($\text{S}$), на которую она действует: $p = \frac{F}{S}$.

Таким образом, для поршней пресса можно записать равенство:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$

Здесь $F_1$ и $S_1$ — сила и площадь меньшего поршня, а $F_2$ и $S_2$ — сила и площадь большего поршня.

Сила $F_2$, действующая на больший поршень, — это вес груза, который он поднимает. Рассчитаем ее:

$F_2 = m_2 \cdot g = 90 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 900 \text{ Н}$

Площадь поперечного сечения поршней (которые являются кругами) вычисляется по формуле через диаметр:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражения для площадей $S_1 = \frac{\pi d_1^2}{4}$ и $S_2 = \frac{\pi D_2^2}{4}$ в основное уравнение:

$\frac{F_1}{\frac{\pi d_1^2}{4}} = \frac{F_2}{\frac{\pi D_2^2}{4}}$

Сократив общий множитель $\frac{\pi}{4}$ в обеих частях уравнения, получим:

$\frac{F_1}{d_1^2} = \frac{F_2}{D_2^2}$

Теперь выразим из этой формулы искомый диаметр меньшего поршня $d_1$:

$d_1^2 = D_2^2 \cdot \frac{F_1}{F_2}$

$d_1 = D_2 \cdot \sqrt{\frac{F_1}{F_2}}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$d_1 = 0.15 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{100 \text{ Н}}{900 \text{ Н}}} = 0.15 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{1}{9}} = 0.15 \text{ м} \cdot \frac{1}{3} = 0.05 \text{ м}$

Переведем полученное значение в сантиметры:

$0.05 \text{ м} = 5 \text{ см}$

Ответ: диаметр меньшего поршня равен 5 см.