Номер 25, страница 18, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 17. Давление жидкостей и газов. Закон Паскаля - номер 25, страница 18.

Условие.

25. На малый поршень гидравлического пресса диаметром 3 см действуют силой 200 Н. При этом он опускается на 16 см. Чему равна масса груза, поднятого большим поршнем диаметром 12 см? На какую высоту поднимается груз?

Решение.

Дано:

$d_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$F_1 = 200 \text{ Н}$

$h_1 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$d_2 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

Найти:

$m_2 - ?$

$h_2 - ?$

Решение:

Чему равна масса груза, поднятого большим поршнем диаметром 12 см?

В основе работы гидравлического пресса лежит закон Паскаля, согласно которому давление, производимое на жидкость, передается в любую точку без изменений во всех направлениях. Следовательно, давление под малым поршнем $p_1$ равно давлению под большим поршнем $p_2$.

$p_1 = p_2$

Давление определяется как отношение силы к площади: $p = F/S$. Тогда:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$

где $F_1$ и $F_2$ – силы, действующие на поршни, а $S_1$ и $S_2$ – их площади.

Площадь круглого поршня вычисляется по формуле $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Подставим это в наше равенство:

$\frac{F_1}{\frac{\pi d_1^2}{4}} = \frac{F_2}{\frac{\pi d_2^2}{4}}$

Упростив выражение, получим:

$\frac{F_1}{d_1^2} = \frac{F_2}{d_2^2}$

Отсюда можем выразить силу $F_2$, действующую на большой поршень:

$F_2 = F_1 \cdot \frac{d_2^2}{d_1^2} = F_1 \cdot (\frac{d_2}{d_1})^2$

Подставим числовые значения:

$F_2 = 200 \text{ Н} \cdot (\frac{0.12 \text{ м}}{0.03 \text{ м}})^2 = 200 \text{ Н} \cdot 4^2 = 200 \text{ Н} \cdot 16 = 3200 \text{ Н}$

Эта сила уравновешивает вес груза, который равен $F_2 = m_2 \cdot g$. Найдем массу груза $m_2$:

$m_2 = \frac{F_2}{g} = \frac{3200 \text{ Н}}{9.8 \text{ Н/кг}} \approx 326.53 \text{ кг}$

Ответ: масса груза, поднятого большим поршнем, равна приблизительно 326.5 кг.

На какую высоту поднимается груз?

Согласно "золотому правилу" механики для гидравлического пресса, работа, совершаемая силой на малом поршне, равна работе, совершаемой над грузом на большом поршне (при условии отсутствия трения). Также можно исходить из принципа несжимаемости жидкости: объем жидкости $V_1$, вытесненный малым поршнем, равен объему жидкости $V_2$, который поднял большой поршень.

$V_1 = V_2$

Объем вытесненной жидкости равен произведению площади поршня на высоту его перемещения: $V = S \cdot h$.

$S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$

Выразим высоту подъема большого поршня $h_2$:

$h_2 = h_1 \cdot \frac{S_1}{S_2} = h_1 \cdot \frac{\frac{\pi d_1^2}{4}}{\frac{\pi d_2^2}{4}} = h_1 \cdot (\frac{d_1}{d_2})^2$

Подставим числовые значения:

$h_2 = 0.16 \text{ м} \cdot (\frac{0.03 \text{ м}}{0.12 \text{ м}})^2 = 0.16 \text{ м} \cdot (\frac{1}{4})^2 = 0.16 \text{ м} \cdot \frac{1}{16} = 0.01 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.01 \text{ м} = 1 \text{ см}$.

Ответ: груз поднимается на высоту 0.01 м или 1 см.