Номер 3, страница 20, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 18. Зависимость давления в жидкости и газе от глубины или высоты. Сообщающиеся сосуды - номер 3, страница 20.

Условие.

Гидростатический парадокс (парадокс Паскаля)

3. Прочитайте следующий текст и выполните задания к нему.

В середине XVII века французский учёный Паскаль поставил эффектный опыт, удививший его современников. Поэтому опыт назвали «парадоксом Паскаля».

Учёный наполнил водой доверху деревянную бочку, плотно вставил в её крышку высокую узкую трубку и, поднявшись на второй этаж, заполнил эту трубку водой — для этого понадобилась всего одна кружка (схематически это изображено на рисунке 18.1).

И этой одной кружки воды оказалось достаточно для того, чтобы прочная бочка треснула! Следующие задания помогут вам понять, почему бочка не выдержала давления воды.

Рис. 18.1

а) Почему давление воды в бочке увеличивалось по мере заполнения трубки водой?

б) Примите, что высота трубки в описанном опыте Паскаля равна 5 м. Начертите график зависимости давления воды на верхнюю крышку бочки от высоты столба воды в трубке.

в) Примите, что диаметр крышки бочки равен 50 см, а высота бочки равна 1 м. Найдите силу давления воды на верхнюю крышку бочки и на её дно, когда трубка заполнена водой доверху.

г) Сравните силу давления воды на верхнюю крышку бочки со своим весом: какая сила больше и во сколько раз?

д) Объясните, почему бочка треснула при заполнении трубки водой.

Решение.

а) Почему давление воды в бочке увеличивалось по мере заполнения трубки водой?

Давление жидкости на определенной глубине зависит от высоты столба жидкости над этой точкой, что описывается формулой гидростатического давления: $p = \rho g h$, где $\rho$ — плотность жидкости, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, а $\text{h}$ — высота столба жидкости. Когда в узкую трубку, вставленную в крышку бочки, наливают воду, общая высота столба воды над любым уровнем внутри бочки увеличивается. Согласно закону Паскаля, это дополнительное давление, создаваемое столбом воды в трубке, передается без изменений во все точки жидкости в бочке. Таким образом, по мере заполнения трубки давление в бочке растет пропорционально высоте воды в трубке.

Ответ: Давление в бочке увеличивалось, так как росла высота столба воды над бочкой, и это дополнительное давление по закону Паскаля передавалось на всю воду в бочке.

б) Примите, что высота трубки в описанном опыте Паскаля равна 5 м. Начертите график зависимости давления воды на верхнюю крышку бочки от высоты столба воды в трубке.

Дано:

$h_{max} = 5$ м
$\rho \approx 1000$ кг/м³ (плотность воды)
$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

Начертить график зависимости $p(h)$.

Решение:

Давление воды на верхнюю крышку бочки создается столбом воды в трубке и рассчитывается по формуле гидростатического давления: $p = \rho g h$, где $\text{h}$ — высота столба воды в трубке. Поскольку $\rho$ и $\text{g}$ являются постоянными величинами, зависимость давления $\text{p}$ от высоты $\text{h}$ является прямой пропорциональностью. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат.

Найдем максимальное значение давления при максимальной высоте столба воды $h = 5$ м:

$p_{max} = 1000 \cdot 10 \cdot 5 = 50000 \text{ Па} = 50 \text{ кПа}$.

Таким образом, график представляет собой отрезок прямой линии, соединяющий точки с координатами $(0 \text{ м}; 0 \text{ Па})$ и $(5 \text{ м}; 50000 \text{ Па})$. По оси абсцисс откладывается высота $\text{h}$ в метрах, а по оси ординат — давление $\text{p}$ в Паскалях.

Ответ: График зависимости давления от высоты столба воды — это прямая линия, проходящая через начало координат. При высоте 0 м давление равно 0 Па, при высоте 5 м давление достигает 50000 Па.

в) Примите, что диаметр крышки бочки равен 50 см, а высота бочки равна 1 м. Найдите силу давления воды на верхнюю крышку бочки и на её дно, когда трубка заполнена водой доверху.

Дано:

$d = 50$ см
$h_б = 1$ м
$h_{тр} = 5$ м
$\rho \approx 1000$ кг/м³
$g \approx 10$ м/с²

$d = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$F_{верх}$ — ?
$F_{дно}$ — ?

Решение:

1. Найдем площадь крышки (и дна) бочки. Радиус крышки $r = d/2 = 0.5 / 2 = 0.25$ м.

Площадь $S = \pi r^2 = \pi \cdot (0.25)^2 \approx 3.14 \cdot 0.0625 \approx 0.196$ м².

2. Давление на верхнюю крышку создается столбом воды в трубке высотой $h_{тр} = 5$ м.

$p_{верх} = \rho g h_{тр} = 1000 \cdot 10 \cdot 5 = 50000$ Па.

Сила давления на верхнюю крышку: $F_{верх} = p_{верх} \cdot S = 50000 \cdot 0.196 = 9800$ Н.

3. Давление на дно бочки создается общим столбом воды, высота которого равна сумме высоты трубки и высоты бочки: $h_{общ} = h_{тр} + h_б = 5 + 1 = 6$ м.

$p_{дно} = \rho g h_{общ} = 1000 \cdot 10 \cdot 6 = 60000$ Па.

Сила давления на дно: $F_{дно} = p_{дно} \cdot S = 60000 \cdot 0.196 = 11760$ Н.

Ответ: Сила давления на верхнюю крышку бочки составляет 9800 Н (9.8 кН), а на дно — 11760 Н (11.76 кН).

г) Сравните силу давления воды на верхнюю крышку бочки со своим весом: какая сила больше и во сколько раз?

В вопросе "со своим весом" наиболее вероятно имеется в виду вес воды, добавленной в трубку, так как именно этот малый вес воды создает огромное давление. В тексте сказано, что для заполнения трубки понадобилась "всего одна кружка воды".

Дано:

$F_{верх} = 9800$ Н
$V_{воды} \approx 0.3 \text{ л}$ (объем одной кружки)
$\rho \approx 1000$ кг/м³
$g \approx 10$ м/с²

$V_{воды} = 0.3 \text{ л} = 0.0003 \text{ м³}$

Найти:

Сравнить $F_{верх}$ и $P_{воды}$, найти отношение $F_{верх} / P_{воды}$.

Решение:

1. Найдем массу воды в кружке: $m_{воды} = \rho \cdot V_{воды} = 1000 \cdot 0.0003 = 0.3$ кг.

2. Найдем вес этой воды: $P_{воды} = m_{воды} \cdot g = 0.3 \cdot 10 = 3$ Н.

3. Сравним силу давления на крышку с весом воды в трубке.

$F_{верх} = 9800$ Н, а $P_{воды} = 3$ Н.

Сила давления на крышку значительно больше веса воды в трубке.

4. Найдем, во сколько раз сила давления больше веса воды:

$\frac{F_{верх}}{P_{воды}} = \frac{9800}{3} \approx 3267$.

Ответ: Сила давления на верхнюю крышку (9800 Н) намного больше веса воды, добавленной в трубку (3 Н), примерно в 3267 раз.

д) Объясните, почему бочка треснула при заполнении трубки водой.

Бочка треснула из-за огромной силы, возникшей в результате высокого гидростатического давления. Небольшое количество воды, налитое в высокую узкую трубку, создало на уровне крышки бочки значительное давление ($p = \rho g h$). По закону Паскаля, это давление передалось всем внутренним поверхностям бочки: крышке, дну и стенкам. Поскольку площадь внутренней поверхности бочки велика, суммарная сила давления ($F = p \cdot S$), действующая изнутри на стенки, дно и крышку, достигла огромного значения. Эта сила оказалась больше, чем прочность материала и соединений бочки, что и привело к её разрушению. В этом и заключается "парадокс Паскаля": малый вес добавленной жидкости может породить гигантскую разрушительную силу.

Ответ: Бочка треснула, потому что высокое давление, созданное столбом воды в трубке, привело к возникновению огромной силы, действующей на большую внутреннюю площадь бочки. Эта сила превысила предел прочности бочки.