Номер 1, страница 88 - гдз по физике 7 класс контрольные и самостоятельные работы Громцева

Глава 4. Работа и мощность. Энергия. Самостоятельные работы. СР-47. Центр тяжести тела. Условия равновесия тел. Вариант № 1 - номер 1, страница 88.

Решение.

Центр тяжести плоского тела — это точка, к которой приложена равнодействующая всех сил тяжести, действующих на отдельные части этого тела. Для однородного плоского тела в однородном поле тяжести центр тяжести совпадает с его геометрическим центром (центроидом). Определить положение центра тяжести можно экспериментальным или аналитическим (расчетным) способом.

Экспериментальный способ

Этот способ подходит для определения центра тяжести реального физического объекта, например, вырезанного из картона или фанеры.

1. Подвесить тело за произвольную точку на его контуре.

2. Когда тело придет в состояние равновесия, его центр тяжести будет находиться на вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса. Эту прямую можно отметить на теле с помощью отвеса.

3. Повторить процедуру, подвесив тело за другую точку, не лежащую на первой проведенной линии.

4. Провести вторую вертикальную линию. Точка пересечения этих двух линий и будет являться искомым центром тяжести.

5. Для повышения точности можно провести и третью линию, подвесив тело за третью точку. Она также должна пройти через найденную точку пересечения.

Аналитический (расчетный) способ

Этот способ применяется, когда известны геометрические размеры тела и его форма. В основе лежат следующие подходы:

1. Использование симметрии. Если фигура имеет ось симметрии, то ее центр тяжести лежит на этой оси. Если фигура имеет две оси симметрии, то ее центр тяжести находится в точке их пересечения. Например, центр тяжести круга — в его геометрическом центре, а центр тяжести прямоугольника — на пересечении его диагоналей.

2. Метод разбиения. Сложную фигуру можно мысленно разбить на несколько простых фигур (прямоугольников, треугольников, секторов круга и т.д.), положения центров тяжести которых известны. Координаты центра тяжести ($x_c$, $y_c$) всей фигуры для однородного тела определяются по формулам, использующим площади простых фигур:

$x_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{ci} A_i}{\sum_{i=1}^{n} A_i} = \frac{x_{c1}A_1 + x_{c2}A_2 + ... + x_{cn}A_n}{A_1 + A_2 + ... + A_n}$

$y_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_{ci} A_i}{\sum_{i=1}^{n} A_i} = \frac{y_{c1}A_1 + y_{c2}A_2 + ... + y_{cn}A_n}{A_1 + A_2 + ... + A_n}$

где $A_i$ — площадь i-той простой фигуры, а $x_{ci}$ и $y_{ci}$ — координаты ее центра тяжести в выбранной системе координат.

3. Метод отрицательных площадей. Если в теле есть вырез (отверстие), то центр тяжести можно найти, представив тело как большую цельную фигуру, из которой удалена фигура, соответствующая вырезу. В этом случае площадь выреза в расчетных формулах берется со знаком «минус». Для фигуры с одним вырезом формулы выглядят так:

$x_c = \frac{x_{c1}A_1 - x_{c2}A_2}{A_1 - A_2}$

$y_c = \frac{y_{c1}A_1 - y_{c2}A_2}{A_1 - A_2}$

где $A_1$, $x_{c1}$, $y_{c1}$ — площадь и координаты центра тяжести исходной фигуры (без выреза), а $A_2$, $x_{c2}$, $y_{c2}$ — те же параметры для выреза.

4. Интегральный метод. Для фигур, ограниченных кривыми линиями, которые заданы математическими функциями, координаты центра тяжести находятся с помощью интегрирования по всей площади фигуры $\text{A}$:

$x_c = \frac{\int_A x \, dA}{\int_A dA}$

$y_c = \frac{\int_A y \, dA}{\int_A dA}$

где $dA$ — элемент площади.

Ответ: Центр тяжести плоского тела можно определить экспериментально (методом подвешивания) или аналитически. Аналитические методы включают: использование осей симметрии фигуры; метод разбиения сложной фигуры на простые с последующим расчетом координат по формулам статических моментов площади; метод отрицательных площадей для фигур с вырезами; интегральный метод для фигур, ограниченных кривыми, заданными аналитически.