Номер 14.5, страница 20 - гдз по физике 7 класс рабочая тетрадь Ханнанова, Ханнанов

Характеристики движения. Скорость - номер 14.5, страница 20.

Условие.

Задание 14.5. Мальчик съехал с горы на санках из точки A и остановился в точке C. Траектория его движения ABC, причём $AB = BC$. Определите путь мальчика по данным, указанным на рисунке.

Решение.

Дано:

Траектория движения: ABC, где $AB=BC$.

Масштаб по рисунку: 9 клеток по горизонтали соответствуют 27 м.

Геометрия пути по рисунку: участок AB имеет проекции 4 клетки по горизонтали и 2 по вертикали; участок BC горизонтальный, длиной 3 клетки.

Найти:

Путь мальчика $\text{S}$.

Решение:

Общий путь, пройденный мальчиком, определяется как сумма длин участков AB и BC:

$S = AB + BC$

Согласно условию задачи, длины этих участков равны: $AB = BC$.

Следовательно, полный путь составляет:

$S = 2 \cdot BC$

Для решения задачи необходимо найти длину одного из участков, используя данные рисунка. Противоречие между геометрией рисунка (где $AB \neq BC$ в клетках) и условием задачи ($AB=BC$) говорит о том, что рисунок следует рассматривать как схематичный, но сохраняющий ключевые пропорции и масштаб.

1. Определим цену деления сетки (масштаб). По рисунку, 9 клеток по горизонтали соответствуют 27 метрам. Таким образом, длина одной клетки составляет:

$c = \frac{27 \text{ м}}{9 \text{ клеток}} = 3 \text{ м/клетку}$

2. Горизонтальная проекция всего пути от точки A до точки C составляет $4 + 3 = 7$ клеток. Переведем это расстояние в метры:

$L_{x} = 7 \text{ клеток} \cdot 3 \text{ м/клетку} = 21 \text{ м}$

Это расстояние равно сумме длин горизонтальных проекций участков AB ($x_{AB}$) и BC ($x_{BC}$):

$x_{AB} + x_{BC} = 21$

3. Из рисунка находим соотношение между вертикальной ($y_{AB}$) и горизонтальной ($x_{AB}$) проекциями для наклонного участка AB. На 4 клетки по горизонтали приходится 2 клетки по вертикали.

$\frac{y_{AB}}{x_{AB}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies y_{AB} = \frac{1}{2} x_{AB}$

4. Длина участка AB выражается через его проекции по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{x_{AB}^2 + y_{AB}^2}$

Подставим соотношение для $y_{AB}$:

$AB = \sqrt{x_{AB}^2 + (\frac{1}{2} x_{AB})^2} = \sqrt{x_{AB}^2 + \frac{1}{4} x_{AB}^2} = \sqrt{\frac{5}{4} x_{AB}^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} x_{AB}$

5. Участок BC является горизонтальным, поэтому его длина совпадает с его горизонтальной проекцией: $BC = x_{BC}$.

6. Теперь используем ключевое условие задачи $AB = BC$:

$\frac{\sqrt{5}}{2} x_{AB} = x_{BC}$

7. Мы получили систему из двух уравнений для нахождения $x_{AB}$ и $x_{BC}$:

$x_{AB} + x_{BC} = 21$

$x_{BC} = \frac{\sqrt{5}}{2} x_{AB}$

Подставим выражение для $x_{BC}$ из второго уравнения в первое:

$x_{AB} + \frac{\sqrt{5}}{2} x_{AB} = 21$

$x_{AB} (1 + \frac{\sqrt{5}}{2}) = 21 \implies x_{AB} (\frac{2+\sqrt{5}}{2}) = 21 \implies x_{AB} = \frac{42}{2+\sqrt{5}}$

8. Теперь найдем длину $BC = x_{BC}$:

$x_{BC} = \frac{\sqrt{5}}{2} x_{AB} = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{42}{2+\sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}$

9. Полный путь $S = 2 \cdot BC = 2 \cdot x_{BC}$:

$S = 2 \cdot \frac{21\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} = \frac{42\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{5})$:

$S = \frac{42\sqrt{5}(2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} = \frac{84\sqrt{5} - 42 \cdot 5}{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{84\sqrt{5} - 210}{4 - 5} = \frac{84\sqrt{5} - 210}{-1} = 210 - 84\sqrt{5}$

Ответ: Путь мальчика равен $S = (210 - 84\sqrt{5})$ м.