Номер 21.20, страница 74 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 21. Давление газов. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 21.20, страница 74.

21.20 [д. 95] Длинный детский шарик из очень эластичного материала надули, завязали и плотно перетянули верёвочкой так, что одна из частей шарика оказалась длиннее другой при одинаковом диаметре. Одинаково ли давление в обеих частях шарика?

Решение

Давление воздуха внутри надутого шарика больше внешнего атмосферного давления за счет сил упругости, возникающих в растянутой резиновой оболочке. Это избыточное давление ($\Delta P$) зависит от кривизны поверхности и упругого натяжения материала (силы натяжения на единицу длины).

Длинные части шарика, о которых идет речь в задаче, можно рассматривать как цилиндры с одинаковым диаметром, а значит, и с одинаковым радиусом кривизны $R$. Избыточное давление внутри тонкостенного цилиндра определяется его радиусом $R$ и кольцевым (тангенциальным) натяжением стенки $\sigma_{кольц}$ по формуле, являющейся следствием закона Лапласа: $$ \Delta P = \frac{\sigma_{кольц}}{R} $$ Кольцевое натяжение $\sigma_{кольц}$ — это сила упругости, возникающая в материале при его растяжении в направлении, перпендикулярном оси цилиндра.

По условию задачи, обе части шарика имеют одинаковый диаметр. Это означает, что их оболочки растянуты в кольцевом направлении до одинакового радиуса $R$. Так как шарик сделан из однородного эластичного материала, одинаковое относительное растяжение в кольцевом направлении приведет к возникновению одинакового кольцевого натяжения $\sigma_{кольц}$ в стенках обеих частей.

Поскольку для обеих частей шарика и радиус $R$, и кольцевое натяжение $\sigma_{кольц}$ одинаковы, то избыточное давление $\Delta P$ внутри них также должно быть одинаковым. Полное давление $P$ в каждой части равно сумме атмосферного давления $P_{атм}$ и избыточного давления $\Delta P$: $$ P = P_{атм} + \Delta P $$ Следовательно, полное давление в обеих частях шарика одинаково.

Разная длина частей шарика при одинаковом давлении и радиусе означает, что продольное натяжение в стенках также одинаково. Это, в свою очередь, подразумевает, что более длинная часть была образована из изначально более длинного участка нерастянутого шарика.

Ответ: Да, давление в обеих частях шарика одинаково.