Страница 74 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

21.12 [472] Массы одного и того же газа в двух одинаковых закрытых сосудах одинаковы. Один из этих сосудов находится в тёплом помещении, другой — в холодном. В каком из сосудов давление газа больше? Почему?

Дано:

$V_1 = V_2 = V$ (объемы сосудов одинаковы)
$m_1 = m_2 = m$ (массы газа одинаковы)
$M_1 = M_2 = M$ (газ один и тот же, молярная масса одинакова)
$T_1$ — температура газа в тёплом помещении
$T_2$ — температура газа в холодном помещении
$T_1 > T_2$

Найти:

Сравнить давления $p_1$ и $p_2$.

Решение:

Для описания состояния газа в сосудах воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ — давление газа, $V$ — объём сосуда, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $T$ — абсолютная температура газа.

Выразим давление из этого уравнения:

$p = \frac{mRT}{MV}$

Запишем это выражение для каждого из двух сосудов. Обозначим параметры газа в тёплом помещении индексом 1, а в холодном — индексом 2.

Давление в тёплом сосуде: $p_1 = \frac{m_1RT_1}{M_1V_1}$

Давление в холодном сосуде: $p_2 = \frac{m_2RT_2}{M_2V_2}$

Согласно условию задачи, сосуды одинаковые ($V_1 = V_2 = V$), массы газа в них одинаковы ($m_1 = m_2 = m$), и газ один и тот же ($M_1 = M_2 = M$). Это значит, что для обоих сосудов величина $\frac{mR}{MV}$ является постоянной. Таким образом, давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:

$p \sim T$

Поскольку сосуд 1 находится в тёплом помещении, а сосуд 2 — в холодном, их температуры соотносятся как $T_1 > T_2$. Следовательно, и давления будут находиться в таком же соотношении:

$p_1 > p_2$

Почему? С точки зрения молекулярно-кинетической теории, температура является мерой средней кинетической энергии молекул. В сосуде с более высокой температурой (в тёплом помещении) молекулы газа имеют большую среднюю кинетическую энергию, а значит, движутся с большими скоростями. Так как объём сосудов и количество молекул в них одинаковы, то в тёплом сосуде молекулы будут ударяться о стенки чаще и с большей силой (импульсом). Совокупность этих ударов и создаёт давление, поэтому в тёплом сосуде оно будет выше.

Ответ:Давление газа больше в сосуде, который находится в тёплом помещении.

21.13 [473] В закрытой части сосуда над ртутью (рис. III-14) находятся молекулы воздуха и паров ртути. Почему с повышением температуры уровень ртути в этом колене понижается?

Рис. III-14

21.13 [473] В запаянном колене U-образной трубки над ртутью находится смесь двух газов: воздуха и насыщенного пара ртути. Общее давление этой газовой смеси на поверхность ртути, в соответствии с законом Дальтона, равно сумме парциальных давлений воздуха и паров ртути:

$p_{общ} = p_{возд} + p_{пара}$

При повышении температуры давление каждого из компонентов смеси увеличивается, но по-разному:

1. Давление воздуха. Количество воздуха в запаянном объеме постоянно. Согласно уравнению состояния идеального газа, его давление увеличивается с ростом температуры.

2. Давление паров ртути. Над поверхностью жидкости всегда находится ее насыщенный пар. Давление насыщенного пара зависит только от температуры, причем эта зависимость очень сильная и нелинейная (близка к экспоненциальной). С ростом температуры скорость испарения ртути резко возрастает, что приводит к значительному увеличению концентрации молекул пара и, как следствие, к резкому росту его давления. Этот рост гораздо более значителен, чем рост давления воздуха.

Таким образом, общее давление газовой смеси над ртутью при нагревании сильно возрастает, в основном за счет увеличения давления насыщенного пара ртути. Это возросшее давление вытесняет ртуть из запаянного колена, заставляя ее уровень в нем понижаться.

Ответ: С повышением температуры сильно возрастает давление насыщенных паров ртути (а также, в меньшей степени, давление воздуха). Увеличение общего давления газовой смеси над ртутью в запаянном колене приводит к вытеснению ртути, и ее уровень понижается.

21.14[474] У костра можно видеть, как от горящих поленьев с треском разлетаются искры. Почему?

Решение

Это явление объясняется структурой древесины и физическими процессами, происходящими при её нагревании.

1. Древесина имеет пористую, капиллярную структуру. В этих микроскопических полостях всегда содержится некоторое количество влаги (воды) и воздуха. В некоторых породах дерева, особенно в хвойных, также содержатся кармашки со смолой.

2. Когда полено в костре нагревается, вода внутри этих пор закипает и превращается в водяной пар. При переходе из жидкого состояния в газообразное вода значительно увеличивается в объеме. Воздух, также запертый в порах, при нагревании сильно расширяется.

3. В результате этих процессов внутри замкнутых пор древесины создается очень высокое давление. Когда это давление превышает прочность окружающих древесных волокон, происходит микровзрыв: стенки поры разрываются.

4. Резкий звук разрыва волокон мы слышим как треск. Силой этого микровзрыва из полена выбрасываются мелкие раскаленные частицы угля и горящей древесины. Эти светящиеся частицы мы и наблюдаем как искры.

Таким образом, треск и разлетающиеся искры — это следствие множества микровзрывов внутри поленьев, вызванных быстрым испарением влаги и расширением газов при сильном нагреве.

Ответ: Искры от горящих поленьев разлетаются с треском потому, что вода, содержащаяся в порах древесины, при нагревании быстро превращается в пар. Пар и расширяющийся от нагрева воздух создают внутри древесных волокон высокое давление, которое с силой разрывает их. Этот разрыв сопровождается треском, а вылетающие при этом раскаленные частицы дерева мы видим как искры.

$21.15^{\circ}$ $[475^{\circ}]$ Если сначала охладить бутылку, а потом, держа её в руках, опустить горлышком в воду (рис. III-15), то можно заметить, что из бутылки будут выходить пузырьки воздуха. Объясните наблюдаемое явление.

Рис. III-15

Решение

Наблюдаемое явление объясняется физическим свойством газов — тепловым расширением. Рассмотрим процесс по шагам.

1. Начальное состояние. В предварительно охлажденной бутылке находится воздух, температура которого также понижена. При охлаждении газы сжимаются, то есть плотность воздуха в бутылке немного выше, чем у окружающего воздуха при нормальной температуре, или же его давление ниже.

2. Передача тепла. Когда человек берет бутылку в руки, тепло от рук (температура которых около 36,6 °C) начинает передаваться через стекло воздуху, находящемуся внутри бутылки. В результате температура воздуха в бутылке повышается.

3. Тепловое расширение воздуха. Согласно закону Гей-Люссака, при постоянном давлении объем газа прямо пропорционален его абсолютной температуре. Это можно выразить формулой:

$V/T = \text{const}$

где $V$ — объем газа, а $T$ — его абсолютная температура. Когда воздух внутри бутылки нагревается, его температура $T$ растет, и он стремится расшириться, то есть занять больший объем $V$.

4. Выход пузырьков. Поскольку объем бутылки постоянен, расширяющийся воздух создает внутри нее избыточное давление, которое становится выше внешнего атмосферного давления. Когда горлышко бутылки погружают в воду, это повышенное давление выталкивает излишек воздуха из бутылки. Проходя через воду, выходящий воздух образует пузырьки, которые и наблюдаются в опыте.

Ответ: Воздух в холодной бутылке нагревается от тепла рук. В результате теплового расширения он увеличивается в объеме и создает избыточное давление, которое выталкивает часть воздуха из бутылки. Так как горлышко погружено в воду, выходящий воздух образует пузырьки.

21.16 [476] Почему мяч, вынесенный из комнаты на улицу зимой, «сдувается»?

Явление «сдувания» мяча на морозе объясняется законами термодинамики, в частности, поведением газов при изменении температуры. Воздух внутри мяча, как и любой газ, состоит из молекул, которые находятся в непрерывном хаотическом движении и создают давление на стенки мяча своими ударами.

Когда мяч переносят из теплой комнаты на холодную улицу, воздух внутри него остывает. Согласно молекулярно-кинетической теории, понижение температуры газа означает уменьшение средней кинетической энергии его молекул. Молекулы начинают двигаться медленнее, в результате чего они реже и с меньшей силой ударяются о внутренние стенки мяча. Это приводит к уменьшению давления воздуха внутри мяча.

Внешнее атмосферное давление при этом остается практически неизменным и становится больше внутреннего давления. Под действием этой разницы давлений мяч сжимается, его объем уменьшается, что мы и воспринимаем как «сдувание».

Этот процесс можно описать с помощью объединенного газового закона для идеального газа, который связывает давление ($P$), объем ($V$) и абсолютную температуру ($T$) газа: $\frac{P \cdot V}{T} = \text{const}$. Если обозначить параметры в комнате индексом 1, а на улице – индексом 2, то справедливо соотношение:

$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$

Поскольку температура на улице ниже ($T_2 < T_1$), произведение давления на объем также должно уменьшиться ($P_2 V_2 < P_1 V_1$). Это и происходит за счет уменьшения как давления, так и объема мяча.

Ответ: Мяч «сдувается», потому что при охлаждении на улице воздух внутри него сжимается. Понижение температуры приводит к уменьшению скорости движения молекул воздуха, из-за чего падает давление внутри мяча. Внешнее атмосферное давление, которое становится больше внутреннего, сжимает мяч и уменьшает его объем.

21.17 [477] При изготовлении электрических ламп их баллоны наполняют инертным газом, давление которого значительно меньше атмосферного. Почему так делают?

Решение

При изготовлении электрических ламп накаливания их баллоны (колбы) наполняют инертным газом под давлением ниже атмосферного по двум основным причинам.

1. Назначение инертного газа. Основной элемент лампы накаливания — это вольфрамовая нить, которая раскаляется до очень высоких температур (порядка 2200-2700 °C). Если бы в колбе был вакуум, то при такой температуре атомы вольфрама интенсивно испарялись бы с поверхности нити. Это привело бы к двум негативным последствиям: нить быстро бы утончилась и перегорела, а осевшие на стекле атомы вольфрама затемнили бы колбу, снижая её светопропускание. Если бы колба была заполнена воздухом, то кислород мгновенно бы окислил (сжёг) раскаленную нить. Инертный газ (чаще всего аргон или смесь азота с аргоном) химически неактивен и не реагирует с вольфрамом. Наличие газа создает в колбе давление, которое препятствует испарению атомов вольфрама с нити, значительно продлевая срок службы лампы и позволяя повысить её рабочую температуру для увеличения яркости и эффективности.

2. Причина низкого давления. Давление газа в холодной лампе делают значительно меньше атмосферного из соображений безопасности. Во время работы лампы инертный газ внутри колбы сильно нагревается от раскаленной нити. Согласно закону Шарля для газа при постоянном объеме, его давление прямо пропорционально абсолютной температуре ($p \sim T$). Поскольку температура газа внутри работающей лампы значительно выше комнатной, давление газа также существенно возрастает. Если бы начальное давление газа в холодной лампе было равно атмосферному, то в рабочем состоянии давление внутри колбы стало бы намного выше внешнего атмосферного давления. Это создало бы большую нагрузку на стеклянные стенки колбы изнутри, что могло бы привести к её разрушению (взрыву). Устанавливая начальное давление газа ниже атмосферного, производители добиваются того, чтобы в рабочем, нагретом состоянии давление внутри лампы было приблизительно равно внешнему атмосферному давлению. Это минимизирует разницу давлений и механическое напряжение в стекле, обеспечивая прочность и безопасность лампы.

Ответ: Инертный газ используют для того, чтобы замедлить испарение раскаленной вольфрамовой нити и тем самым продлить срок службы лампы. Давление делают значительно ниже атмосферного, чтобы при нагреве лампы во время работы давление газа внутри не стало чрезмерно высоким, что могло бы привести к разрушению стеклянной колбы.

21.18 [478] Почему стволы огнестрельного оружия изготавливают из особо прочной стали?

Стволы огнестрельного оружия изготавливают из особо прочной стали, чтобы они могли выдерживать экстремальные условия, возникающие в момент выстрела. Процесс выстрела включает в себя несколько ключевых физических явлений:

1. Мгновенное сгорание пороха: При выстреле происходит воспламенение порохового заряда в патроне. Это очень быстрая химическая реакция, в результате которой за доли секунды образуется огромный объем газов.

2. Колоссальное давление: Образовавшиеся газы создают внутри ствола чрезвычайно высокое давление, которое может достигать значений в несколько тысяч атмосфер (сотни мегапаскалей). Это давление толкает пулю вперед по каналу ствола, придавая ей начальную скорость. Одновременно с этим, согласно третьему закону Ньютона, газы с такой же огромной силой давят на внутренние стенки ствола, пытаясь разорвать его.

3. Высокая температура: Сгорание пороха сопровождается выделением большого количества тепла, из-за чего температура газов и, соответственно, внутренней поверхности ствола, кратковременно повышается до 2000–3000 °C.

4. Механическое и термическое напряжение: Сочетание сверхвысокого давления и температуры создает в материале ствола огромное механическое и термическое напряжение. Чтобы противостоять этим нагрузкам и не разрушиться, материал ствола должен обладать целым рядом свойств:

• Высокая прочность на разрыв: Способность выдерживать давление газов без пластической деформации (раздутия) или разрыва.
• Высокая ударная вязкость: Способность поглощать энергию ударной нагрузки от взрыва пороха, не становясь хрупким и не трескаясь.
• Жаропрочность: Способность сохранять свои прочностные свойства при высоких температурах.
• Износостойкость: Способность противостоять истиранию от трения движущейся с огромной скоростью пули о нарезы в канале ствола.

Обычная сталь не способна выдержать такие комплексные нагрузки. Поэтому для изготовления стволов используют специальные легированные стали (например, хромомолибденовые), которые проходят сложную термическую и механическую обработку для придания им необходимых уникальных свойств.

Ответ: Стволы огнестрельного оружия изготавливают из особо прочной стали, потому что в момент выстрела внутри ствола возникают огромное давление (тысячи атмосфер) и очень высокая температура (тысячи градусов Цельсия) из-за сгорания пороха. Только специальная сталь с высокой прочностью, вязкостью и жаропрочностью способна выдержать такие экстремальные нагрузки многократно, не деформируясь и не разрушаясь, что обеспечивает безопасность стрелка и долговечность оружия.

21.19 [д. 94] В плотно закрытом полиэтиленовом пакете с молоком, хранящемся при постоянной температуре, масса вещества остаётся неизменной. Почему со временем пакет увеличивается в объёме?

Решение

Хотя полиэтиленовый пакет плотно закрыт и общая масса вещества внутри него остается постоянной (в соответствии с законом сохранения массы в замкнутой системе), со временем в молоке происходят химические и биологические процессы.

Молоко содержит молочнокислые и другие бактерии. При хранении, даже при постоянной пониженной температуре, эти микроорганизмы начинают активно размножаться и перерабатывать компоненты молока, в первую очередь молочный сахар (лактозу). Этот процесс называется брожением или скисанием.

В результате жизнедеятельности бактерий и процессов брожения выделяются различные вещества, в том числе и газы (например, углекислый газ, $CO_2$). То есть, часть массы молока переходит из жидкого состояния в газообразное.

Плотность газа значительно ниже плотности жидкости. Согласно формуле $V = m/\rho$, где $V$ — объем, $m$ — масса, а $\rho$ — плотность, одна и та же масса вещества в газообразном состоянии занимает гораздо больший объем, чем в жидком.

Образовавшийся газ накапливается внутри пакета, увеличивая давление на его стенки. Поскольку полиэтиленовый пакет эластичен, под действием этого давления он растягивается, и его общий объем увеличивается. Таким образом, пакет "вздувается" из-за превращения части жидкости в газ, который занимает больший объем при той же массе.

Ответ: Пакет увеличивается в объеме из-за выделения газа в результате процесса брожения (скисания) молока. Бактерии, содержащиеся в молоке, перерабатывают его компоненты, при этом образуется газ. Так как газ имеет значительно меньшую плотность, чем жидкость, он занимает больший объем при той же массе, что и приводит к "вздутию" пакета.

21.20 [д. 95] Длинный детский шарик из очень эластичного материала надули, завязали и плотно перетянули верёвочкой так, что одна из частей шарика оказалась длиннее другой при одинаковом диаметре. Одинаково ли давление в обеих частях шарика?

Решение

Давление воздуха внутри надутого шарика больше внешнего атмосферного давления за счет сил упругости, возникающих в растянутой резиновой оболочке. Это избыточное давление ($\Delta P$) зависит от кривизны поверхности и упругого натяжения материала (силы натяжения на единицу длины).

Длинные части шарика, о которых идет речь в задаче, можно рассматривать как цилиндры с одинаковым диаметром, а значит, и с одинаковым радиусом кривизны $R$. Избыточное давление внутри тонкостенного цилиндра определяется его радиусом $R$ и кольцевым (тангенциальным) натяжением стенки $\sigma_{кольц}$ по формуле, являющейся следствием закона Лапласа: $$ \Delta P = \frac{\sigma_{кольц}}{R} $$ Кольцевое натяжение $\sigma_{кольц}$ — это сила упругости, возникающая в материале при его растяжении в направлении, перпендикулярном оси цилиндра.

По условию задачи, обе части шарика имеют одинаковый диаметр. Это означает, что их оболочки растянуты в кольцевом направлении до одинакового радиуса $R$. Так как шарик сделан из однородного эластичного материала, одинаковое относительное растяжение в кольцевом направлении приведет к возникновению одинакового кольцевого натяжения $\sigma_{кольц}$ в стенках обеих частей.

Поскольку для обеих частей шарика и радиус $R$, и кольцевое натяжение $\sigma_{кольц}$ одинаковы, то избыточное давление $\Delta P$ внутри них также должно быть одинаковым. Полное давление $P$ в каждой части равно сумме атмосферного давления $P_{атм}$ и избыточного давления $\Delta P$: $$ P = P_{атм} + \Delta P $$ Следовательно, полное давление в обеих частях шарика одинаково.

Разная длина частей шарика при одинаковом давлении и радиусе означает, что продольное натяжение в стенках также одинаково. Это, в свою очередь, подразумевает, что более длинная часть была образована из изначально более длинного участка нерастянутого шарика.

Ответ: Да, давление в обеих частях шарика одинаково.

21.21 [Д. 96] Зимой водитель накачал шины своего автомобиля в тёплом гараже, выехал на дорогу и обнаружил, что шины слегка спущены. Что произошло с шинами автомобиля?

Решение

Это явление объясняется законами термодинамики, которые описывают поведение газов. Воздух в автомобильных шинах можно с достаточной точностью рассматривать как идеальный газ.

Когда водитель накачивал шины в теплом гараже, воздух внутри них имел определенную температуру $T_1$ (температуру гаража) и давление $p_1$. После выезда на зимнюю дорогу, где температура окружающей среды $T_2$ значительно ниже, чем в гараже ($T_2 < T_1$), воздух внутри шин начал остывать, стремясь к равновесию с окружающей средой.

Состояние газа описывается уравнением состояния идеального газа (уравнением Клапейрона-Менделеева): $pV = \nu RT$. В данном процессе количество воздуха в шине (число молей $\nu$) и ее объем $V$ можно считать постоянными. В этом случае уравнение упрощается до закона Шарля, который гласит, что для данного количества газа при постоянном объеме его давление прямо пропорционально абсолютной температуре: $$ \frac{p}{T} = \text{const} $$

Это означает, что для двух состояний газа (в теплом гараже и на холодной улице) справедливо соотношение: $$ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} $$ где $p_1$ и $T_1$ – начальное давление и абсолютная температура (в Кельвинах) в гараже, а $p_2$ и $T_2$ – конечное давление и абсолютная температура на улице.

Из этого соотношения можно выразить конечное давление $p_2$: $$ p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} $$

Так как температура на улице ниже, чем в гараже ($T_2 < T_1$), то дробь $\frac{T_2}{T_1}$ будет меньше единицы. Следовательно, конечное давление в шинах $p_2$ станет ниже начального давления $p_1$.

Снижение давления приводит к тому, что шины становятся менее упругими и сильнее прогибаются под весом автомобиля. Визуально это воспринимается так, будто шины слегка спущены.

Ответ: Когда автомобиль выехал из теплого гаража на мороз, воздух в шинах охладился. Поскольку объем шин практически не изменился, согласно закону Шарля, давление воздуха в них уменьшилось пропорционально уменьшению его абсолютной температуры. Из-за этого падения давления шины и оказались слегка спущенными.