Страница 69 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

19.40 [Д. 83] Почему при стыковке космических кораблей предварительно добиваются очень малой разности их скоростей?

Решение

Процесс стыковки двух космических кораблей с точки зрения физики представляет собой абсолютно неупругое соударение. При таком соударении тела объединяются и продолжают движение как единое целое. Ключевой особенностью неупругого соударения является то, что при сохранении полного импульса системы часть её кинетической энергии превращается в другие виды энергии, в основном, в тепловую энергию и работу по деформации сталкивающихся объектов. Именно эта «потерянная» энергия и определяет силу удара при контакте.

Рассмотрим два корабля массами $m_1$ и $m_2$, движущихся со скоростями $v_1$ и $v_2$ соответственно. Их относительная скорость перед стыковкой равна $v_{отн} = |v_1 - v_2|$.

Энергия, которая выделяется при ударе (идет на деформацию, нагрев и т.д.), то есть потеря кинетической энергии системы, вычисляется по формуле:

$\Delta E_к = \frac{1}{2} \mu v_{отн}^2$

где $\mu$ - приведенная масса системы, равная $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$, а $v_{отн}$ - относительная скорость кораблей.

Из этой формулы видно, что энергия удара $\Delta E_к$ прямо пропорциональна квадрату относительной скорости ($v_{отн}^2$). Космические корабли и их стыковочные узлы — это сложные и чувствительные механизмы. Большая сила удара может привести к их повреждению, нарушению герметичности или даже к более серьезной аварии, что представляет огромную опасность для оборудования и экипажа.

Чтобы минимизировать силу удара и сделать процесс стыковки максимально мягким и безопасным, необходимо уменьшить до минимума энергию, выделяющуюся при столкновении. Для этого, согласно формуле, требуется свести к минимуму относительную скорость $v_{отн}$. На практике скорости кораблей выравнивают до тех пор, пока их разность не составит всего несколько сантиметров в секунду. Это обеспечивает плавное и безопасное соединение.

Таким образом, чем меньше разность скоростей, тем слабее будет удар при контакте, что является критически важным для сохранения целостности конструкций и безопасности экипажа.

Ответ:

При стыковке космических кораблей происходит неупругое соударение, при котором часть кинетической энергии переходит в энергию деформации (удара). Величина этой энергии пропорциональна квадрату относительной скорости кораблей. Чтобы избежать повреждения дорогостоящего оборудования, стыковочных узлов и не подвергать опасности экипаж, необходимо минимизировать силу удара, для чего предварительно добиваются очень малой относительной скорости сближения.

19.41 [Д. 84] На тележку массой 50 кг, катящуюся по горизонтальной поверхности со скоростью 1,4 м/с, опустили груз массой 20 кг. Как и на сколько изменится скорость тележки?

Дано:

Масса тележки, $m_1 = 50$ кг

Начальная скорость тележки, $v_1 = 1.4$ м/с

Масса груза, $m_2 = 20$ кг

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Изменение скорости тележки, $\Delta v$

Решение:

Рассмотрим систему тел, состоящую из тележки и груза. Поскольку груз опускают на тележку, его начальная горизонтальная скорость равна нулю. Взаимодействие тележки и груза является неупругим ударом, так как после взаимодействия они движутся вместе как единое целое.

Так как тележка катится по горизонтальной поверхности, и мы пренебрегаем силой трения, то в горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы. Это означает, что для системы «тележка + груз» выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Запишем закон сохранения импульса. Импульс системы до взаимодействия равен импульсу тележки, так как груз не имел горизонтальной скорости:

$p_{\text{до}} = m_1 \cdot v_1$

После того как груз опустили на тележку, они стали двигаться вместе с некоторой конечной скоростью $v_2$. Общая масса системы стала равна $m_1 + m_2$. Импульс системы после взаимодействия:

$p_{\text{после}} = (m_1 + m_2) \cdot v_2$

Согласно закону сохранения импульса:

$p_{\text{до}} = p_{\text{после}}$

$m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot v_2$

Выразим отсюда конечную скорость тележки с грузом $v_2$:

$v_2 = \frac{m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения и вычислим конечную скорость:

$v_2 = \frac{50 \text{ кг} \cdot 1.4 \text{ м/с}}{50 \text{ кг} + 20 \text{ кг}} = \frac{70 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{70 \text{ кг}} = 1$ м/с

Начальная скорость тележки была $v_1 = 1.4$ м/с, а конечная стала $v_2 = 1$ м/с. Так как $v_2 < v_1$, скорость тележки уменьшилась.

Найдем, на сколько изменилась скорость:

$\Delta v = v_1 - v_2 = 1.4 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с} = 0.4$ м/с

Ответ: Скорость тележки уменьшится на 0,4 м/с.

19.42 [Д. 85] В центр свободно висящей мишени массой 162 г вонзается стрела массой 18 г, летевшая горизонтально со скоростью 20 м/с. Какую скорость приобретает при этом мишень?

Дано

Найти: $u$

Решение

Рассмотрим систему тел "стрела-мишень". Взаимодействие стрелы и мишени является неупругим ударом, так как после взаимодействия они движутся как единое целое. Для этой системы применим закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось. Внешние силы (сила тяжести и сила натяжения подвеса) действуют по вертикали и не влияют на изменение импульса системы в горизонтальном направлении.

Импульс системы до взаимодействия равен сумме импульсов стрелы и мишени:
$p_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2$

Поскольку мишень до попадания стрелы покоилась, её начальная скорость $v_2 = 0$. Тогда начальный импульс системы равен импульсу стрелы:
$p_{до} = m_1 v_1$

После того как стрела вонзилась в мишень, они стали двигаться вместе с некоторой скоростью $u$. Их общая масса стала равна $m_1 + m_2$. Импульс системы после взаимодействия:
$p_{после} = (m_1 + m_2)u$

Согласно закону сохранения импульса, импульс системы до взаимодействия равен импульсу системы после взаимодействия:
$p_{до} = p_{после}$
$m_1 v_1 = (m_1 + m_2)u$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $u$:
$u = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:
$u = \frac{0.018 \text{ кг} \cdot 20 \text{ м/с}}{0.018 \text{ кг} + 0.162 \text{ кг}} = \frac{0.36 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0.180 \text{ кг}} = 2 \text{ м/с}$

Ответ: скорость мишени после попадания стрелы составит 2 м/с.

19.43 [Д. 87] Почему у основания детской ледяной горки со временем образуется ряд углублений, из-за чего санки подпрыгивают?

19.43 [д, 87]

Образование ряда углублений, или так называемой "стиральной доски", у основания ледяной горки — это результат сложного взаимодействия санок с ледяной поверхностью, который включает в себя трение, давление, плавление, замерзание и колебательные процессы.

Рассмотрим процесс поэтапно:

1. Плавление под давлением и от трения. Когда санки едут по горке, их полозья оказывают давление на лед. Согласно диаграмме состояния воды, повышение давления понижает температуру плавления льда. Кроме того, сила трения между полозьями и льдом производит работу, которая превращается в тепло. Оба этих фактора приводят к тому, что под полозьями образуется тонкий слой воды, который действует как смазка и уменьшает трение.
2. Возникновение начальной неровности. Поверхность горки никогда не бывает идеально гладкой. Достаточно одной небольшой случайной неровности (бугорка или ямки), чтобы запустить процесс. Также, в месте перехода от наклонной части горки к горизонтальной, вертикальная составляющая скорости санок резко гасится, что приводит к сильному удару и увеличению нормального давления на лед. Это может создать первое, самое заметное углубление.
3. Колебательный процесс и обратная связь. Наехав на неровность, санки слегка подпрыгивают, на мгновение теряя контакт со льдом или ослабляя давление на него. Затем они приземляются обратно на лед на некотором расстоянии от первого бугорка. Место приземления испытывает удар — резкое и сильное увеличение давления.
4. Формирование углублений. В точке приземления из-за сильного удара и возросшего давления лед плавится интенсивнее. Образовавшаяся вода частично выплескивается, а частично уплотняет снежно-ледовую массу под собой. Таким образом, на месте приземления образуется небольшое углубление. Когда вода замерзает, это углубление фиксируется.
5. Формирование периодической структуры. Следующие санки, проезжая по этому же месту, снова подпрыгнут на первом бугорке и с большой вероятностью приземлятся в то же самое углубление, еще больше его углубляя и уплотняя. При выезде из этой ямки они создают следующую волну, и процесс повторяется. Скорость санок у основания горки примерно одинакова для большинства детей, и система "санки + ребенок" имеет определенную собственную частоту вертикальных колебаний. В результате возникает явление, похожее на резонанс или формирование стоячей волны. Углубления (впадины) и бугорки (гребни) начинают формироваться на определенном, почти одинаковом расстоянии друг от друга. Расстояние $L$ между соседними углублениями зависит от скорости санок $v$ и частоты их подпрыгиваний $f$: $L \approx v/f$.

Этот эффект, известный как "гофрирование" или эффект "стиральной доски", наблюдается также на грунтовых и гравийных дорогах, где его причиной являются колебания подвески автомобилей. В случае с горкой роль подвески играет упругость самих санок и тела ребенка.

Ответ: Углубления у основания ледяной горки образуются из-за циклического процесса: при наезде на неровность санки подпрыгивают и затем с силой приземляются на лед. В месте приземления из-за высокого давления и удара лед интенсивно плавится и уплотняется, формируя ямку. Поскольку скорость санок в этом месте примерно одинакова, они подпрыгивают и приземляются через равные промежутки, что приводит к образованию целого ряда периодически расположенных углублений, вызывающих характерную тряску.

19.44 [д. 88] Два бильярдных шара одинаковой массы, один из которых движется со скоростью $v_1$, а другой покоится, испытывают упругий центральный удар. После столкновения первый шар останавливается. С какой скоростью будет двигаться второй шар?

Дано:

Масса первого шара: $m_1$

Масса второго шара: $m_2 = m_1 = m$

Начальная скорость первого шара: $v_1$

Начальная скорость второго шара: $v_2 = 0$

Конечная скорость первого шара: $v'_1 = 0$

Удар: упругий, центральный

Найти:

Конечная скорость второго шара: $v'_2$

Решение:

Система, состоящая из двух бильярдных шаров, является замкнутой, так как внешними силами (сила тяжести и сила реакции опоры) можно пренебречь по сравнению с силами удара. Поскольку по условию задачи удар является упругим, для данной системы выполняются одновременно два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось, вдоль которой движется первый шар. Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу системы после столкновения:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2$

Подставим в это уравнение данные из условия задачи: массы шаров одинаковы ($m_1 = m_2 = m$), начальная скорость второго шара равна нулю ($v_2 = 0$), конечная скорость первого шара равна нулю ($v'_1 = 0$).

$m v_1 + m \cdot 0 = m \cdot 0 + m v'_2$

Упростим выражение:

$m v_1 = m v'_2$

Так как масса шара $m$ не равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $m$:

$v_1 = v'_2$

Этот результат можно проверить с помощью закона сохранения кинетической энергии, который справедлив для абсолютно упругого удара. Суммарная кинетическая энергия системы до удара равна суммарной кинетической энергии после удара:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 (v'_1)^2}{2} + \frac{m_2 (v'_2)^2}{2}$

Подставим известные значения:

$\frac{m v_1^2}{2} + \frac{m \cdot 0^2}{2} = \frac{m \cdot 0^2}{2} + \frac{m (v'_2)^2}{2}$

$\frac{m v_1^2}{2} = \frac{m (v'_2)^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{m}$:

$v_1^2 = (v'_2)^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $v'_2 = v_1$ (мы выбираем положительный корень, так как второй шар начнет двигаться в том же направлении, что и первый). Оба закона приводят к одному и тому же выводу.

Таким образом, при упругом центральном столкновении двух тел одинаковой массы, одно из которых покоилось, тела "обмениваются" скоростями. Движущееся тело останавливается, а покоящееся начинает двигаться с начальной скоростью первого тела.

Ответ: второй шар будет двигаться со скоростью $v_1$.

19.45 [Д. 89] Ознакомьтесь с условием предыдущей задачи. Пусть теперь не один, а несколько одинаковых соприкасающихся шаров выстроились в шеренгу на линии движения первого шара. Какие или какой из шаров придёт в движение?

Данное явление, которое можно наблюдать в устройстве "колыбель Ньютона", объясняется законами сохранения импульса и сохранения кинетической энергии для системы тел при упругом столкновении. Условие "предыдущей задачи" (удар двух одинаковых шаров) подразумевает, что при центральном упругом ударе движущегося шара о покоящийся шар такой же массы, движущийся шар останавливается, а покоившийся начинает двигаться с начальной скоростью первого шара.

Дано:

Система из $N+1$ одинаковых шаров.

Масса каждого шара: $m$.

Начальная скорость первого (налетающего) шара: $v$.

Начальная скорость остальных $N$ соприкасающихся шаров: $0$.

Столкновение считается абсолютно упругим и центральным.

Найти:

Какой из шаров (или какие шары) придет в движение после столкновения.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из всех шаров. Поскольку столкновение упругое, для системы должны одновременно выполняться закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Начальный импульс системы $P_{до}$ создается только первым шаром:

$P_{до} = m v$

Начальная кинетическая энергия системы $K_{до}$ также определяется только первым шаром:

$K_{до} = \frac{1}{2} m v^2$

При столкновении первого шара со вторым, импульс и энергия передаются второму шару. Так как второй шар плотно прижат к третьему, он, в свою очередь, передает этот импульс и энергию дальше по цепочке. Этот процесс происходит последовательно для всех шаров в шеренге. Промежуточные шары (со второго по предпоследний) выступают в роли среды, передающей взаимодействие, и практически не смещаются со своих положений.

В результате весь начальный импульс и вся начальная кинетическая энергия передаются последнему шару в шеренге, который свободен и ни с чем не соприкасается с другой стороны.

Проверим эту гипотезу. Предположим, что после серии столкновений все шары, кроме последнего, останавливаются, а последний шар (номер $N+1$) приобретает некоторую скорость $u$.

Тогда конечный импульс системы $P_{после}$ будет:

$P_{после} = m \cdot 0 + \dots + m \cdot 0 + m u = m u$

Конечная кинетическая энергия системы $K_{после}$ будет:

$K_{после} = \frac{1}{2} m (0)^2 + \dots + \frac{1}{2} m (0)^2 + \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m u^2$

Применяем законы сохранения:

1. Закон сохранения импульса: $P_{до} = P_{после}$
$m v = m u \implies v = u$

2. Закон сохранения энергии: $K_{до} = K_{после}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m u^2 \implies v^2 = u^2$

Оба равенства выполняются, если $u = v$. Это означает, что наша гипотеза верна: первый шар и все промежуточные шары останавливаются, а последний шар отлетает с начальной скоростью первого шара.

Можно показать, что любой другой вариант исхода (например, движение двух последних шаров как единого целого) не будет удовлетворять обоим законам сохранения одновременно для упругого удара.

Ответ: В движение придет только последний шар в шеренге. Он будет двигаться с той же скоростью, которую имел налетающий шар до столкновения. Все остальные шары, включая налетавший, после взаимодействия останутся в покое.

19.46 [д. 90] По данным условия задачи 19.17 определите: какой импульс сообщает мяч вертикальной стенке при абсолютно упругом ударе; среднюю силу, с которой стена действует на мяч, если тела находились в контакте в течение 0,01 с.

Для решения задачи 19.46 воспользуемся данными из условия задачи 19.17: мяч массой 100 г, летящий со скоростью 10 м/с, ударяется о гладкую стенку под углом 30° к ней.

Дано:

$m = 100 \text{ г}$

$v = 10 \text{ м/с}$

$\alpha = 30^\circ$ (угол с плоскостью стенки)

$\Delta t = 0.01 \text{ с}$

В системе СИ:

$m = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

1. $J_{стенке} - ?$

2. $F_{ср} - ?$

Решение:

Введем систему координат: ось $OX$ направим перпендикулярно стенке от нее, а ось $OY$ — вдоль стенки. Угол падения $\alpha$ дан относительно плоскости стенки. Для расчетов удобнее использовать угол $\theta$ между вектором скорости и нормалью (осью $OX$) к стенке. Этот угол равен:

$\theta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Поскольку удар абсолютно упругий, модуль скорости мяча не изменяется, а угол отражения равен углу падения ($\theta$). Компонента скорости, параллельная стенке ($v_y$), остается неизменной, а компонента, перпендикулярная стенке ($v_x$), изменяет свой знак на противоположный.

Скорость мяча до удара в проекциях на оси:

$v_{1x} = -v \cos\theta$

$v_{1y} = v \sin\theta$

Скорость мяча после удара:

$v_{2x} = v \cos\theta$

$v_{2y} = v \sin\theta$

какой импульс сообщает мяч вертикальной стенке при абсолютно упругом ударе

Импульс, полученный мячом от стенки, равен изменению импульса мяча:

$\vec{J}_{на\_мяч} = \Delta\vec{p}_{мяча} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$

Найдем изменение импульса по осям:

$\Delta p_x = m(v_{2x} - v_{1x}) = m(v \cos\theta - (-v \cos\theta)) = 2mv \cos\theta$

$\Delta p_y = m(v_{2y} - v_{1y}) = m(v \sin\theta - v \sin\theta) = 0$

Таким образом, изменение импульса мяча направлено по оси $OX$ (перпендикулярно стенке), и его модуль равен:

$J_{на\_мяч} = \Delta p_{мяча} = 2mv \cos\theta$

Согласно третьему закону Ньютона, импульс, который мяч сообщает стенке, равен по модулю и противоположен по направлению импульсу, который стенка сообщает мячу:

$J_{стенке} = J_{на\_мяч} = 2mv \cos\theta$

Вычислим его значение:

$J_{стенке} = 2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 0.1 \cdot 10 \cdot 0.5 = 1 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 1 \text{ Н} \cdot \text{с}$

Ответ: $1 \text{ Н} \cdot \text{с}$

среднюю силу, с которой стена действует на мяч, если тела находились в контакте в течение 0,01 с

Средняя сила, действующая на мяч со стороны стены, связана с импульсом, полученным мячом, соотношением:

$J_{на\_мяч} = F_{ср} \cdot \Delta t$

Отсюда можем выразить среднюю силу:

$F_{ср} = \frac{J_{на\_мяч}}{\Delta t}$

Мы уже нашли, что $J_{на\_мяч} = 1 \text{ Н} \cdot \text{с}$. Подставим значения:

$F_{ср} = \frac{1 \text{ Н} \cdot \text{с}}{0.01 \text{ с}} = 100 \text{ Н}$

Ответ: $100 \text{ Н}$

19.47 [Д. 91] В чём принципиальное различие способов перемещения в воде человека и осьминога?

Решение

Принципиальное различие в способах перемещения человека и осьминога в воде заключается в физических принципах, лежащих в основе их движения.

Человек для плавания использует взаимодействие с внешней средой. Он отталкивается от воды руками и ногами. Согласно третьему закону Ньютона, сила действия (гребок, отталкивающий воду назад) равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия (сила, с которой вода толкает пловца вперед). Масса самого человека при этом не изменяется. Движение происходит за счет опоры на окружающую воду.

Осьминог, в свою очередь, применяет реактивное движение. Он засасывает воду в мантийную полость, а затем резко выбрасывает ее через сифон. Этот процесс подчиняется закону сохранения импульса. Система, состоящая из осьминога и воды внутри него, до начала выброса покоится (суммарный импульс равен нулю). После выброса струи воды массой m со скоростью $\vec{v}$, осьминог массой M приобретает скорость $\vec{V}$ в противоположном направлении, так чтобы суммарный импульс системы остался равным нулю: $M\vec{V} + m\vec{v} = 0$. Отсюда скорость осьминога равна $\vec{V} = -\frac{m}{M}\vec{v}$. Таким образом, осьминог движется за счет отбрасывания части массы системы, а не за счет взаимодействия с внешней опорой.

Ответ: Принципиальное различие заключается в том, что человек для движения отталкивается от окружающей воды, используя ее как внешнюю опору (основа — третий закон Ньютона), в то время как осьминог использует реактивный принцип движения, отбрасывая часть массы (набранную воду) от себя и двигаясь в противоположную сторону согласно закону сохранения импульса.

19.48 [Д. 92] Если перестать удерживать лёгкий воздушный шарик, наполненный горячим воздухом, то он взлетит вверх. Аналогично поведёт себя в начальный момент надутый, не завязанный верёвочкой резиновый шарик, если вы, держа его отверстием вниз, разожмёте пальцы. Какие причины вызывают движение шарика вверх в первом и во втором случаях?

Решение

Движение шариков в обоих описанных случаях происходит по разным физическим причинам. Рассмотрим каждый случай отдельно.

В первом случае

Движение вверх шарика, наполненного горячим воздухом, объясняется действием выталкивающей силы, известной как сила Архимеда. Согласно закону Архимеда, на любое тело, погруженное в жидкость или газ (в данном случае, в воздух), действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх и равная по модулю весу вытесненного телом объема жидкости или газа.

Плотность горячего воздуха ($ \rho_{гор} $) внутри шарика меньше плотности окружающего его более холодного воздуха ($ \rho_{хол} $). Выталкивающая сила $ F_{А} $, действующая на шарик, определяется плотностью окружающего воздуха и объемом шарика $ V $: $ F_{А} = \rho_{хол} \cdot g \cdot V $, где $ g $ — ускорение свободного падения.

На шарик действует сила тяжести $ F_{т} $, которая равна сумме веса оболочки шарика ($ m_{об} $) и веса горячего воздуха внутри него: $ F_{т} = (m_{гор} + m_{об}) \cdot g = (\rho_{гор} \cdot V + m_{об}) \cdot g $.

Шарик будет подниматься вверх, если выталкивающая сила будет превосходить силу тяжести: $ F_{А} > F_{т} $. Так как шарик назван "лёгким", а плотность горячего воздуха значительно меньше плотности холодного ($ \rho_{гор} < \rho_{хол} $), это условие выполняется. Иными словами, средняя плотность системы "шарик + горячий воздух" меньше плотности окружающего воздуха.

Ответ: Причиной движения вверх шарика с горячим воздухом является архимедова (выталкивающая) сила, которая превышает суммарную силу тяжести, действующую на шарик и находящийся в нем воздух.

Во втором случае

Движение этого шарика основано на принципе реактивного движения, которое является прямым следствием третьего закона Ньютона.

Воздух внутри надутого шарика находится под давлением, превышающим атмосферное. Когда мы отпускаем шарик, этот сжатый воздух начинает с высокой скоростью вырываться наружу через отверстие, направленное вниз.

Согласно третьему закону Ньютона, сила действия равна силе противодействия. Шарик с силой выталкивает из себя струю воздуха (действие, направленное вниз). В свою очередь, вылетающая струя воздуха с такой же по величине, но противоположной по направлению силой действует на шарик (противодействие, направленное вверх).

Эта сила, действующая на шарик со стороны вытекающего воздуха, называется реактивной силой. Именно она и заставляет шарик двигаться вверх. Этот же принцип лежит в основе движения ракет.

Ответ: Причиной движения вверх надутого, но не завязанного шарика является реактивная сила, возникающая из-за того, что шарик отбрасывает от себя массу воздуха в противоположном направлении, в соответствии с третьим законом Ньютона.

19.49* [Д. 93] Чтобы сообщить ракете массой $M$ первую космическую скорость $v$ за время $\Delta t$, из сопла ракеты с постоянной скоростью $u$ относительно ракеты должна истекать в единицу времени масса газа $\mu$ (кг/с). (Газ образуется при взаимодействии горючего с окислителем, что в совокупности называется топливом.) Желая определить необходимую для полёта массу топлива $m = \mu\Delta t$, мальчик вспомнил закон сохранения импульса, написал уравнение $M\Delta v = (\mu\Delta t)u$ и получил, что $m = M\Delta v / u$. На самом деле топлива понадобится гораздо больше. Чего не учёл мальчик?

Дано:

Масса конечная ракеты (без топлива) - $M$
Конечная скорость ракеты - $v$
Время работы двигателя - $\Delta t$
Скорость истечения газов относительно ракеты - $u$
Массовый расход топлива - $\mu$ (кг/с)
Масса топлива - $m = \mu \Delta t$
Уравнение, записанное мальчиком: $M \Delta v = (\mu \Delta t) u$
Результат, полученный мальчиком: $m = \frac{Mv}{u}$

Найти:

Что не учёл мальчик в своих рассуждениях?

Решение:

Мальчик допустил ошибку, применив закон изменения импульса в форме, справедливой только для тел с постоянной массой. Рассмотрим его уравнение: $M \Delta v = (\mu \Delta t) u$.

Левая часть, $M \Delta v$, представляет собой изменение импульса тела с постоянной массой $M$. Правая часть, $(\mu \Delta t) u = m u$, представляет собой суммарный импульс, который отдает все сгоревшее топливо массой $m$, если бы оно было выброшено с относительной скоростью $u$.

Основная ошибка заключается в том, что масса ракеты не является постоянной. В процессе полета топливо сгорает и выбрасывается, поэтому общая масса ракеты непрерывно уменьшается. Начальная масса системы равна $M_0 = M + m$ (масса конструкции плюс масса всего топлива), а конечная масса равна $M$.

Для правильного описания движения ракеты необходимо применять закон сохранения импульса к системе с переменной массой. Рассмотрим систему "ракета + выбрасываемый элемент топлива $dm$" за бесконечно малый промежуток времени $dt$. Если в момент времени $t$ ракета имеет массу $M(t)$ и скорость $v(t)$, то ее импульс равен $p(t) = M(t)v(t)$. За время $dt$ из ракеты выбрасывается масса топлива $dm = -dM$ со скоростью $u$ относительно ракеты. В инерциальной системе отсчета скорость газа будет $v(t) - u$. Закон сохранения импульса для системы "ракета-газ" в отсутствие внешних сил ($d\vec{p}_{sys}=0$) приводит к дифференциальному уравнению движения ракеты (уравнению Мещерского):

$M(t) d v = -u d M$

Проинтегрировав это уравнение от начального состояния (скорость 0, масса $M_0 = M+m$) до конечного (скорость $v$, масса $M_f = M$), получим знаменитую формулу Циолковского:

$\int_{0}^{v} dv = -u \int_{M+m}^{M} \frac{dM}{M} \implies v = -u [\ln M]_{M+m}^{M} = -u (\ln M - \ln(M+m)) = u \ln(\frac{M+m}{M})$

Из формулы Циолковского выразим необходимую массу топлива $m$:

$\frac{v}{u} = \ln(1 + \frac{m}{M})$

$e^{v/u} = 1 + \frac{m}{M}$

$m = M(e^{v/u} - 1)$

Теперь сравним точную формулу с формулой, полученной мальчиком: $m_{мальчика} = M\frac{v}{u}$. Для этого разложим экспоненту в правильной формуле в ряд Тейлора ($e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$):

$m_{точная} = M( (1 + \frac{v}{u} + \frac{1}{2}(\frac{v}{u})^2 + \dots) - 1 ) = M(\frac{v}{u} + \frac{1}{2}(\frac{v}{u})^2 + \dots) = M\frac{v}{u} + \frac{M}{2}(\frac{v}{u})^2 + \dots$

Как видно, формула мальчика является лишь первым приближением, которое справедливо только при очень малом отношении $v/u$. В реальности для достижения первой космической скорости это отношение не мало, и последующие члены ряда вносят значительный вклад, поэтому $m_{точная} > m_{мальчика}$. Мальчик не учел, что на начальном этапе полета двигатель должен разгонять не только полезную нагрузку и конструкцию ракеты, но и то топливо, которое еще находится в баках и будет сожжено позже.

Ответ: Мальчик не учёл, что масса ракеты уменьшается по мере сгорания топлива. Он использовал формулу изменения импульса для тела с постоянной массой, что является неверным для описания движения ракеты. Правильный учёт переменной массы приводит к формуле Циолковского, которая показывает, что реальный расход топлива гораздо выше, чем в упрощенной модели мальчика.