Номер 19.46, страница 69 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.46, страница 69.

19.46 [д. 90] По данным условия задачи 19.17 определите: какой импульс сообщает мяч вертикальной стенке при абсолютно упругом ударе; среднюю силу, с которой стена действует на мяч, если тела находились в контакте в течение 0,01 с.

Для решения задачи 19.46 воспользуемся данными из условия задачи 19.17: мяч массой 100 г, летящий со скоростью 10 м/с, ударяется о гладкую стенку под углом 30° к ней.

Дано:

$m = 100 \text{ г}$

$v = 10 \text{ м/с}$

$\alpha = 30^\circ$ (угол с плоскостью стенки)

$\Delta t = 0.01 \text{ с}$

В системе СИ:

$m = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

1. $J_{стенке} - ?$

2. $F_{ср} - ?$

Решение:

Введем систему координат: ось $OX$ направим перпендикулярно стенке от нее, а ось $OY$ — вдоль стенки. Угол падения $\alpha$ дан относительно плоскости стенки. Для расчетов удобнее использовать угол $\theta$ между вектором скорости и нормалью (осью $OX$) к стенке. Этот угол равен:

$\theta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Поскольку удар абсолютно упругий, модуль скорости мяча не изменяется, а угол отражения равен углу падения ($\theta$). Компонента скорости, параллельная стенке ($v_y$), остается неизменной, а компонента, перпендикулярная стенке ($v_x$), изменяет свой знак на противоположный.

Скорость мяча до удара в проекциях на оси:

$v_{1x} = -v \cos\theta$

$v_{1y} = v \sin\theta$

Скорость мяча после удара:

$v_{2x} = v \cos\theta$

$v_{2y} = v \sin\theta$

какой импульс сообщает мяч вертикальной стенке при абсолютно упругом ударе

Импульс, полученный мячом от стенки, равен изменению импульса мяча:

$\vec{J}_{на\_мяч} = \Delta\vec{p}_{мяча} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$

Найдем изменение импульса по осям:

$\Delta p_x = m(v_{2x} - v_{1x}) = m(v \cos\theta - (-v \cos\theta)) = 2mv \cos\theta$

$\Delta p_y = m(v_{2y} - v_{1y}) = m(v \sin\theta - v \sin\theta) = 0$

Таким образом, изменение импульса мяча направлено по оси $OX$ (перпендикулярно стенке), и его модуль равен:

$J_{на\_мяч} = \Delta p_{мяча} = 2mv \cos\theta$

Согласно третьему закону Ньютона, импульс, который мяч сообщает стенке, равен по модулю и противоположен по направлению импульсу, который стенка сообщает мячу:

$J_{стенке} = J_{на\_мяч} = 2mv \cos\theta$

Вычислим его значение:

$J_{стенке} = 2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 0.1 \cdot 10 \cdot 0.5 = 1 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 1 \text{ Н} \cdot \text{с}$

Ответ: $1 \text{ Н} \cdot \text{с}$

среднюю силу, с которой стена действует на мяч, если тела находились в контакте в течение 0,01 с

Средняя сила, действующая на мяч со стороны стены, связана с импульсом, полученным мячом, соотношением:

$J_{на\_мяч} = F_{ср} \cdot \Delta t$

Отсюда можем выразить среднюю силу:

$F_{ср} = \frac{J_{на\_мяч}}{\Delta t}$

Мы уже нашли, что $J_{на\_мяч} = 1 \text{ Н} \cdot \text{с}$. Подставим значения:

$F_{ср} = \frac{1 \text{ Н} \cdot \text{с}}{0.01 \text{ с}} = 100 \text{ Н}$

Ответ: $100 \text{ Н}$