Номер 19.45, страница 69 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.45, страница 69.

19.45 [Д. 89] Ознакомьтесь с условием предыдущей задачи. Пусть теперь не один, а несколько одинаковых соприкасающихся шаров выстроились в шеренгу на линии движения первого шара. Какие или какой из шаров придёт в движение?

Данное явление, которое можно наблюдать в устройстве "колыбель Ньютона", объясняется законами сохранения импульса и сохранения кинетической энергии для системы тел при упругом столкновении. Условие "предыдущей задачи" (удар двух одинаковых шаров) подразумевает, что при центральном упругом ударе движущегося шара о покоящийся шар такой же массы, движущийся шар останавливается, а покоившийся начинает двигаться с начальной скоростью первого шара.

Дано:

Система из $N+1$ одинаковых шаров.

Масса каждого шара: $m$.

Начальная скорость первого (налетающего) шара: $v$.

Начальная скорость остальных $N$ соприкасающихся шаров: $0$.

Столкновение считается абсолютно упругим и центральным.

Найти:

Какой из шаров (или какие шары) придет в движение после столкновения.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из всех шаров. Поскольку столкновение упругое, для системы должны одновременно выполняться закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Начальный импульс системы $P_{до}$ создается только первым шаром:

$P_{до} = m v$

Начальная кинетическая энергия системы $K_{до}$ также определяется только первым шаром:

$K_{до} = \frac{1}{2} m v^2$

При столкновении первого шара со вторым, импульс и энергия передаются второму шару. Так как второй шар плотно прижат к третьему, он, в свою очередь, передает этот импульс и энергию дальше по цепочке. Этот процесс происходит последовательно для всех шаров в шеренге. Промежуточные шары (со второго по предпоследний) выступают в роли среды, передающей взаимодействие, и практически не смещаются со своих положений.

В результате весь начальный импульс и вся начальная кинетическая энергия передаются последнему шару в шеренге, который свободен и ни с чем не соприкасается с другой стороны.

Проверим эту гипотезу. Предположим, что после серии столкновений все шары, кроме последнего, останавливаются, а последний шар (номер $N+1$) приобретает некоторую скорость $u$.

Тогда конечный импульс системы $P_{после}$ будет:

$P_{после} = m \cdot 0 + \dots + m \cdot 0 + m u = m u$

Конечная кинетическая энергия системы $K_{после}$ будет:

$K_{после} = \frac{1}{2} m (0)^2 + \dots + \frac{1}{2} m (0)^2 + \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m u^2$

Применяем законы сохранения:

1. Закон сохранения импульса: $P_{до} = P_{после}$
$m v = m u \implies v = u$

2. Закон сохранения энергии: $K_{до} = K_{после}$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m u^2 \implies v^2 = u^2$

Оба равенства выполняются, если $u = v$. Это означает, что наша гипотеза верна: первый шар и все промежуточные шары останавливаются, а последний шар отлетает с начальной скоростью первого шара.

Можно показать, что любой другой вариант исхода (например, движение двух последних шаров как единого целого) не будет удовлетворять обоим законам сохранения одновременно для упругого удара.

Ответ: В движение придет только последний шар в шеренге. Он будет двигаться с той же скоростью, которую имел налетающий шар до столкновения. Все остальные шары, включая налетавший, после взаимодействия останутся в покое.