Номер 19.44, страница 69 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.44, страница 69.

19.44 [д. 88] Два бильярдных шара одинаковой массы, один из которых движется со скоростью $v_1$, а другой покоится, испытывают упругий центральный удар. После столкновения первый шар останавливается. С какой скоростью будет двигаться второй шар?

Дано:

Масса первого шара: $m_1$

Масса второго шара: $m_2 = m_1 = m$

Начальная скорость первого шара: $v_1$

Начальная скорость второго шара: $v_2 = 0$

Конечная скорость первого шара: $v'_1 = 0$

Удар: упругий, центральный

Найти:

Конечная скорость второго шара: $v'_2$

Решение:

Система, состоящая из двух бильярдных шаров, является замкнутой, так как внешними силами (сила тяжести и сила реакции опоры) можно пренебречь по сравнению с силами удара. Поскольку по условию задачи удар является упругим, для данной системы выполняются одновременно два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось, вдоль которой движется первый шар. Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу системы после столкновения:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2$

Подставим в это уравнение данные из условия задачи: массы шаров одинаковы ($m_1 = m_2 = m$), начальная скорость второго шара равна нулю ($v_2 = 0$), конечная скорость первого шара равна нулю ($v'_1 = 0$).

$m v_1 + m \cdot 0 = m \cdot 0 + m v'_2$

Упростим выражение:

$m v_1 = m v'_2$

Так как масса шара $m$ не равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $m$:

$v_1 = v'_2$

Этот результат можно проверить с помощью закона сохранения кинетической энергии, который справедлив для абсолютно упругого удара. Суммарная кинетическая энергия системы до удара равна суммарной кинетической энергии после удара:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 (v'_1)^2}{2} + \frac{m_2 (v'_2)^2}{2}$

Подставим известные значения:

$\frac{m v_1^2}{2} + \frac{m \cdot 0^2}{2} = \frac{m \cdot 0^2}{2} + \frac{m (v'_2)^2}{2}$

$\frac{m v_1^2}{2} = \frac{m (v'_2)^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{m}$:

$v_1^2 = (v'_2)^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $v'_2 = v_1$ (мы выбираем положительный корень, так как второй шар начнет двигаться в том же направлении, что и первый). Оба закона приводят к одному и тому же выводу.

Таким образом, при упругом центральном столкновении двух тел одинаковой массы, одно из которых покоилось, тела "обмениваются" скоростями. Движущееся тело останавливается, а покоящееся начинает двигаться с начальной скоростью первого тела.

Ответ: второй шар будет двигаться со скоростью $v_1$.