Номер 19.49, страница 69 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.49, страница 69.

19.49* [Д. 93] Чтобы сообщить ракете массой $M$ первую космическую скорость $v$ за время $\Delta t$, из сопла ракеты с постоянной скоростью $u$ относительно ракеты должна истекать в единицу времени масса газа $\mu$ (кг/с). (Газ образуется при взаимодействии горючего с окислителем, что в совокупности называется топливом.) Желая определить необходимую для полёта массу топлива $m = \mu\Delta t$, мальчик вспомнил закон сохранения импульса, написал уравнение $M\Delta v = (\mu\Delta t)u$ и получил, что $m = M\Delta v / u$. На самом деле топлива понадобится гораздо больше. Чего не учёл мальчик?

Дано:

Масса конечная ракеты (без топлива) - $M$
Конечная скорость ракеты - $v$
Время работы двигателя - $\Delta t$
Скорость истечения газов относительно ракеты - $u$
Массовый расход топлива - $\mu$ (кг/с)
Масса топлива - $m = \mu \Delta t$
Уравнение, записанное мальчиком: $M \Delta v = (\mu \Delta t) u$
Результат, полученный мальчиком: $m = \frac{Mv}{u}$

Найти:

Что не учёл мальчик в своих рассуждениях?

Решение:

Мальчик допустил ошибку, применив закон изменения импульса в форме, справедливой только для тел с постоянной массой. Рассмотрим его уравнение: $M \Delta v = (\mu \Delta t) u$.

Левая часть, $M \Delta v$, представляет собой изменение импульса тела с постоянной массой $M$. Правая часть, $(\mu \Delta t) u = m u$, представляет собой суммарный импульс, который отдает все сгоревшее топливо массой $m$, если бы оно было выброшено с относительной скоростью $u$.

Основная ошибка заключается в том, что масса ракеты не является постоянной. В процессе полета топливо сгорает и выбрасывается, поэтому общая масса ракеты непрерывно уменьшается. Начальная масса системы равна $M_0 = M + m$ (масса конструкции плюс масса всего топлива), а конечная масса равна $M$.

Для правильного описания движения ракеты необходимо применять закон сохранения импульса к системе с переменной массой. Рассмотрим систему "ракета + выбрасываемый элемент топлива $dm$" за бесконечно малый промежуток времени $dt$. Если в момент времени $t$ ракета имеет массу $M(t)$ и скорость $v(t)$, то ее импульс равен $p(t) = M(t)v(t)$. За время $dt$ из ракеты выбрасывается масса топлива $dm = -dM$ со скоростью $u$ относительно ракеты. В инерциальной системе отсчета скорость газа будет $v(t) - u$. Закон сохранения импульса для системы "ракета-газ" в отсутствие внешних сил ($d\vec{p}_{sys}=0$) приводит к дифференциальному уравнению движения ракеты (уравнению Мещерского):

$M(t) d v = -u d M$

Проинтегрировав это уравнение от начального состояния (скорость 0, масса $M_0 = M+m$) до конечного (скорость $v$, масса $M_f = M$), получим знаменитую формулу Циолковского:

$\int_{0}^{v} dv = -u \int_{M+m}^{M} \frac{dM}{M} \implies v = -u [\ln M]_{M+m}^{M} = -u (\ln M - \ln(M+m)) = u \ln(\frac{M+m}{M})$

Из формулы Циолковского выразим необходимую массу топлива $m$:

$\frac{v}{u} = \ln(1 + \frac{m}{M})$

$e^{v/u} = 1 + \frac{m}{M}$

$m = M(e^{v/u} - 1)$

Теперь сравним точную формулу с формулой, полученной мальчиком: $m_{мальчика} = M\frac{v}{u}$. Для этого разложим экспоненту в правильной формуле в ряд Тейлора ($e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$):

$m_{точная} = M( (1 + \frac{v}{u} + \frac{1}{2}(\frac{v}{u})^2 + \dots) - 1 ) = M(\frac{v}{u} + \frac{1}{2}(\frac{v}{u})^2 + \dots) = M\frac{v}{u} + \frac{M}{2}(\frac{v}{u})^2 + \dots$

Как видно, формула мальчика является лишь первым приближением, которое справедливо только при очень малом отношении $v/u$. В реальности для достижения первой космической скорости это отношение не мало, и последующие члены ряда вносят значительный вклад, поэтому $m_{точная} > m_{мальчика}$. Мальчик не учел, что на начальном этапе полета двигатель должен разгонять не только полезную нагрузку и конструкцию ракеты, но и то топливо, которое еще находится в баках и будет сожжено позже.

Ответ: Мальчик не учёл, что масса ракеты уменьшается по мере сгорания топлива. Он использовал формулу изменения импульса для тела с постоянной массой, что является неверным для описания движения ракеты. Правильный учёт переменной массы приводит к формуле Циолковского, которая показывает, что реальный расход топлива гораздо выше, чем в упрощенной модели мальчика.