gdz.top
Страница 66 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова
Авторы: Лукашик В. И., Иванова Е. В.
Тип: Сборник задач
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Цвет обложки: голубой
ISBN: 978-5-09-090938-9
Популярные ГДЗ в 7 классе
Cтраница 66
Страница 65
№19.14 (с. 66)
Условие. №19.14 (с. 66)
19.14* [Д. 62*] Ознакомьтесь с условием предыдущей задачи и ответьте на поставленный вопрос; если оси координат повёрнуты: на угол $\pi/4$ против часовой стрелки; на этот же угол по часовой стрелке.
Решение 3. №19.14 (с. 66)
Решение 4. №19.14 (с. 66)
Решение 7. №19.14 (с. 66)
Поскольку задача 19.14 ссылается на условие предыдущей задачи (19.13), для решения необходимо это условие. В задаче 19.13 из сборника Демидовича требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка: $5x^2 + 4xy + 8y^2 - 32x - 56y + 80 = 0$.
Задача 19.14 ставит вопрос о том, как изменится это уравнение при заданных поворотах системы координат.
Дано:
Уравнение кривой второго порядка: $5x^2 + 4xy + 8y^2 - 32x - 56y + 80 = 0$.
Найти:
Уравнение данной кривой в новой системе координат $x'Oy'$, полученной поворотом исходной системы:
1. на угол $\pi/4$ против часовой стрелки;
2. на угол $\pi/4$ по часовой стрелке.
Решение:
Для нахождения уравнения кривой в новой системе координат, повернутой относительно исходной на угол $\alpha$, используются формулы преобразования координат:
$x = x' \cos\alpha - y' \sin\alpha$
$y = x' \sin\alpha + y' \cos\alpha$
на угол π/4 против часовой стрелки
В этом случае угол поворота $\alpha = \pi/4$. Значения синуса и косинуса для этого угла равны: $\cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Формулы преобразования координат принимают вид:
$x = x' \frac{\sqrt{2}}{2} - y' \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y')$
$y = x' \frac{\sqrt{2}}{2} + y' \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y')$
Подставим эти выражения в исходное уравнение. Для удобства вычислений временно опустим штрихи у новых координат $(x', y')$.
$5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x - y)\right)^2 + 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x - y)\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right) + 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right)^2 - 32\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x - y)\right) - 56\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right) + 80 = 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$5 \cdot \frac{1}{2}(x^2 - 2xy + y^2) + 4 \cdot \frac{1}{2}(x^2 - y^2) + 8 \cdot \frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2) - 16\sqrt{2}(x - y) - 28\sqrt{2}(x + y) + 80 = 0$
$\frac{5}{2}x^2 - 5xy + \frac{5}{2}y^2 + 2x^2 - 2y^2 + 4x^2 + 8xy + 4y^2 - 16\sqrt{2}x + 16\sqrt{2}y - 28\sqrt{2}x - 28\sqrt{2}y + 80 = 0$
Приведем подобные члены:
$(\frac{5}{2} + 2 + 4)x^2 + (-5 + 8)xy + (\frac{5}{2} - 2 + 4)y^2 + (-16\sqrt{2} - 28\sqrt{2})x + (16\sqrt{2} - 28\sqrt{2})y + 80 = 0$
$\frac{17}{2}x^2 + 3xy + \frac{9}{2}y^2 - 44\sqrt{2}x - 12\sqrt{2}y + 80 = 0$
Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей в коэффициентах:
$17x^2 + 6xy + 9y^2 - 88\sqrt{2}x - 24\sqrt{2}y + 160 = 0$
Ответ: $17x^2 + 6xy + 9y^2 - 88\sqrt{2}x - 24\sqrt{2}y + 160 = 0$.
на этот же угол по часовой стрелке
Поворот по часовой стрелке на угол $\pi/4$ эквивалентен повороту против часовой стрелки на угол $\alpha = -\pi/4$.
Тогда $\cos(-\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(-\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Формулы преобразования координат:
$x = x' \frac{\sqrt{2}}{2} - y' (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y')$
$y = x' (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + y' \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(-x' + y')$
Подставим эти выражения в исходное уравнение (снова опустив штрихи):
$5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right)^2 + 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-x + y)\right) + 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-x + y)\right)^2 - 32\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right) - 56\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-x + y)\right) + 80 = 0$
$5 \cdot \frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2) + 4 \cdot \frac{1}{2}(y^2 - x^2) + 8 \cdot \frac{1}{2}(x^2 - 2xy + y^2) - 16\sqrt{2}(x + y) + 28\sqrt{2}(x - y) + 80 = 0$
$\frac{5}{2}x^2 + 5xy + \frac{5}{2}y^2 - 2x^2 + 2y^2 + 4x^2 - 8xy + 4y^2 - 16\sqrt{2}x - 16\sqrt{2}y + 28\sqrt{2}x - 28\sqrt{2}y + 80 = 0$
Приведем подобные члены:
$(\frac{5}{2} - 2 + 4)x^2 + (5 - 8)xy + (\frac{5}{2} + 2 + 4)y^2 + (-16\sqrt{2} + 28\sqrt{2})x + (-16\sqrt{2} - 28\sqrt{2})y + 80 = 0$
$\frac{9}{2}x^2 - 3xy + \frac{17}{2}y^2 + 12\sqrt{2}x - 44\sqrt{2}y + 80 = 0$
Умножим все уравнение на 2:
$9x^2 - 6xy + 17y^2 + 24\sqrt{2}x - 88\sqrt{2}y + 160 = 0$
Ответ: $9x^2 - 6xy + 17y^2 + 24\sqrt{2}x - 88\sqrt{2}y + 160 = 0$.
№19.15 (с. 66)
Условие. №19.15 (с. 66)
19.15* [Д. 63*] Два небольших тела одинаковой массы, жёстко соединённые прямым стержнем, вращаются вокруг оси $O$, проходящей через центр масс системы перпендикулярно стержню. Ось вращения неподвижна. Сделайте рисунок и докажите, что сумма проекций векторов импульсов тел на любую ось $X$, лежащую в плоскости вращения, равна нулю. Проверьте, будет ли справедливо это утверждение, если массы тел различны; ось вращения $O$ пересекает стержень в другой точке.
Решение 3. №19.15 (с. 66)
Решение 4. №19.15 (с. 66)
Решение 7. №19.15 (с. 66)
Доказательство для случая одинаковых масс
Дано:
Два тела, $m_1$ и $m_2$
Массы тел: $m_1 = m_2 = m$
Ось вращения O проходит через центр масс системы.
Угловая скорость вращения: $\omega$.
Найти:
Доказать, что сумма проекций импульсов на ось X, $p_{1x} + p_{2x}$, равна нулю.
Решение:
Выполним рисунок. Пусть ось вращения O совпадает с началом координат и направлена перпендикулярно плоскости рисунка (ось Z). Тела 1 и 2, соединенные невесомым стержнем, вращаются в плоскости XY. Пусть длина стержня равна $2r$.
Поскольку массы тел одинаковы ($m_1 = m_2 = m$), их центр масс находится точно посередине стержня. По условию, ось вращения O проходит через центр масс. Следовательно, каждое тело вращается по окружности радиуса $r$ вокруг точки O.
В любой момент времени радиус-векторы тел $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$, проведенные из центра вращения O, равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{r_2} = -\vec{r_1}$, и $|\vec{r_1}| = |\vec{r_2}| = r$.
Линейная скорость каждого тела определяется формулой $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$, где $\vec{\omega}$ — вектор угловой скорости, направленный вдоль оси вращения.
Найдем скорости тел:
$\vec{v_1} = \vec{\omega} \times \vec{r_1}$
$\vec{v_2} = \vec{\omega} \times \vec{r_2} = \vec{\omega} \times (-\vec{r_1}) = -(\vec{\omega} \times \vec{r_1}) = -\vec{v_1}$
Векторы линейных скоростей тел в любой момент времени равны по модулю ($v_1 = v_2 = \omega r$) и противоположны по направлению.
Импульсы тел равны:
$\vec{p_1} = m_1 \vec{v_1} = m \vec{v_1}$
$\vec{p_2} = m_2 \vec{v_2} = m (-\vec{v_1}) = -m \vec{v_1}$
Суммарный вектор импульса системы равен векторной сумме импульсов тел:
$\vec{P} = \vec{p_1} + \vec{p_2} = m \vec{v_1} + (-m \vec{v_1}) = \vec{0}$
Поскольку суммарный вектор импульса системы равен нулю, его проекция на любую ось, в том числе на любую ось X, лежащую в плоскости вращения, также будет равна нулю.
$P_x = p_{1x} + p_{2x} = 0$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Сумма проекций векторов импульсов тел на любую ось, лежащую в плоскости вращения, равна нулю, так как суммарный вектор импульса системы равен нулю.
Проверка для случая различных масс
Решение:
Рассмотрим систему, в которой массы тел различны ($m_1 \neq m_2$), а ось вращения O не проходит через центр масс системы. Пусть расстояния от оси вращения до тел равны $r_1$ и $r_2$ соответственно.
Как и в предыдущем случае, тела вращаются с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Векторы их линейных скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ по-прежнему будут противоположно направлены в любой момент времени. Их модули равны $v_1 = \omega r_1$ и $v_2 = \omega r_2$.
Импульсы тел:
$\vec{p_1} = m_1 \vec{v_1}$
$\vec{p_2} = m_2 \vec{v_2}$
Суммарный импульс системы: $\vec{P} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$. Поскольку векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ коллинеарны (так как коллинеарны $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$) и противоположно направлены, модуль суммарного импульса равен:
$P = |\vec{P}| = |p_1 - p_2| = |m_1 v_1 - m_2 v_2| = |m_1 \omega r_1 - m_2 \omega r_2| = \omega |m_1 r_1 - m_2 r_2|$
Суммарный импульс $\vec{P}$ будет равен нулю только при выполнении условия $m_1 r_1 = m_2 r_2$. Это условие означает, что ось вращения O проходит через центр масс системы.
По условию задачи, массы различны и ось вращения пересекает стержень в "другой точке", то есть не в центре масс. Следовательно, $m_1 r_1 \neq m_2 r_2$, и суммарный импульс системы не равен нулю: $\vec{P} \neq \vec{0}$.
Вектор суммарного импульса $\vec{P}$ будет вращаться вместе со стержнем в плоскости вращения. Его проекция $P_x$ на неподвижную ось X будет непрерывно изменяться, и, в общем случае, не будет равна нулю. Проекция будет равна нулю только в те моменты времени, когда вектор $\vec{P}$ перпендикулярен оси X.
Следовательно, утверждение о том, что сумма проекций векторов импульсов на любую ось X в плоскости вращения всегда равна нулю, в данном случае не будет справедливым.
Ответ: Нет, утверждение будет несправедливо, если массы тел различны и ось вращения не проходит через центр масс системы. В этом случае суммарный импульс системы не равен нулю, и его проекция на произвольную ось в плоскости вращения, в общем случае, не равна нулю.
№19.16 (с. 66)
Условие. №19.16 (с. 66)
19.16* [220*] К лежащим на столе шарам были приложены в течение одного и того же промежутка времени одинаковые силы. При этом шар массой 3 кг приобрёл скорость 15 см/с. Какую скорость приобрёл шар массой 1 кг?
Решение 3. №19.16 (с. 66)
Решение 4. №19.16 (с. 66)
Решение 5. №19.16 (с. 66)
Решение 6. №19.16 (с. 66)
Решение 7. №19.16 (с. 66)
Дано:
$m_1 = 3 \text{ кг}$
$v_1 = 15 \text{ см/с}$
$m_2 = 1 \text{ кг}$
$F_1 = F_2 = F$
$\Delta t_1 = \Delta t_2 = \Delta t$
$m_1 = 3 \text{ кг}$
Найти:
$v_2$
Решение:
Воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме. Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело:
$\Delta p = F \cdot \Delta t$
Так как шары изначально покоились, их начальный импульс равен нулю. Следовательно, изменение импульса равно конечному импульсу:
$\Delta p = p - p_0 = mv - 0 = mv$
Тогда $mv = F \cdot \Delta t$.
По условию задачи, на оба шара действовали одинаковые силы ($F_1 = F_2 = F$) в течение одного и того же промежутка времени ($\Delta t_1 = \Delta t_2 = \Delta t$). Это означает, что импульсы сил, приложенных к шарам, одинаковы. Следовательно, шары приобрели одинаковые импульсы.
Для первого шара: $p_1 = m_1 v_1$
Для второго шара: $p_2 = m_2 v_2$
Так как $p_1 = p_2$, мы можем записать:
$m_1 v_1 = m_2 v_2$
Выразим из этого равенства скорость второго шара $v_2$:
$v_2 = \frac{m_1 v_1}{m_2}$
Подставим числовые значения в систему СИ:
$v_2 = \frac{3 \text{ кг} \cdot 0.15 \text{ м/с}}{1 \text{ кг}} = 0.45 \text{ м/с}$
Переведем результат обратно в см/с для удобства сравнения:
$0.45 \text{ м/с} = 45 \text{ см/с}$
Ответ: $45 \text{ см/с}$.
№19.17 (с. 66)
Условие. №19.17 (с. 66)
19.17* [Д. 64*] Теннисный мяч массой 100 г, летящий со скоростью 180 км/ч перпендикулярно вертикальной стене, отскакивает от неё без заметной потери скорости в противоположном направлении. Определите модуль изменения проекции импульса $\left|\Delta p_x\right|$ на ось, совпадающую с направлением движения мяча до удара.
Решение 3. №19.17 (с. 66)
Решение 4. №19.17 (с. 66)
Решение 7. №19.17 (с. 66)
Дано:
$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$v = 180 \text{ км/ч} = \frac{180 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 50 \text{ м/с}$
Найти:
$|\Delta p_x|$
Решение:
Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$.
Изменение импульса $\Delta\vec{p}$ равно разности конечного и начального импульсов: $\Delta\vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$.
Выберем ось $Ox$, направленную так, как указано в условии — по направлению движения мяча до удара о стену.
Тогда проекция начальной скорости мяча на ось $Ox$ будет положительной: $v_{1x} = v = 50 \text{ м/с}$.
Проекция начального импульса на ось $Ox$: $p_{1x} = m v_{1x} = m v$.
После отскока мяч движется в противоположном направлении без потери скорости. Это значит, что модуль скорости остался прежним, а направление изменилось на противоположное.
Проекция конечной скорости мяча на ось $Ox$ будет отрицательной: $v_{2x} = -v = -50 \text{ м/с}$.
Проекция конечного импульса на ось $Ox$: $p_{2x} = m v_{2x} = -m v$.
Изменение проекции импульса на ось $Ox$ равно: $\Delta p_x = p_{2x} - p_{1x} = (-mv) - (mv) = -2mv$.
Нам нужно найти модуль этого изменения: $|\Delta p_x| = |-2mv| = 2mv$.
Подставим числовые значения: $|\Delta p_x| = 2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 50 \text{ м/с} = 10 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
Ответ: $10 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
№19.18 (с. 66)
Условие. №19.18 (с. 66)
19.18* [Д. 65*] Машина проезжает поворот дороги по дуге, имеющей вид четверти окружности. На какой угол поворачивается при этом вектор импульса машины? Чему равны изменение проекции импульса на ось X, направление которой совпадает с вектором импульса машины до поворота, и модуль вектора изменения импульса $|\Delta \vec{p}_1|$?
Решение 3. №19.18 (с. 66)
Решение 4. №19.18 (с. 66)
Решение 7. №19.18 (с. 66)
Дано:
Траектория движения — дуга, равная четверти окружности ($90^\circ$).
Ось X — совпадает с направлением начального импульса $\vec{p_1}$.
$m$ — масса машины.
$v$ — модуль скорости машины (предполагается постоянным).
Найти:
1. Угол поворота вектора импульса, $\alpha$.
2. Изменение проекции импульса на ось X, $\Delta p_x$.
3. Модуль вектора изменения импульса, $|\Delta \vec{p_1}|$.
Решение:
Вектор импульса машины определяется формулой $\vec{p} = m\vec{v}$. Поскольку масса $m$ является скаляром, вектор импульса $\vec{p}$ всегда сонаправлен с вектором скорости $\vec{v}$. Модуль импульса равен $p = mv$. Будем считать, что машина движется с постоянной по модулю скоростью, тогда модуль импульса также постоянен на всем протяжении поворота.
Введем систему координат. Согласно условию, направим ось X вдоль начального вектора импульса $\vec{p_1}$. Пусть поворот происходит в плоскости XY. Тогда начальный вектор импульса имеет координаты: $$ \vec{p_1} = (p, 0) $$ Поскольку машина проезжает четверть окружности, ее вектор скорости (а значит, и импульса) поворачивается на $90^\circ$. Конечный вектор импульса $\vec{p_2}$ будет перпендикулярен начальному. Направим ось Y так, чтобы конечный вектор импульса был направлен вдоль нее: $$ \vec{p_2} = (0, p) $$
На какой угол поворачивается при этом вектор импульса машины?
Вектор импульса $\vec{p}$ всегда направлен так же, как и вектор мгновенной скорости $\vec{v}$. Когда машина движется по дуге, составляющей четверть окружности, ее вектор скорости поворачивается на угол $90^\circ$. Следовательно, и вектор импульса поворачивается на тот же угол.
Ответ: Вектор импульса машины поворачивается на угол $90^\circ$.
Чему равны изменение проекции импульса на ось Х, направление которой совпадает с вектором импульса машины до поворота?
Изменение проекции импульса на ось X, $\Delta p_x$, есть разность между конечной и начальной проекциями импульса на эту ось. $$ \Delta p_x = p_{2x} - p_{1x} $$ Начальная проекция импульса на ось X (по построению) равна модулю импульса: $p_{1x} = p$. Конечный вектор импульса $\vec{p_2}$ перпендикулярен оси X, поэтому его проекция на эту ось равна нулю: $p_{2x} = 0$. Следовательно, изменение проекции равно: $$ \Delta p_x = 0 - p = -p $$ Так как $p=mv$, то $\Delta p_x = -mv$.
Ответ: Изменение проекции импульса на ось X равно $-p$ (или $-mv$), где $p$ - модуль начального импульса машины.
Чему равен модуль вектора изменения импульса $|\Delta \vec{p_1}|$?
Изменение импульса — это векторная величина $\Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$. В условии эта величина обозначена как $\Delta \vec{p_1}$, будем следовать этому обозначению, хотя оно является нестандартным. Найдем этот вектор в координатах: $$ \Delta \vec{p_1} = \vec{p_2} - \vec{p_1} = (0, p) - (p, 0) = (-p, p) $$ Модуль этого вектора — это его длина, которую можно найти по теореме Пифагора для его компонент: $$ |\Delta \vec{p_1}| = \sqrt{(-p)^2 + p^2} = \sqrt{p^2 + p^2} = \sqrt{2p^2} = p\sqrt{2} $$ Заменяя $p$ на $mv$, получаем: $$ |\Delta \vec{p_1}| = mv\sqrt{2} $$
Ответ: Модуль вектора изменения импульса равен $p\sqrt{2}$ (или $mv\sqrt{2}$).
№19.19 (с. 66)
Условие. №19.19 (с. 66)
19.19 [Д. 66] Скорость тела массой 2,2 кг изменяется в соответствии с уравнением $v = 10 - 0,2t$. Определите импульс тела в начальный момент. Через какое время импульс тела уменьшится в 2 раза?
Решение 3. №19.19 (с. 66)
Решение 4. №19.19 (с. 66)
Решение 7. №19.19 (с. 66)
Дано:
m = 2,2 кг
Уравнение скорости: $v = 10 - 0,2t$
Найти:
$p_0$ — импульс тела в начальный момент
$t$ — время, через которое импульс уменьшится в 2 раза
Решение:
Определите импульс тела в начальный момент.
Импульс тела (количество движения) определяется по формуле $p = m \cdot v$, где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.
Начальный момент времени соответствует $t = 0$. Подставим это значение в уравнение скорости, чтобы найти начальную скорость $v_0$:
$v_0 = v(t=0) = 10 - 0,2 \cdot 0 = 10$ м/с.
Теперь вычислим начальный импульс тела $p_0$:
$p_0 = m \cdot v_0 = 2,2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = 22$ кг·м/с.
Ответ: начальный импульс тела равен $22$ кг·м/с.
Через какое время импульс тела уменьшится в 2 раза?
Импульс тела должен уменьшиться в 2 раза по сравнению с начальным. Найдем значение этого нового импульса $p_1$:
$p_1 = \frac{p_0}{2} = \frac{22 \text{ кг·м/с}}{2} = 11$ кг·м/с.
Импульс в любой момент времени $t$ можно выразить как $p(t) = m \cdot v(t)$. Подставим в эту формулу уравнение скорости:
$p(t) = m \cdot (10 - 0,2t)$.
Теперь приравняем это выражение к найденному значению $p_1$ и решим получившееся уравнение относительно времени $t$:
$11 = 2,2 \cdot (10 - 0,2t)$.
Разделим обе части уравнения на массу $m = 2,2$ кг:
$\frac{11}{2,2} = 10 - 0,2t$
$5 = 10 - 0,2t$
Выразим $0,2t$:
$0,2t = 10 - 5$
$0,2t = 5$
Теперь найдем время $t$:
$t = \frac{5}{0,2} = 25$ с.
Ответ: импульс тела уменьшится в 2 раза через $25$ с.
№19.20 (с. 66)
Условие. №19.20 (с. 66)
19.20 [д. 67] Координата конькобежца массой 75 кг на некотором стартовом участке дистанции описывается уравнением $x = 5,2 + 5,2t + 1,3t^2$. Определите импульс конькобежца в момент начала наблюдения и приращение импульса за следующую секунду. Остаётся ли это значение постоянным для каждой последующей секунды? Через какое время от момента начала наблюдения импульс достигнет максимального значения, если максимальная скорость, которую может развить спортсмен, равна 13 м/с?
Решение 3. №19.20 (с. 66)
Решение 4. №19.20 (с. 66)
Решение 7. №19.20 (с. 66)
Дано:
Масса конькобежца, $m = 75$ кг
Уравнение движения, $x(t) = 5,2 + 5,2t + 1,3t^2$ м
Максимальная скорость, $v_{max} = 13$ м/с
Найти:
1. Импульс в момент начала наблюдения, $p_0$ - ?
2. Приращение импульса за первую секунду, $\Delta p$ - ?
3. Постоянство приращения импульса за каждую секунду - ?
4. Время достижения максимального импульса, $t_{max}$ - ?
Решение:
1. Определите импульс конькобежца в момент начала наблюдения
Импульс тела определяется по формуле $p = m \cdot v$, где $m$ - масса, а $v$ - скорость. Скорость является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.
Найдем зависимость скорости от времени: $v(t) = \frac{d}{dt}(5,2 + 5,2t + 1,3t^2) = 5,2 + 2 \cdot 1,3t = 5,2 + 2,6t$ (м/с).
Момент начала наблюдения соответствует времени $t = 0$ с. Скорость в этот момент: $v_0 = v(0) = 5,2 + 2,6 \cdot 0 = 5,2$ м/с.
Тогда импульс в момент начала наблюдения равен: $p_0 = m \cdot v_0 = 75 \text{ кг} \cdot 5,2 \text{ м/с} = 390$ кг⋅м/с.
Ответ: импульс конькобежца в момент начала наблюдения равен $390$ кг⋅м/с.
...и приращение импульса за следующую секунду.
Приращение импульса $\Delta p$ за первую секунду (от $t=0$ до $t=1$ с) равно разности импульсов в конце и в начале этого интервала: $\Delta p = p_1 - p_0$.
Найдем скорость в момент времени $t = 1$ с: $v_1 = v(1) = 5,2 + 2,6 \cdot 1 = 7,8$ м/с.
Импульс в этот момент времени: $p_1 = m \cdot v_1 = 75 \text{ кг} \cdot 7,8 \text{ м/с} = 585$ кг⋅м/с.
Теперь найдем приращение импульса: $\Delta p = p_1 - p_0 = 585 - 390 = 195$ кг⋅м/с.
Ответ: приращение импульса за первую секунду составляет $195$ кг⋅м/с.
Остается ли это значение постоянным для каждой последующей секунды?
Приращение импульса связано с силой, действующей на тело, через второй закон Ньютона в импульсной форме: $\Delta p = F \cdot \Delta t$, где $F$ - равнодействующая сила, а $\Delta t$ - промежуток времени. Сила, в свою очередь, равна $F = m \cdot a$, где $a$ - ускорение.
Ускорение является первой производной от скорости по времени: $a(t) = v'(t)$. $a(t) = \frac{d}{dt}(5,2 + 2,6t) = 2,6$ м/с².
Поскольку ускорение $a = 2,6$ м/с² является постоянной величиной, то и действующая на конькобежца сила также постоянна: $F = m \cdot a = 75 \text{ кг} \cdot 2,6 \text{ м/с²} = 195$ Н.
Следовательно, приращение импульса за любой одинаковый промежуток времени $\Delta t = 1$ с будет постоянным и равным $\Delta p = F \cdot \Delta t = 195 \text{ Н} \cdot 1 \text{ с} = 195$ кг⋅м/с.
Ответ: да, значение приращения импульса остается постоянным для каждой последующей секунды и составляет $195$ кг⋅м/с, пока действует данное уравнение движения.
Через какое время от момента начала наблюдения импульс достигнет максимального значения...
Импульс достигает максимального значения, когда скорость конькобежца достигает максимального значения $v_{max} = 13$ м/с.
Используем уравнение для скорости $v(t) = 5,2 + 2,6t$ и приравняем ее к максимальной скорости, чтобы найти искомое время $t_{max}$: $v(t_{max}) = v_{max}$ $5,2 + 2,6 \cdot t_{max} = 13$
Решим это уравнение относительно $t_{max}$: $2,6 \cdot t_{max} = 13 - 5,2$ $2,6 \cdot t_{max} = 7,8$ $t_{max} = \frac{7,8}{2,6} = 3$ с.
Ответ: импульс достигнет максимального значения через $3$ с от момента начала наблюдения.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.