Номер 19.15, страница 66 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.15, страница 66.

19.15* [Д. 63*] Два небольших тела одинаковой массы, жёстко соединённые прямым стержнем, вращаются вокруг оси $O$, проходящей через центр масс системы перпендикулярно стержню. Ось вращения неподвижна. Сделайте рисунок и докажите, что сумма проекций векторов импульсов тел на любую ось $X$, лежащую в плоскости вращения, равна нулю. Проверьте, будет ли справедливо это утверждение, если массы тел различны; ось вращения $O$ пересекает стержень в другой точке.

Доказательство для случая одинаковых масс

Дано:

Два тела, $m_1$ и $m_2$
Массы тел: $m_1 = m_2 = m$
Ось вращения O проходит через центр масс системы.
Угловая скорость вращения: $\omega$.

Найти:

Доказать, что сумма проекций импульсов на ось X, $p_{1x} + p_{2x}$, равна нулю.

Решение:

Выполним рисунок. Пусть ось вращения O совпадает с началом координат и направлена перпендикулярно плоскости рисунка (ось Z). Тела 1 и 2, соединенные невесомым стержнем, вращаются в плоскости XY. Пусть длина стержня равна $2r$.

Поскольку массы тел одинаковы ($m_1 = m_2 = m$), их центр масс находится точно посередине стержня. По условию, ось вращения O проходит через центр масс. Следовательно, каждое тело вращается по окружности радиуса $r$ вокруг точки O.

В любой момент времени радиус-векторы тел $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$, проведенные из центра вращения O, равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{r_2} = -\vec{r_1}$, и $|\vec{r_1}| = |\vec{r_2}| = r$.

Линейная скорость каждого тела определяется формулой $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$, где $\vec{\omega}$ — вектор угловой скорости, направленный вдоль оси вращения.

Найдем скорости тел:
$\vec{v_1} = \vec{\omega} \times \vec{r_1}$
$\vec{v_2} = \vec{\omega} \times \vec{r_2} = \vec{\omega} \times (-\vec{r_1}) = -(\vec{\omega} \times \vec{r_1}) = -\vec{v_1}$

Векторы линейных скоростей тел в любой момент времени равны по модулю ($v_1 = v_2 = \omega r$) и противоположны по направлению.

Импульсы тел равны:
$\vec{p_1} = m_1 \vec{v_1} = m \vec{v_1}$
$\vec{p_2} = m_2 \vec{v_2} = m (-\vec{v_1}) = -m \vec{v_1}$

Суммарный вектор импульса системы равен векторной сумме импульсов тел:
$\vec{P} = \vec{p_1} + \vec{p_2} = m \vec{v_1} + (-m \vec{v_1}) = \vec{0}$

Поскольку суммарный вектор импульса системы равен нулю, его проекция на любую ось, в том числе на любую ось X, лежащую в плоскости вращения, также будет равна нулю.
$P_x = p_{1x} + p_{2x} = 0$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма проекций векторов импульсов тел на любую ось, лежащую в плоскости вращения, равна нулю, так как суммарный вектор импульса системы равен нулю.

Проверка для случая различных масс

Решение:

Рассмотрим систему, в которой массы тел различны ($m_1 \neq m_2$), а ось вращения O не проходит через центр масс системы. Пусть расстояния от оси вращения до тел равны $r_1$ и $r_2$ соответственно.

Как и в предыдущем случае, тела вращаются с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Векторы их линейных скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ по-прежнему будут противоположно направлены в любой момент времени. Их модули равны $v_1 = \omega r_1$ и $v_2 = \omega r_2$.

Импульсы тел:
$\vec{p_1} = m_1 \vec{v_1}$
$\vec{p_2} = m_2 \vec{v_2}$

Суммарный импульс системы: $\vec{P} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$. Поскольку векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ коллинеарны (так как коллинеарны $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$) и противоположно направлены, модуль суммарного импульса равен:
$P = |\vec{P}| = |p_1 - p_2| = |m_1 v_1 - m_2 v_2| = |m_1 \omega r_1 - m_2 \omega r_2| = \omega |m_1 r_1 - m_2 r_2|$

Суммарный импульс $\vec{P}$ будет равен нулю только при выполнении условия $m_1 r_1 = m_2 r_2$. Это условие означает, что ось вращения O проходит через центр масс системы.

По условию задачи, массы различны и ось вращения пересекает стержень в "другой точке", то есть не в центре масс. Следовательно, $m_1 r_1 \neq m_2 r_2$, и суммарный импульс системы не равен нулю: $\vec{P} \neq \vec{0}$.

Вектор суммарного импульса $\vec{P}$ будет вращаться вместе со стержнем в плоскости вращения. Его проекция $P_x$ на неподвижную ось X будет непрерывно изменяться, и, в общем случае, не будет равна нулю. Проекция будет равна нулю только в те моменты времени, когда вектор $\vec{P}$ перпендикулярен оси X.

Следовательно, утверждение о том, что сумма проекций векторов импульсов на любую ось X в плоскости вращения всегда равна нулю, в данном случае не будет справедливым.

Ответ: Нет, утверждение будет несправедливо, если массы тел различны и ось вращения не проходит через центр масс системы. В этом случае суммарный импульс системы не равен нулю, и его проекция на произвольную ось в плоскости вращения, в общем случае, не равна нулю.