Номер 19.12, страница 65 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.12, страница 65.

19.12* [д. 60*] Импульсы четырёх тел представлены с помощью векторов на рисунке II-101. При этом модули векторов соотносятся следующим образом: $p_1 = p_2$, $p_3 = 2p_1$, $p_4 = 1,5p_1$. Третье тело движется со скоростью 4 м/с, а массы тел соответственно равны 1 кг; 4 кг; 3 кг; 12 кг. Какое из тел обладает максимальной скоростью? Определите сумму проекций векторов импульсов тел на каждую из осей координат X и Y (с учётом знака).

Рис. II-101

Дано:

$p_1 = p_2$
$p_3 = 2p_1$
$p_4 = 1.5p_1$
$v_3 = 4 \text{ м/с}$
$m_1 = 1 \text{ кг}$
$m_2 = 4 \text{ кг}$
$m_3 = 3 \text{ кг}$
$m_4 = 12 \text{ кг}$

Найти:

1. Какое тело обладает максимальной скоростью ($v_{max}$)?
2. Сумму проекций векторов импульсов на ось X ($P_x$) и на ось Y ($P_y$).

Решение:

Какое из тел обладает максимальной скоростью?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти скорости всех четырех тел. Скорость тела связана с его импульсом и массой по формуле $v = p/m$. Сначала найдем числовые значения модулей импульсов всех тел. Мы можем вычислить импульс третьего тела, так как известны его масса и скорость:
$p_3 = m_3 \cdot v_3 = 3 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с} = 12 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Теперь, используя соотношения из условия, найдем модули импульсов остальных тел:
Из $p_3 = 2p_1$ следует, что $p_1 = p_3 / 2 = 12 / 2 = 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
Так как $p_1 = p_2$, то $p_2 = 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
$p_4 = 1.5p_1 = 1.5 \cdot 6 = 9 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Теперь мы можем рассчитать скорость каждого тела:
$v_1 = p_1 / m_1 = 6 / 1 = 6 \text{ м/с}$.
$v_2 = p_2 / m_2 = 6 / 4 = 1.5 \text{ м/с}$.
$v_3 = p_3 / m_3 = 12 / 3 = 4 \text{ м/с}$ (что соответствует условию).
$v_4 = p_4 / m_4 = 9 / 12 = 0.75 \text{ м/с}$.

Сравнивая полученные значения скоростей, видим, что максимальная скорость у первого тела.

Ответ: Максимальной скоростью $v_{max} = 6 \text{ м/с}$ обладает первое тело.

Определите сумму проекций векторов импульсов тел на каждую из осей координат X и Y (с учётом знака).

Проанализируем направления векторов импульсов, показанные на рисунке, и найдем их проекции на оси координат X и Y.
Вектор $\vec{p_1}$ направлен против оси X: $p_{1x} = -p_1 = -6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, $p_{1y} = 0$.
Вектор $\vec{p_2}$ направлен вдоль оси Y: $p_{2x} = 0$, $p_{2y} = p_2 = 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
Вектор $\vec{p_3}$ направлен вдоль оси X: $p_{3x} = p_3 = 12 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, $p_{3y} = 0$.
Вектор $\vec{p_4}$ направлен против оси Y: $p_{4x} = 0$, $p_{4y} = -p_4 = -9 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Теперь найдем сумму проекций на каждую ось.
Сумма проекций на ось X:
$P_x = p_{1x} + p_{2x} + p_{3x} + p_{4x} = -6 + 0 + 12 + 0 = 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Сумма проекций на ось Y:
$P_y = p_{1y} + p_{2y} + p_{3y} + p_{4y} = 0 + 6 + 0 + (-9) = -3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: Сумма проекций векторов импульсов на ось X равна $6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, на ось Y равна $-3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.