Номер 19.13, страница 65 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.13, страница 65.

19.13* [д. 61*] Импульсы двух тел представлены на рисунке II-102 с помощью векторов. Вектор импульса $\vec{p}_1$ образует с положительным направлением оси X угол $\pi/4$, а вектор импульса $\vec{p}_2$ — угол $3\pi/4$. Определите сумму проекций векторов на каждую из осей координат (с учётом знака).

Рис. II-102

Дано:

Угол вектора $\vec{p_1}$ с осью Ox: $\alpha_1 = \pi/4$.

Угол вектора $\vec{p_2}$ с осью Ox: $\alpha_2 = 3\pi/4$.

Углы являются безразмерными величинами, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Сумму проекций векторов на ось Ox: $\Sigma p_x = p_{1x} + p_{2x}$

Сумму проекций векторов на ось Oy: $\Sigma p_y = p_{1y} + p_{2y}$

Решение:

Проекции вектора импульса на оси координат находятся по общим формулам:

$p_x = p \cos(\alpha)$

$p_y = p \sin(\alpha)$

где $p$ — модуль вектора импульса, а $\alpha$ — угол между вектором и положительным направлением оси Ox.

Обозначим модули векторов как $p_1 = |\vec{p_1}|$ и $p_2 = |\vec{p_2}|$.

Найдем проекции для вектора $\vec{p_1}$:

$p_{1x} = p_1 \cos(\alpha_1) = p_1 \cos(\pi/4) = p_1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

$p_{1y} = p_1 \sin(\alpha_1) = p_1 \sin(\pi/4) = p_1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем проекции для вектора $\vec{p_2}$:

$p_{2x} = p_2 \cos(\alpha_2) = p_2 \cos(3\pi/4) = p_2 (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -p_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

$p_{2y} = p_2 \sin(\alpha_2) = p_2 \sin(3\pi/4) = p_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь определим сумму проекций для каждой оси.

Сумма проекций на ось Ox

Сумма проекций на ось Ox вычисляется как:

$\Sigma p_x = p_{1x} + p_{2x} = p_1 \frac{\sqrt{2}}{2} + (-p_2 \frac{\sqrt{2}}{2}) = (p_1 - p_2) \frac{\sqrt{2}}{2}$

В условии задачи модули векторов $p_1$ и $p_2$ не заданы численно. Однако на рисунке векторы изображены имеющими одинаковую длину. В задачах такого типа это обычно означает, что их модули равны. Сделаем допущение, что $p_1 = p_2$.

При этом условии сумма проекций на ось Ox равна:

$\Sigma p_x = (p_1 - p_1) \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

Ответ: 0.

Сумма проекций на ось Oy

Сумма проекций на ось Oy вычисляется как:

$\Sigma p_y = p_{1y} + p_{2y} = p_1 \frac{\sqrt{2}}{2} + p_2 \frac{\sqrt{2}}{2} = (p_1 + p_2) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используя допущение о равенстве модулей $p_1 = p_2 = p$, основанное на симметрии в рисунке, получаем:

$\Sigma p_y = (p + p) \frac{\sqrt{2}}{2} = 2p \frac{\sqrt{2}}{2} = p\sqrt{2}$

Поскольку численное значение модуля импульса $p$ неизвестно, ответ для суммы проекций на ось Oy может быть выражен только через эту величину.

Ответ: $p\sqrt{2}$, где $p$ — модуль импульса каждого из тел.