Номер 19.11, страница 65 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.11, страница 65.

19.11* [Д. 59*] Определите отношение импульсов двух тел 1 и 2 массами $m$ и $3m$ соответственно, если модули векторов их скоростей (рис. II-100) отличаются в 3 раза. Чему равна сумма проекций векторов импульсов этой системы тел на ось $X$?

Рис. II-100

Дано:

Масса первого тела: $m_1 = m$

Масса второго тела: $m_2 = 3m$

Соотношение модулей скоростей: $\frac{v_1}{v_2} = 3$ или $\frac{v_2}{v_1} = 3$

Направления движения (из рис. II-100):

Тело 1 движется в положительном направлении оси X.

Тело 2 движется в отрицательном направлении оси X.

Найти:

1. Отношение модулей импульсов $\frac{p_1}{p_2}$

2. Сумму проекций векторов импульсов на ось X, $P_x$

Решение:

Импульс тела (векторная величина) определяется по формуле $\vec{p} = m\vec{v}$. Модуль импульса равен $p = mv$.

Модуль импульса первого тела: $p_1 = m_1 v_1 = m v_1$.

Модуль импульса второго тела: $p_2 = m_2 v_2 = 3m v_2$.

Определите отношение импульсов двух тел 1 и 2

Отношение модулей импульсов равно:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m v_1}{3m v_2} = \frac{1}{3} \frac{v_1}{v_2}$

В условии сказано, что модули скоростей отличаются в 3 раза, но не уточнено, скорость какого тела больше. Поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Модуль скорости первого тела в 3 раза больше модуля скорости второго, то есть $v_1 = 3v_2$.

В этом случае отношение модулей импульсов будет:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{3} \frac{3v_2}{v_2} = 1$

Случай 2: Модуль скорости второго тела в 3 раза больше модуля скорости первого, то есть $v_2 = 3v_1$.

В этом случае отношение модулей импульсов будет:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{3} \frac{v_1}{3v_1} = \frac{1}{9}$

Ответ: Отношение импульсов равно 1 (если скорость первого тела в 3 раза больше) или $\frac{1}{9}$ (если скорость второго тела в 3 раза больше).

Чему равна сумма проекций векторов импульсов этой системы тел на ось X?

Сумма проекций векторов импульсов системы тел на ось X равна $P_x = p_{1x} + p_{2x}$.

Согласно рисунку, вектор скорости первого тела $\vec{v}_1$ сонаправлен с осью X, поэтому его проекция положительна: $v_{1x} = v_1$. Вектор скорости второго тела $\vec{v}_2$ направлен в противоположную сторону, поэтому его проекция отрицательна: $v_{2x} = -v_2$.

Проекция импульса первого тела на ось X: $p_{1x} = m_1 v_{1x} = m v_1$.

Проекция импульса второго тела на ось X: $p_{2x} = m_2 v_{2x} = 3m (-v_2) = -3m v_2$.

Тогда искомая сумма проекций:

$P_x = p_{1x} + p_{2x} = m v_1 - 3m v_2 = m(v_1 - 3v_2)$

Рассмотрим те же два случая, что и в предыдущем пункте.

Случай 1: $v_1 = 3v_2$.

Подставим это соотношение в формулу для суммы проекций:

$P_x = m(3v_2 - 3v_2) = 0$

Случай 2: $v_2 = 3v_1$.

Подставим это соотношение в формулу для суммы проекций:

$P_x = m(v_1 - 3(3v_1)) = m(v_1 - 9v_1) = -8mv_1$

Ответ: Сумма проекций импульсов на ось X равна 0 (если $v_1=3v_2$) или $-8mv_1$ (если $v_2=3v_1$).