Номер 19.18, страница 66 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.18, страница 66.

19.18* [Д. 65*] Машина проезжает поворот дороги по дуге, имеющей вид четверти окружности. На какой угол поворачивается при этом вектор импульса машины? Чему равны изменение проекции импульса на ось X, направление которой совпадает с вектором импульса машины до поворота, и модуль вектора изменения импульса $|\Delta \vec{p}_1|$?

Дано:

Траектория движения — дуга, равная четверти окружности ($90^\circ$).
Ось X — совпадает с направлением начального импульса $\vec{p_1}$.
$m$ — масса машины.
$v$ — модуль скорости машины (предполагается постоянным).

Найти:

1. Угол поворота вектора импульса, $\alpha$.
2. Изменение проекции импульса на ось X, $\Delta p_x$.
3. Модуль вектора изменения импульса, $|\Delta \vec{p_1}|$.

Решение:

Вектор импульса машины определяется формулой $\vec{p} = m\vec{v}$. Поскольку масса $m$ является скаляром, вектор импульса $\vec{p}$ всегда сонаправлен с вектором скорости $\vec{v}$. Модуль импульса равен $p = mv$. Будем считать, что машина движется с постоянной по модулю скоростью, тогда модуль импульса также постоянен на всем протяжении поворота.

Введем систему координат. Согласно условию, направим ось X вдоль начального вектора импульса $\vec{p_1}$. Пусть поворот происходит в плоскости XY. Тогда начальный вектор импульса имеет координаты: $$ \vec{p_1} = (p, 0) $$ Поскольку машина проезжает четверть окружности, ее вектор скорости (а значит, и импульса) поворачивается на $90^\circ$. Конечный вектор импульса $\vec{p_2}$ будет перпендикулярен начальному. Направим ось Y так, чтобы конечный вектор импульса был направлен вдоль нее: $$ \vec{p_2} = (0, p) $$

На какой угол поворачивается при этом вектор импульса машины?

Вектор импульса $\vec{p}$ всегда направлен так же, как и вектор мгновенной скорости $\vec{v}$. Когда машина движется по дуге, составляющей четверть окружности, ее вектор скорости поворачивается на угол $90^\circ$. Следовательно, и вектор импульса поворачивается на тот же угол.

Ответ: Вектор импульса машины поворачивается на угол $90^\circ$.

Чему равны изменение проекции импульса на ось Х, направление которой совпадает с вектором импульса машины до поворота?

Изменение проекции импульса на ось X, $\Delta p_x$, есть разность между конечной и начальной проекциями импульса на эту ось. $$ \Delta p_x = p_{2x} - p_{1x} $$ Начальная проекция импульса на ось X (по построению) равна модулю импульса: $p_{1x} = p$. Конечный вектор импульса $\vec{p_2}$ перпендикулярен оси X, поэтому его проекция на эту ось равна нулю: $p_{2x} = 0$. Следовательно, изменение проекции равно: $$ \Delta p_x = 0 - p = -p $$ Так как $p=mv$, то $\Delta p_x = -mv$.

Ответ: Изменение проекции импульса на ось X равно $-p$ (или $-mv$), где $p$ - модуль начального импульса машины.

Чему равен модуль вектора изменения импульса $|\Delta \vec{p_1}|$?

Изменение импульса — это векторная величина $\Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$. В условии эта величина обозначена как $\Delta \vec{p_1}$, будем следовать этому обозначению, хотя оно является нестандартным. Найдем этот вектор в координатах: $$ \Delta \vec{p_1} = \vec{p_2} - \vec{p_1} = (0, p) - (p, 0) = (-p, p) $$ Модуль этого вектора — это его длина, которую можно найти по теореме Пифагора для его компонент: $$ |\Delta \vec{p_1}| = \sqrt{(-p)^2 + p^2} = \sqrt{p^2 + p^2} = \sqrt{2p^2} = p\sqrt{2} $$ Заменяя $p$ на $mv$, получаем: $$ |\Delta \vec{p_1}| = mv\sqrt{2} $$

Ответ: Модуль вектора изменения импульса равен $p\sqrt{2}$ (или $mv\sqrt{2}$).