Номер 19.21, страница 67 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.21, страница 67.

19.21 [д. 68] Движение тела массой 0,5 кг описывается уравнением $x = 30 + 12t - 0,2t^2$. Определите импульс $p_0$ тела в момент начала наблюдения. Сколько времени пройдёт до того момента, как проекция импульса на ось X станет равной $-p_0/2$? Определите модуль изменения проекции импульса.

Дано:

Масса тела: $m = 0.5$ кг

Уравнение движения: $x(t) = 30 + 12t - 0.2t^2$

Все величины в задаче даны в системе СИ.

Найти:

1. Начальный импульс $p_0$

2. Время $t$, когда проекция импульса $p_x(t) = -p_0/2$

3. Модуль изменения проекции импульса $|\Delta p_x|$

Решение:

Проекция импульса тела на ось X ($p_x$) связана с массой ($m$) и проекцией скорости ($v_x$) соотношением $p_x = m \cdot v_x$.

Проекцию скорости на ось X можно найти как первую производную от координаты $x$ по времени $t$: $v_x(t) = x'(t)$.

Найдем зависимость проекции скорости от времени:

$v_x(t) = \frac{d}{dt}(30 + 12t - 0.2t^2) = 0 + 12 - 2 \cdot 0.2t = 12 - 0.4t$ (м/с).

Теперь найдем зависимость проекции импульса от времени:

$p_x(t) = m \cdot v_x(t) = 0.5 \cdot (12 - 0.4t) = 6 - 0.2t$ (кг·м/с).

Определите импульс $p_0$ тела в момент начала наблюдения.

Момент начала наблюдения соответствует времени $t = 0$. Начальный импульс $p_0$ равен значению $p_x$ при $t=0$.

Подставим $t=0$ в полученное уравнение для импульса:

$p_0 = p_x(0) = 6 - 0.2 \cdot 0 = 6$ кг·м/с.

Ответ: $p_0 = 6$ кг·м/с.

Сколько времени пройдёт до того момента, как проекция импульса на ось X станет равной $-p_0/2$?

Нам необходимо найти время $t$, при котором выполняется условие $p_x(t) = -p_0/2$.

Сначала вычислим требуемое значение проекции импульса:

$-\frac{p_0}{2} = -\frac{6}{2} = -3$ кг·м/с.

Теперь приравняем это значение к выражению для $p_x(t)$ и решим уравнение относительно $t$:

$6 - 0.2t = -3$

$0.2t = 6 - (-3)$

$0.2t = 9$

$t = \frac{9}{0.2} = \frac{90}{2} = 45$ с.

Ответ: $45$ с.

Определите модуль изменения проекции импульса.

Изменение проекции импульса $\Delta p_x$ равно разности между конечным и начальным значениями проекции импульса.

Начальный импульс: $p_{x,\text{нач}} = p_0 = 6$ кг·м/с.

Конечный импульс (в момент времени $t=45$ с): $p_{x,\text{кон}} = -p_0/2 = -3$ кг·м/с.

$\Delta p_x = p_{x,\text{кон}} - p_{x,\text{нач}} = -3 - 6 = -9$ кг·м/с.

Модуль изменения проекции импульса равен абсолютному значению этой величины:

$|\Delta p_x| = |-9| = 9$ кг·м/с.

Ответ: $9$ кг·м/с.