Номер 19.20, страница 66 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.20, страница 66.

19.20 [д. 67] Координата конькобежца массой 75 кг на некотором стартовом участке дистанции описывается уравнением $x = 5,2 + 5,2t + 1,3t^2$. Определите импульс конькобежца в момент начала наблюдения и приращение импульса за следующую секунду. Остаётся ли это значение постоянным для каждой последующей секунды? Через какое время от момента начала наблюдения импульс достигнет максимального значения, если максимальная скорость, которую может развить спортсмен, равна 13 м/с?

Дано:

Масса конькобежца, $m = 75$ кг
Уравнение движения, $x(t) = 5,2 + 5,2t + 1,3t^2$ м
Максимальная скорость, $v_{max} = 13$ м/с

Найти:

1. Импульс в момент начала наблюдения, $p_0$ - ?
2. Приращение импульса за первую секунду, $\Delta p$ - ?
3. Постоянство приращения импульса за каждую секунду - ?
4. Время достижения максимального импульса, $t_{max}$ - ?

Решение:

1. Определите импульс конькобежца в момент начала наблюдения

Импульс тела определяется по формуле $p = m \cdot v$, где $m$ - масса, а $v$ - скорость. Скорость является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

Найдем зависимость скорости от времени: $v(t) = \frac{d}{dt}(5,2 + 5,2t + 1,3t^2) = 5,2 + 2 \cdot 1,3t = 5,2 + 2,6t$ (м/с).

Момент начала наблюдения соответствует времени $t = 0$ с. Скорость в этот момент: $v_0 = v(0) = 5,2 + 2,6 \cdot 0 = 5,2$ м/с.

Тогда импульс в момент начала наблюдения равен: $p_0 = m \cdot v_0 = 75 \text{ кг} \cdot 5,2 \text{ м/с} = 390$ кг⋅м/с.

Ответ: импульс конькобежца в момент начала наблюдения равен $390$ кг⋅м/с.

...и приращение импульса за следующую секунду.

Приращение импульса $\Delta p$ за первую секунду (от $t=0$ до $t=1$ с) равно разности импульсов в конце и в начале этого интервала: $\Delta p = p_1 - p_0$.

Найдем скорость в момент времени $t = 1$ с: $v_1 = v(1) = 5,2 + 2,6 \cdot 1 = 7,8$ м/с.

Импульс в этот момент времени: $p_1 = m \cdot v_1 = 75 \text{ кг} \cdot 7,8 \text{ м/с} = 585$ кг⋅м/с.

Теперь найдем приращение импульса: $\Delta p = p_1 - p_0 = 585 - 390 = 195$ кг⋅м/с.

Ответ: приращение импульса за первую секунду составляет $195$ кг⋅м/с.

Остается ли это значение постоянным для каждой последующей секунды?

Приращение импульса связано с силой, действующей на тело, через второй закон Ньютона в импульсной форме: $\Delta p = F \cdot \Delta t$, где $F$ - равнодействующая сила, а $\Delta t$ - промежуток времени. Сила, в свою очередь, равна $F = m \cdot a$, где $a$ - ускорение.

Ускорение является первой производной от скорости по времени: $a(t) = v'(t)$. $a(t) = \frac{d}{dt}(5,2 + 2,6t) = 2,6$ м/с².

Поскольку ускорение $a = 2,6$ м/с² является постоянной величиной, то и действующая на конькобежца сила также постоянна: $F = m \cdot a = 75 \text{ кг} \cdot 2,6 \text{ м/с²} = 195$ Н.

Следовательно, приращение импульса за любой одинаковый промежуток времени $\Delta t = 1$ с будет постоянным и равным $\Delta p = F \cdot \Delta t = 195 \text{ Н} \cdot 1 \text{ с} = 195$ кг⋅м/с.

Ответ: да, значение приращения импульса остается постоянным для каждой последующей секунды и составляет $195$ кг⋅м/с, пока действует данное уравнение движения.

Через какое время от момента начала наблюдения импульс достигнет максимального значения...

Импульс достигает максимального значения, когда скорость конькобежца достигает максимального значения $v_{max} = 13$ м/с.

Используем уравнение для скорости $v(t) = 5,2 + 2,6t$ и приравняем ее к максимальной скорости, чтобы найти искомое время $t_{max}$: $v(t_{max}) = v_{max}$ $5,2 + 2,6 \cdot t_{max} = 13$

Решим это уравнение относительно $t_{max}$: $2,6 \cdot t_{max} = 13 - 5,2$ $2,6 \cdot t_{max} = 7,8$ $t_{max} = \frac{7,8}{2,6} = 3$ с.

Ответ: импульс достигнет максимального значения через $3$ с от момента начала наблюдения.