Номер 19.14, страница 66 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.14, страница 66.

19.14* [Д. 62*] Ознакомьтесь с условием предыдущей задачи и ответьте на поставленный вопрос; если оси координат повёрнуты: на угол $\pi/4$ против часовой стрелки; на этот же угол по часовой стрелке.

Поскольку задача 19.14 ссылается на условие предыдущей задачи (19.13), для решения необходимо это условие. В задаче 19.13 из сборника Демидовича требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка: $5x^2 + 4xy + 8y^2 - 32x - 56y + 80 = 0$.
Задача 19.14 ставит вопрос о том, как изменится это уравнение при заданных поворотах системы координат.

Дано:

Уравнение кривой второго порядка: $5x^2 + 4xy + 8y^2 - 32x - 56y + 80 = 0$.

Найти:

Уравнение данной кривой в новой системе координат $x'Oy'$, полученной поворотом исходной системы:

1. на угол $\pi/4$ против часовой стрелки;

2. на угол $\pi/4$ по часовой стрелке.

Решение:

Для нахождения уравнения кривой в новой системе координат, повернутой относительно исходной на угол $\alpha$, используются формулы преобразования координат:
$x = x' \cos\alpha - y' \sin\alpha$
$y = x' \sin\alpha + y' \cos\alpha$

на угол π/4 против часовой стрелки

В этом случае угол поворота $\alpha = \pi/4$. Значения синуса и косинуса для этого угла равны: $\cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Формулы преобразования координат принимают вид:
$x = x' \frac{\sqrt{2}}{2} - y' \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y')$
$y = x' \frac{\sqrt{2}}{2} + y' \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y')$
Подставим эти выражения в исходное уравнение. Для удобства вычислений временно опустим штрихи у новых координат $(x', y')$.
$5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x - y)\right)^2 + 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x - y)\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right) + 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right)^2 - 32\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x - y)\right) - 56\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right) + 80 = 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$5 \cdot \frac{1}{2}(x^2 - 2xy + y^2) + 4 \cdot \frac{1}{2}(x^2 - y^2) + 8 \cdot \frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2) - 16\sqrt{2}(x - y) - 28\sqrt{2}(x + y) + 80 = 0$
$\frac{5}{2}x^2 - 5xy + \frac{5}{2}y^2 + 2x^2 - 2y^2 + 4x^2 + 8xy + 4y^2 - 16\sqrt{2}x + 16\sqrt{2}y - 28\sqrt{2}x - 28\sqrt{2}y + 80 = 0$
Приведем подобные члены:
$(\frac{5}{2} + 2 + 4)x^2 + (-5 + 8)xy + (\frac{5}{2} - 2 + 4)y^2 + (-16\sqrt{2} - 28\sqrt{2})x + (16\sqrt{2} - 28\sqrt{2})y + 80 = 0$
$\frac{17}{2}x^2 + 3xy + \frac{9}{2}y^2 - 44\sqrt{2}x - 12\sqrt{2}y + 80 = 0$
Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей в коэффициентах:
$17x^2 + 6xy + 9y^2 - 88\sqrt{2}x - 24\sqrt{2}y + 160 = 0$

Ответ: $17x^2 + 6xy + 9y^2 - 88\sqrt{2}x - 24\sqrt{2}y + 160 = 0$.

на этот же угол по часовой стрелке

Поворот по часовой стрелке на угол $\pi/4$ эквивалентен повороту против часовой стрелки на угол $\alpha = -\pi/4$.
Тогда $\cos(-\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(-\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Формулы преобразования координат:
$x = x' \frac{\sqrt{2}}{2} - y' (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y')$
$y = x' (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + y' \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(-x' + y')$
Подставим эти выражения в исходное уравнение (снова опустив штрихи):
$5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right)^2 + 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-x + y)\right) + 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-x + y)\right)^2 - 32\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)\right) - 56\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-x + y)\right) + 80 = 0$
$5 \cdot \frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2) + 4 \cdot \frac{1}{2}(y^2 - x^2) + 8 \cdot \frac{1}{2}(x^2 - 2xy + y^2) - 16\sqrt{2}(x + y) + 28\sqrt{2}(x - y) + 80 = 0$
$\frac{5}{2}x^2 + 5xy + \frac{5}{2}y^2 - 2x^2 + 2y^2 + 4x^2 - 8xy + 4y^2 - 16\sqrt{2}x - 16\sqrt{2}y + 28\sqrt{2}x - 28\sqrt{2}y + 80 = 0$
Приведем подобные члены:
$(\frac{5}{2} - 2 + 4)x^2 + (5 - 8)xy + (\frac{5}{2} + 2 + 4)y^2 + (-16\sqrt{2} + 28\sqrt{2})x + (-16\sqrt{2} - 28\sqrt{2})y + 80 = 0$
$\frac{9}{2}x^2 - 3xy + \frac{17}{2}y^2 + 12\sqrt{2}x - 44\sqrt{2}y + 80 = 0$
Умножим все уравнение на 2:
$9x^2 - 6xy + 17y^2 + 24\sqrt{2}x - 88\sqrt{2}y + 160 = 0$

Ответ: $9x^2 - 6xy + 17y^2 + 24\sqrt{2}x - 88\sqrt{2}y + 160 = 0$.