Страница 65 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

19.9* [Д. 57*] Тело массой $m$, брошенное вертикально вниз со скоростью $v_0$, за время падения получило приращение импульса $\Delta p$. Сколько времени тело находилось в полёте, если известна средняя скорость его движения $v_{ср}$? С какой высоты было брошено тело?

Дано:

Найти:

Решение:

Сколько времени тело находилось в полете?

Воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме, который гласит, что изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей всех сил, приложенных к телу. В данном случае, пренебрегая сопротивлением воздуха, на тело действует только сила тяжести $\vec{F}_{т} = m\vec{g}$.

$\Delta \vec{p} = \vec{F}_{т} \cdot t$

Направим координатную ось вертикально вниз, по направлению начальной скорости и силы тяжести. В проекции на эту ось уравнение примет вид:

$\Delta p = mg \cdot t$

Из этого соотношения можно выразить время полета $t$:

$t = \frac{\Delta p}{mg}$

Ответ: Время полета тела равно $t = \frac{\Delta p}{mg}$.

С какой высоты было брошено тело?

Средняя скорость движения $v_{ср}$ по определению есть отношение всего пройденного пути $h$ ко времени движения $t$.

$v_{ср} = \frac{h}{t}$

Отсюда можно выразить высоту, с которой было брошено тело:

$h = v_{ср} \cdot t$

Теперь подставим в это выражение формулу для времени $t$, полученную в предыдущем пункте:

$h = v_{ср} \cdot \frac{\Delta p}{mg}$

Ответ: Тело было брошено с высоты $h = \frac{v_{ср} \Delta p}{mg}$.

19.10 [д. 58] Зная длину $l$ качелей, предложите способ определения импульса и скорости своего тела в нижней точке траектории с использованием весов. Считайте, что весы сохраняют горизонтальное положение.

Для определения импульса и скорости своего тела в нижней точке траектории на качелях с использованием весов, необходимо выполнить следующую последовательность действий и вычислений.

1. Экспериментальная часть.

Сначала необходимо провести два измерения с помощью весов:

• Измерение массы покоя. Встаньте на весы на неподвижной горизонтальной поверхности и измерьте свою массу. Обозначим это значение $m$.
• Измерение веса в движении. Положите весы на сиденье качелей. Сядьте на весы и начните раскачиваться. При прохождении качелями нижней точки траектории ваш вес будет максимальным. Зафиксируйте это максимальное показание весов. Обозначим эту величину как $N$. Важно отметить, что бытовые весы обычно показывают массу в килограммах, а не силу в ньютонах. Если весы показывают "динамическую массу" $m_{дин}$, то измеряемая сила (вес) будет $N = m_{дин}g$, где $g$ – ускорение свободного падения (приблизительно $9.8 \, м/с^2$).

2. Теоретическая часть и расчет.

На основе полученных данных можно рассчитать скорость и импульс.

Дано:

Найти:

Решение:

В нижней точке траектории тело движется по дуге окружности радиусом $l$ со скоростью $v$. На тело действуют две вертикальные силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз, и сила реакции опоры $N$ со стороны весов, направленная вверх. Сила $N$ и есть то значение, которое мы измерили как максимальный вес.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц = v^2/l$, которое направлено к центру окружности (вверх):

$N - F_g = m a_ц$

Подставим выражения для сил и ускорения:

$N - mg = m \frac{v^2}{l}$

Из этого уравнения выразим скорость $v$:

$m \frac{v^2}{l} = N - mg$

$v^2 = \frac{l(N - mg)}{m}$

$v = \sqrt{\frac{l(N - mg)}{m}}$

Теперь, зная скорость, можем найти импульс $p$ по определению:

$p = m v$

Подставим найденное выражение для скорости:

$p = m \sqrt{\frac{l(N - mg)}{m}} = \sqrt{m^2 \frac{l(N - mg)}{m}} = \sqrt{ml(N - mg)}$

Таким образом, измерив свою массу $m$ и вес $N$ в нижней точке, а также зная длину качелей $l$, можно рассчитать искомую скорость и импульс.

Ответ: Для определения скорости и импульса необходимо:
1. Измерить свою массу $m$ с помощью весов в состоянии покоя.
2. Измерить свой вес $N$ с помощью весов, установленных на качелях, в момент прохождения нижней точки траектории.
3. Рассчитать скорость по формуле: $v = \sqrt{\frac{l(N - mg)}{m}}$.
4. Рассчитать импульс по формуле: $p = \sqrt{ml(N - mg)}$.

19.11* [Д. 59*] Определите отношение импульсов двух тел 1 и 2 массами $m$ и $3m$ соответственно, если модули векторов их скоростей (рис. II-100) отличаются в 3 раза. Чему равна сумма проекций векторов импульсов этой системы тел на ось $X$?

Рис. II-100

Дано:

Масса первого тела: $m_1 = m$

Масса второго тела: $m_2 = 3m$

Соотношение модулей скоростей: $\frac{v_1}{v_2} = 3$ или $\frac{v_2}{v_1} = 3$

Направления движения (из рис. II-100):

Тело 1 движется в положительном направлении оси X.

Тело 2 движется в отрицательном направлении оси X.

Найти:

1. Отношение модулей импульсов $\frac{p_1}{p_2}$

2. Сумму проекций векторов импульсов на ось X, $P_x$

Решение:

Импульс тела (векторная величина) определяется по формуле $\vec{p} = m\vec{v}$. Модуль импульса равен $p = mv$.

Модуль импульса первого тела: $p_1 = m_1 v_1 = m v_1$.

Модуль импульса второго тела: $p_2 = m_2 v_2 = 3m v_2$.

Определите отношение импульсов двух тел 1 и 2

Отношение модулей импульсов равно:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m v_1}{3m v_2} = \frac{1}{3} \frac{v_1}{v_2}$

В условии сказано, что модули скоростей отличаются в 3 раза, но не уточнено, скорость какого тела больше. Поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Модуль скорости первого тела в 3 раза больше модуля скорости второго, то есть $v_1 = 3v_2$.

В этом случае отношение модулей импульсов будет:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{3} \frac{3v_2}{v_2} = 1$

Случай 2: Модуль скорости второго тела в 3 раза больше модуля скорости первого, то есть $v_2 = 3v_1$.

В этом случае отношение модулей импульсов будет:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{3} \frac{v_1}{3v_1} = \frac{1}{9}$

Ответ: Отношение импульсов равно 1 (если скорость первого тела в 3 раза больше) или $\frac{1}{9}$ (если скорость второго тела в 3 раза больше).

Чему равна сумма проекций векторов импульсов этой системы тел на ось X?

Сумма проекций векторов импульсов системы тел на ось X равна $P_x = p_{1x} + p_{2x}$.

Согласно рисунку, вектор скорости первого тела $\vec{v}_1$ сонаправлен с осью X, поэтому его проекция положительна: $v_{1x} = v_1$. Вектор скорости второго тела $\vec{v}_2$ направлен в противоположную сторону, поэтому его проекция отрицательна: $v_{2x} = -v_2$.

Проекция импульса первого тела на ось X: $p_{1x} = m_1 v_{1x} = m v_1$.

Проекция импульса второго тела на ось X: $p_{2x} = m_2 v_{2x} = 3m (-v_2) = -3m v_2$.

Тогда искомая сумма проекций:

$P_x = p_{1x} + p_{2x} = m v_1 - 3m v_2 = m(v_1 - 3v_2)$

Рассмотрим те же два случая, что и в предыдущем пункте.

Случай 1: $v_1 = 3v_2$.

Подставим это соотношение в формулу для суммы проекций:

$P_x = m(3v_2 - 3v_2) = 0$

Случай 2: $v_2 = 3v_1$.

Подставим это соотношение в формулу для суммы проекций:

$P_x = m(v_1 - 3(3v_1)) = m(v_1 - 9v_1) = -8mv_1$

Ответ: Сумма проекций импульсов на ось X равна 0 (если $v_1=3v_2$) или $-8mv_1$ (если $v_2=3v_1$).

19.12* [д. 60*] Импульсы четырёх тел представлены с помощью векторов на рисунке II-101. При этом модули векторов соотносятся следующим образом: $p_1 = p_2$, $p_3 = 2p_1$, $p_4 = 1,5p_1$. Третье тело движется со скоростью 4 м/с, а массы тел соответственно равны 1 кг; 4 кг; 3 кг; 12 кг. Какое из тел обладает максимальной скоростью? Определите сумму проекций векторов импульсов тел на каждую из осей координат X и Y (с учётом знака).

Рис. II-101

Дано:

$p_1 = p_2$
$p_3 = 2p_1$
$p_4 = 1.5p_1$
$v_3 = 4 \text{ м/с}$
$m_1 = 1 \text{ кг}$
$m_2 = 4 \text{ кг}$
$m_3 = 3 \text{ кг}$
$m_4 = 12 \text{ кг}$

Найти:

1. Какое тело обладает максимальной скоростью ($v_{max}$)?
2. Сумму проекций векторов импульсов на ось X ($P_x$) и на ось Y ($P_y$).

Решение:

Какое из тел обладает максимальной скоростью?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти скорости всех четырех тел. Скорость тела связана с его импульсом и массой по формуле $v = p/m$. Сначала найдем числовые значения модулей импульсов всех тел. Мы можем вычислить импульс третьего тела, так как известны его масса и скорость:
$p_3 = m_3 \cdot v_3 = 3 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с} = 12 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Теперь, используя соотношения из условия, найдем модули импульсов остальных тел:
Из $p_3 = 2p_1$ следует, что $p_1 = p_3 / 2 = 12 / 2 = 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
Так как $p_1 = p_2$, то $p_2 = 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
$p_4 = 1.5p_1 = 1.5 \cdot 6 = 9 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Теперь мы можем рассчитать скорость каждого тела:
$v_1 = p_1 / m_1 = 6 / 1 = 6 \text{ м/с}$.
$v_2 = p_2 / m_2 = 6 / 4 = 1.5 \text{ м/с}$.
$v_3 = p_3 / m_3 = 12 / 3 = 4 \text{ м/с}$ (что соответствует условию).
$v_4 = p_4 / m_4 = 9 / 12 = 0.75 \text{ м/с}$.

Сравнивая полученные значения скоростей, видим, что максимальная скорость у первого тела.

Ответ: Максимальной скоростью $v_{max} = 6 \text{ м/с}$ обладает первое тело.

Определите сумму проекций векторов импульсов тел на каждую из осей координат X и Y (с учётом знака).

Проанализируем направления векторов импульсов, показанные на рисунке, и найдем их проекции на оси координат X и Y.
Вектор $\vec{p_1}$ направлен против оси X: $p_{1x} = -p_1 = -6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, $p_{1y} = 0$.
Вектор $\vec{p_2}$ направлен вдоль оси Y: $p_{2x} = 0$, $p_{2y} = p_2 = 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
Вектор $\vec{p_3}$ направлен вдоль оси X: $p_{3x} = p_3 = 12 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, $p_{3y} = 0$.
Вектор $\vec{p_4}$ направлен против оси Y: $p_{4x} = 0$, $p_{4y} = -p_4 = -9 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Теперь найдем сумму проекций на каждую ось.
Сумма проекций на ось X:
$P_x = p_{1x} + p_{2x} + p_{3x} + p_{4x} = -6 + 0 + 12 + 0 = 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Сумма проекций на ось Y:
$P_y = p_{1y} + p_{2y} + p_{3y} + p_{4y} = 0 + 6 + 0 + (-9) = -3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: Сумма проекций векторов импульсов на ось X равна $6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, на ось Y равна $-3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

19.13* [д. 61*] Импульсы двух тел представлены на рисунке II-102 с помощью векторов. Вектор импульса $\vec{p}_1$ образует с положительным направлением оси X угол $\pi/4$, а вектор импульса $\vec{p}_2$ — угол $3\pi/4$. Определите сумму проекций векторов на каждую из осей координат (с учётом знака).

Рис. II-102

Дано:

Угол вектора $\vec{p_1}$ с осью Ox: $\alpha_1 = \pi/4$.

Угол вектора $\vec{p_2}$ с осью Ox: $\alpha_2 = 3\pi/4$.

Углы являются безразмерными величинами, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Сумму проекций векторов на ось Ox: $\Sigma p_x = p_{1x} + p_{2x}$

Сумму проекций векторов на ось Oy: $\Sigma p_y = p_{1y} + p_{2y}$

Решение:

Проекции вектора импульса на оси координат находятся по общим формулам:

$p_x = p \cos(\alpha)$

$p_y = p \sin(\alpha)$

где $p$ — модуль вектора импульса, а $\alpha$ — угол между вектором и положительным направлением оси Ox.

Обозначим модули векторов как $p_1 = |\vec{p_1}|$ и $p_2 = |\vec{p_2}|$.

Найдем проекции для вектора $\vec{p_1}$:

$p_{1x} = p_1 \cos(\alpha_1) = p_1 \cos(\pi/4) = p_1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

$p_{1y} = p_1 \sin(\alpha_1) = p_1 \sin(\pi/4) = p_1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем проекции для вектора $\vec{p_2}$:

$p_{2x} = p_2 \cos(\alpha_2) = p_2 \cos(3\pi/4) = p_2 (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -p_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

$p_{2y} = p_2 \sin(\alpha_2) = p_2 \sin(3\pi/4) = p_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь определим сумму проекций для каждой оси.

Сумма проекций на ось Ox вычисляется как:

$\Sigma p_x = p_{1x} + p_{2x} = p_1 \frac{\sqrt{2}}{2} + (-p_2 \frac{\sqrt{2}}{2}) = (p_1 - p_2) \frac{\sqrt{2}}{2}$

В условии задачи модули векторов $p_1$ и $p_2$ не заданы численно. Однако на рисунке векторы изображены имеющими одинаковую длину. В задачах такого типа это обычно означает, что их модули равны. Сделаем допущение, что $p_1 = p_2$.

При этом условии сумма проекций на ось Ox равна:

$\Sigma p_x = (p_1 - p_1) \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

Ответ: 0.

Сумма проекций на ось Oy вычисляется как:

$\Sigma p_y = p_{1y} + p_{2y} = p_1 \frac{\sqrt{2}}{2} + p_2 \frac{\sqrt{2}}{2} = (p_1 + p_2) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используя допущение о равенстве модулей $p_1 = p_2 = p$, основанное на симметрии в рисунке, получаем:

$\Sigma p_y = (p + p) \frac{\sqrt{2}}{2} = 2p \frac{\sqrt{2}}{2} = p\sqrt{2}$

Поскольку численное значение модуля импульса $p$ неизвестно, ответ для суммы проекций на ось Oy может быть выражен только через эту величину.

Ответ: $p\sqrt{2}$, где $p$ — модуль импульса каждого из тел.