Страница 63 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

18.32 [431] На автомобиль массой $10^3$ кг во время движения действует сила сопротивления, равная 10 % от его веса. Чему должна быть равна сила тяги, развиваемая автомобилем, чтобы он двигался с постоянным ускорением $2 \text{ м/с}^2$?

Дано:

Найти:

Решение:

Движение автомобиля описывается вторым законом Ньютона, согласно которому равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.

На автомобиль в горизонтальном направлении действуют две силы: сила тяги $\vec{F}_{тяги}$, направленная в сторону движения, и сила сопротивления $\vec{F}_{сопр}$, направленная в противоположную сторону. Запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось, сонаправленную с вектором ускорения:

$F_{тяги} - F_{сопр} = ma$

Отсюда можем выразить искомую силу тяги:

$F_{тяги} = ma + F_{сопр}$

По условию задачи, сила сопротивления составляет 10% от веса автомобиля $P$. Вес автомобиля — это сила, с которой он давит на опору, и в данном случае она равна силе тяжести $mg$.

$P = mg$

Тогда сила сопротивления равна:

$F_{сопр} = 0.1 \cdot P = 0.1 \cdot mg$

Подставим это выражение в формулу для силы тяги:

$F_{тяги} = ma + 0.1mg = m(a + 0.1g)$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчеты, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²:

$F_{сопр} = 0.1 \cdot 1000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 1000 \text{ Н}$

$F_{тяги} = 1000 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}^2 + 1000 \text{ Н} = 2000 \text{ Н} + 1000 \text{ Н} = 3000 \text{ Н}$

Или, используя объединенную формулу:

$F_{тяги} = 1000 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с}^2 + 0.1 \cdot 10 \text{ м/с}^2) = 1000 \cdot (2 + 1) \text{ Н} = 3000 \text{ Н}$

Полученный результат можно выразить в килоньютонах: $3000 \text{ Н} = 3 \text{ кН}$.

Ответ: сила тяги должна быть равна $3000 \text{ Н}$ или $3 \text{ кН}$.

18.33 [д. 49] Как будет двигаться брусок, помещённый на наклонную плоскость, под действием сил $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$, и $\vec{F_3}$, изображённых на рисунке II-98? Назовите эти силы.

Рис. II-98

Проанализируем силы, действующие на брусок, и определим характер его движения, ответив на два вопроса из условия задачи.

Назовите эти силы.

На рисунке изображены три вектора сил, приложенные к центру масс бруска. Исходя из их направления и общепринятых обозначений в физике, можно дать им следующие названия:

• $\vec{F}_1$ — это сила тяжести. Она обусловлена притяжением бруска к Земле и всегда направлена вертикально вниз.
• $\vec{F}_2$ — это сила нормальной реакции опоры. Это сила, с которой наклонная плоскость действует на брусок. Она всегда направлена перпендикулярно (нормально) поверхности опоры.
• $\vec{F}_3$ — это скатывающая сила. Эта сила направлена параллельно наклонной плоскости вниз. Физически она является составляющей силы тяжести $\vec{F}_1$, параллельной наклонной плоскости.

Ответ: $\vec{F}_1$ — сила тяжести, $\vec{F}_2$ — сила нормальной реакции опоры, $\vec{F}_3$ — скатывающая сила (составляющая силы тяжести, параллельная наклонной плоскости).

Как будет двигаться брусок?

Согласно второму закону Ньютона, характер движения тела определяется равнодействующей всех приложенных к нему сил. Проанализируем сумму векторов, показанных на рисунке.

Для анализа удобно разложить силу тяжести $\vec{F}_1$ на две составляющие:

• перпендикулярную наклонной плоскости ($\vec{F}_{1\perp}$);
• параллельную наклонной плоскости ($\vec{F}_{1\parallel}$), которая и является скатывающей силой $\vec{F}_3$.

Векторная сумма этих составляющих равна самой силе тяжести: $\vec{F}_1 = \vec{F}_{1\perp} + \vec{F}_{1\parallel}$.

Движения в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости, не происходит. Это означает, что сила нормальной реакции опоры $\vec{F}_2$ полностью компенсирует (уравновешивает) перпендикулярную составляющую силы тяжести $\vec{F}_{1\perp}$. Их векторная сумма равна нулю: $\vec{F}_2 + \vec{F}_{1\perp} = 0$.

Таким образом, равнодействующая всех сил, действующих на брусок, будет направлена вдоль наклонной плоскости вниз. Эта равнодействующая равна, как минимум, скатывающей силе $\vec{F}_{1\parallel}$ (которая на рисунке обозначена как $\vec{F}_3$). Если предположить, что нужно сложить все три указанные силы, то равнодействующая вдоль плоскости будет еще больше. В любом случае, если эта результирующая сила больше силы трения покоя (или если трением можно пренебречь), она вызовет движение.

Поскольку на брусок действует постоянная ненулевая равнодействующая сила, направленная вниз по наклонной плоскости, он будет двигаться с постоянным ускорением в этом направлении.

Ответ: Брусок будет двигаться равноускоренно вниз по наклонной плоскости.

18.34 [399] На наклонной плоскости, образующей угол 30° с горизонтом, покоится брусок массой 50 кг. Определите значения силы трения покоя и силы нормальной реакции опоры.

Дано:

Масса бруска, $m = 50$ кг
Угол наклона плоскости, $\alpha = 30^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Силу трения покоя $F_{тр}$
Силу нормальной реакции опоры $N$

Решение:

На брусок, который находится в состоянии покоя на наклонной плоскости, действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости вверх.
3. Сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, направленная параллельно наклонной плоскости вверх, так как она препятствует соскальзыванию бруска вниз.

Для решения задачи введем систему координат. Направим ось $OX$ параллельно наклонной плоскости вниз, а ось $OY$ — перпендикулярно наклонной плоскости вверх.

Согласно первому закону Ньютона, так как брусок находится в состоянии покоя, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$\vec{F_g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = 0$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Для этого разложим силу тяжести $\vec{F_g}$ на две составляющие:
- Проекция на ось $OX$: $F_{gx} = mg \sin(\alpha)$
- Проекция на ось $OY$: $F_{gy} = mg \cos(\alpha)$

Уравнения равновесия в проекциях на оси:
На ось $OX$: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0$
На ось $OY$: $N - mg \cos(\alpha) = 0$

Из этих уравнений выразим искомые величины.

Сила трения покоя

Из уравнения равновесия для оси $OX$ следует, что сила трения покоя уравновешивает скатывающую составляющую силы тяжести:

$F_{тр} = mg \sin(\alpha)$

Подставляем заданные значения:

$F_{тр} = 50 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30^\circ) = 490 \text{ Н} \cdot 0.5 = 245 \text{ Н}$

Ответ: сила трения покоя равна 245 Н.

Сила нормальной реакции опоры

Из уравнения равновесия для оси $OY$ следует, что сила нормальной реакции опоры уравновешивает составляющую силы тяжести, перпендикулярную опоре:

$N = mg \cos(\alpha)$

Подставляем заданные значения:

$N = 50 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \cos(30^\circ) = 490 \text{ Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 490 \text{ Н} \cdot 0.866 \approx 424.34 \text{ Н}$

Округлим полученное значение до трех значащих цифр.

Ответ: сила нормальной реакции опоры равна приблизительно 424 Н.

18.35 [Д. 50] Во время свободного качения в направлении, указанном пунктирной стрелкой, на обруч действуют силы, изображённые на рисунке II-99. Модуль наименьшего вектора силы $\vec{F}_1$ равен 240 Н. Чему равны силы $F_2, F_3, F_4$, если $F_2 = 2,5F_1$ и $F_3 = 3F_1$? Назовите эти силы, определите их значения и проекцию результирующей силы на направление движения.

Рис. II-99

Дано:

Модуль силы $\vec{F}_1$, $F_1 = 240 \text{ Н}$

Соотношение сил:

$F_2 = 2.5 F_1$

$F_3 = 3 F_1$

Объект (обруч) совершает свободное качение влево.

Найти:

1. Физический смысл (названия) сил $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3, \vec{F}_4$.

2. Значения сил $F_2, F_3, F_4$.

3. Проекцию результирующей силы $R_{движ}$ на направление движения.

Решение:

Проанализируем силы, действующие на обруч при свободном качении с замедлением. Движение происходит влево, как указано пунктирной стрелкой.

1. Названия и значения сил

Сначала идентифицируем каждую из изображенных сил, исходя из физических принципов:

• $\vec{F}_2$ направлена вправо, то есть против движения. Это сила сопротивления воздуха, которая всегда направлена против скорости тела.
• $\vec{F}_1$ направлена влево, по направлению движения. При замедлении катящегося тела (без проскальзывания) на него действует сила трения покоя, которая обеспечивает замедление вращения. Обруч движется влево, значит, он вращается по часовой стрелке. Чтобы вращение замедлялось, необходим момент силы, направленный против часовой стрелки. Такой момент создается силой трения, приложенной в точке контакта и направленной влево. Следовательно, $\vec{F}_1$ — это сила трения покоя.
• $\vec{F}_4$ направлена вертикально вниз. Это сила тяжести ($ \vec{F}_g $), действующая на обруч.
• $\vec{F}_3$ направлена вертикально вверх. Это сила нормальной реакции опоры ($ \vec{N} $), действующая на обруч со стороны поверхности.

Поскольку обруч движется по горизонтальной поверхности и не имеет вертикального ускорения, силы, действующие по вертикали, скомпенсированы. Это означает, что модуль силы нормальной реакции опоры равен модулю силы тяжести.

$F_3 = F_4$

Теперь, используя данные из условия, определим значения сил:

Модуль силы $\vec{F}_2$:

$F_2 = 2.5 \cdot F_1 = 2.5 \cdot 240 \text{ Н} = 600 \text{ Н}$

Модуль силы $\vec{F}_3$:

$F_3 = 3 \cdot F_1 = 3 \cdot 240 \text{ Н} = 720 \text{ Н}$

Модуль силы $\vec{F}_4$ равен модулю силы $\vec{F}_3$:

$F_4 = F_3 = 720 \text{ Н}$

Ответ: Силы, действующие на обруч: $\vec{F}_1$ — сила трения покоя, $\vec{F}_2$ — сила сопротивления воздуха, $\vec{F}_3$ — сила нормальной реакции опоры, $\vec{F}_4$ — сила тяжести. Их значения равны: $F_2 = 600 \text{ Н}$, $F_3 = 720 \text{ Н}$, $F_4 = 720 \text{ Н}$.

2. Проекция результирующей силы на направление движения

Результирующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой всех действующих на тело сил:

$\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4$

Направление движения — влево. Выберем ось Ox, сонаправленную с вектором скорости (то есть направленную влево). Проекция результирующей силы на эту ось $R_x$ равна сумме проекций всех сил на эту же ось:

$R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + F_{4x}$

Найдем проекции каждой силы:

• Проекция $\vec{F}_1$: вектор сонаправлен с осью Ox, поэтому $F_{1x} = F_1 = 240 \text{ Н}$.
• Проекция $\vec{F}_2$: вектор направлен противоположно оси Ox, поэтому $F_{2x} = -F_2 = -600 \text{ Н}$.
• Проекции $\vec{F}_3$ и $\vec{F}_4$: векторы перпендикулярны оси Ox, поэтому их проекции равны нулю: $F_{3x} = 0$, $F_{4x} = 0$.

Сложим проекции:

$R_x = 240 \text{ Н} - 600 \text{ Н} + 0 + 0 = -360 \text{ Н}$

Знак "минус" указывает на то, что результирующая сила направлена в сторону, противоположную движению, что и является причиной замедления обруча.

Ответ: Проекция результирующей силы на направление движения равна $-360 \text{ Н}$.

18.36 [н] Велосипедист, нажимая на педали, начинает движение по горизонтальной дороге. Как направлена сила трения, действующая со стороны дороги на переднюю и заднюю шины велосипеда? Ответ поясните.

Для того чтобы определить направление сил трения, действующих на колеса велосипеда, необходимо различать ведущее и ведомое колеса.

Заднее колесо

Когда велосипедист нажимает на педали, через цепную передачу создается крутящий момент, который прикладывается к заднему колесу. Этот момент стремится провернуть заднее колесо по часовой стрелке (если велосипед движется вправо). В точке контакта с дорогой нижняя часть шины пытается сдвинуть поверхность дороги назад (против направления движения велосипеда). В соответствии с третьим законом Ньютона, дорога действует на шину с равной по модулю и противоположной по направлению силой. Эта сила — сила трения покоя (поскольку в идеальном случае точка контакта колеса с дорогой не проскальзывает). Именно эта сила трения, направленная вперед (по ходу движения), и является движущей силой, которая разгоняет велосипед.

Переднее колесо

Переднее колесо является ведомым, то есть на него не передается крутящий момент от педалей. Оно вращается пассивно, потому что его "тащит" за собой рама велосипеда. Если бы трения не было, переднее колесо просто скользило бы вперед, не вращаясь. Однако из-за трения в оси колеса и деформации шины возникает сопротивление вращению. Сила трения со стороны дороги противодействует этому скольжению и заставляет колесо вращаться. Эта сила трения является силой трения качения и всегда направлена против направления движения. Таким образом, на переднее колесо действует тормозящая сила трения, направленная назад.

Ответ: Сила трения, действующая со стороны дороги на заднюю (ведущую) шину, направлена вперед, по ходу движения велосипеда, и является движущей силой. Сила трения, действующая на переднюю (ведомую) шину, направлена назад, против хода движения, и является силой сопротивления (трения качения).

18.37 [429] Можно ли однозначно утверждать, что приращение $\Delta F$ силы сопротивления равно 3 мН, если скорость тела, движущегося в некоторой среде с коэффициентом сопротивления 0,01, увеличилась на 0,3 м/с?

Дано:

Коэффициент сопротивления, $k_{условн.} = 0,01$ (единицы СИ не определены)

Приращение скорости, $\Delta v = 0,3$ м/с

Предполагаемое приращение силы сопротивления, $\Delta F_{предп.} = 3$ мН

Приведем данные в систему СИ:

$\Delta F_{предп.} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 0,003 \text{ Н}$

Найти:

Можно ли однозначно утверждать, что реальное приращение силы сопротивления $\Delta F$ равно 3 мН?

Решение:

Ответ на этот вопрос зависит от того, как именно сила сопротивления среды ($F_{сопр}$) зависит от скорости тела ($v$). В условии задачи эта зависимость не уточнена, а она может быть разной. Рассмотрим два наиболее распространенных физических случая.

Случай 1: Сила сопротивления пропорциональна скорости (линейная зависимость)

Такая зависимость, описываемая формулой $F_{сопр} = k \cdot v$, характерна для движения с малыми скоростями (ламинарное обтекание, закон Стокса). Коэффициент сопротивления $k$ в этом случае имеет размерность кг/с. Примем, что указанный в условии коэффициент равен $k = 0,01$ кг/с.

Пусть начальная скорость тела равна $v_1$, а конечная – $v_2$. Тогда приращение силы сопротивления $\Delta F$ вычисляется как:

$\Delta F = F_2 - F_1 = k \cdot v_2 - k \cdot v_1 = k \cdot (v_2 - v_1) = k \cdot \Delta v$

Как видим, в этом случае приращение силы не зависит от начальной скорости. Подставим числовые значения:

$\Delta F = 0,01 \text{ кг/с} \cdot 0,3 \text{ м/с} = 0,003 \text{ Н} = 3 \text{ мН}$

При линейной зависимости силы сопротивления от скорости утверждение из задачи оказывается верным.

Случай 2: Сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости (квадратичная зависимость)

Такая зависимость, описываемая формулой $F_{сопр} = C \cdot v^2$, характерна для движения с большими скоростями (турбулентное обтекание). Коэффициент сопротивления $C$ в этом случае имеет размерность кг/м. Примем, что указанный в условии коэффициент равен $C = 0,01$ кг/м.

Вычислим приращение силы сопротивления для этого случая. Пусть конечная скорость $v_2 = v_1 + \Delta v$.

$\Delta F = F_2 - F_1 = C \cdot v_2^2 - C \cdot v_1^2 = C \cdot ((v_1 + \Delta v)^2 - v_1^2)$

Раскроем скобки:

$\Delta F = C \cdot (v_1^2 + 2v_1\Delta v + (\Delta v)^2 - v_1^2) = C \cdot (2v_1\Delta v + (\Delta v)^2) = C \cdot \Delta v \cdot (2v_1 + \Delta v)$

В данном случае приращение силы $\Delta F$ зависит от начальной скорости $v_1$. Следовательно, утверждение, что $\Delta F$ всегда равно 3 мН, не может быть верным. Оно было бы верным только для конкретного значения $v_1$. Найдем его, подставив известные значения:

$0,003 \text{ Н} = 0,01 \text{ кг/м} \cdot 0,3 \text{ м/с} \cdot (2v_1 + 0,3 \text{ м/с})$

$0,003 = 0,003 \cdot (2v_1 + 0,3)$

$1 = 2v_1 + 0,3$

$2v_1 = 0,7 \implies v_1 = 0,35$ м/с

Только если тело начало ускоряться со скорости 0,35 м/с, приращение силы сопротивления составит 3 мН. При любой другой начальной скорости результат будет иным.

Вывод

Так как в условии задачи не указан закон зависимости силы сопротивления от скорости, однозначный ответ дать невозможно. Утверждение верно для линейной зависимости, но в общем случае неверно для квадратичной зависимости, так как в последнем случае результат зависит от начальной скорости. Поэтому однозначно утверждать, что $\Delta F = 3$ мН, нельзя.

Ответ: нет, однозначно утверждать нельзя, поскольку результат зависит от характера (линейного или квадратичного) зависимости силы сопротивления от скорости, который в условии задачи не указан.

18.38* [432*] Конькобежец вначале движется по горизонтальному пути равномерно, а затем путь 60 м до остановки проезжает за 25 с. Чему равен коэффициент трения скольжения коньков по льду?

Дано:

Путь, пройденный до остановки, $S = 60$ м
Время торможения, $t = 25$ с
Конечная скорость, $v = 0$ м/с
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Коэффициент трения скольжения, $\mu$

Решение:

Движение конькобежца во время торможения является равнозамедленным. Единственной силой, действующей на конькобежца в горизонтальном направлении, является сила трения скольжения $F_{тр}$. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает конькобежцу ускорение $a$:

$F_{тр} = ma$

Сила трения скольжения определяется формулой:

$F_{тр} = \mu N$

где $\mu$ – коэффициент трения скольжения, а $N$ – сила нормальной реакции опоры. Поскольку конькобежец движется по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции опоры равна по модулю силе тяжести:

$N = mg$

Приравнивая выражения для силы трения, получаем:

$\mu mg = ma$

Масса $m$ сокращается, и мы можем выразить коэффициент трения через ускорение:

$\mu = \frac{a}{g}$

Теперь найдем ускорение $a$ из кинематических данных. Для равноускоренного (в данном случае равнозамедленного) движения путь можно найти по формуле:

$S = \frac{v_0 + v}{2} t$

где $v_0$ – начальная скорость на участке торможения, $v$ – конечная скорость ($v=0$).

$S = \frac{v_0 + 0}{2} t = \frac{v_0 t}{2}$

Отсюда можем выразить начальную скорость $v_0$:

$v_0 = \frac{2S}{t} = \frac{2 \times 60 \text{ м}}{25 \text{ с}} = 4,8 \text{ м/с}$

Ускорение можно найти из формулы для скорости:

$v = v_0 + at$

Подставляем известные значения ($v=0$):

$0 = v_0 + at \implies a = -\frac{v_0}{t}$

Знак "минус" указывает на то, что ускорение направлено против начальной скорости (торможение). Для нахождения коэффициента трения нам нужен модуль ускорения:

$|a| = \frac{v_0}{t} = \frac{4,8 \text{ м/с}}{25 \text{ с}} = 0,192 \text{ м/с²}$

Теперь мы можем рассчитать коэффициент трения:

$\mu = \frac{|a|}{g} = \frac{0,192 \text{ м/с²}}{9,8 \text{ м/с²}} \approx 0,0196$

Округляя до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем $\mu \approx 0,020$.

Ответ: коэффициент трения скольжения коньков по льду равен приблизительно $0,020$.