Номер 18.37, страница 63 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 18. Сила трения и сила сопротивления движению. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 18.37, страница 63.

18.37 [429] Можно ли однозначно утверждать, что приращение $\Delta F$ силы сопротивления равно 3 мН, если скорость тела, движущегося в некоторой среде с коэффициентом сопротивления 0,01, увеличилась на 0,3 м/с?

Дано:

Коэффициент сопротивления, $k_{условн.} = 0,01$ (единицы СИ не определены)

Приращение скорости, $\Delta v = 0,3$ м/с

Предполагаемое приращение силы сопротивления, $\Delta F_{предп.} = 3$ мН

Приведем данные в систему СИ:

$\Delta F_{предп.} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 0,003 \text{ Н}$

Найти:

Можно ли однозначно утверждать, что реальное приращение силы сопротивления $\Delta F$ равно 3 мН?

Решение:

Ответ на этот вопрос зависит от того, как именно сила сопротивления среды ($F_{сопр}$) зависит от скорости тела ($v$). В условии задачи эта зависимость не уточнена, а она может быть разной. Рассмотрим два наиболее распространенных физических случая.

Случай 1: Сила сопротивления пропорциональна скорости (линейная зависимость)

Такая зависимость, описываемая формулой $F_{сопр} = k \cdot v$, характерна для движения с малыми скоростями (ламинарное обтекание, закон Стокса). Коэффициент сопротивления $k$ в этом случае имеет размерность кг/с. Примем, что указанный в условии коэффициент равен $k = 0,01$ кг/с.

Пусть начальная скорость тела равна $v_1$, а конечная – $v_2$. Тогда приращение силы сопротивления $\Delta F$ вычисляется как:

$\Delta F = F_2 - F_1 = k \cdot v_2 - k \cdot v_1 = k \cdot (v_2 - v_1) = k \cdot \Delta v$

Как видим, в этом случае приращение силы не зависит от начальной скорости. Подставим числовые значения:

$\Delta F = 0,01 \text{ кг/с} \cdot 0,3 \text{ м/с} = 0,003 \text{ Н} = 3 \text{ мН}$

При линейной зависимости силы сопротивления от скорости утверждение из задачи оказывается верным.

Случай 2: Сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости (квадратичная зависимость)

Такая зависимость, описываемая формулой $F_{сопр} = C \cdot v^2$, характерна для движения с большими скоростями (турбулентное обтекание). Коэффициент сопротивления $C$ в этом случае имеет размерность кг/м. Примем, что указанный в условии коэффициент равен $C = 0,01$ кг/м.

Вычислим приращение силы сопротивления для этого случая. Пусть конечная скорость $v_2 = v_1 + \Delta v$.

$\Delta F = F_2 - F_1 = C \cdot v_2^2 - C \cdot v_1^2 = C \cdot ((v_1 + \Delta v)^2 - v_1^2)$

Раскроем скобки:

$\Delta F = C \cdot (v_1^2 + 2v_1\Delta v + (\Delta v)^2 - v_1^2) = C \cdot (2v_1\Delta v + (\Delta v)^2) = C \cdot \Delta v \cdot (2v_1 + \Delta v)$

В данном случае приращение силы $\Delta F$ зависит от начальной скорости $v_1$. Следовательно, утверждение, что $\Delta F$ всегда равно 3 мН, не может быть верным. Оно было бы верным только для конкретного значения $v_1$. Найдем его, подставив известные значения:

$0,003 \text{ Н} = 0,01 \text{ кг/м} \cdot 0,3 \text{ м/с} \cdot (2v_1 + 0,3 \text{ м/с})$

$0,003 = 0,003 \cdot (2v_1 + 0,3)$

$1 = 2v_1 + 0,3$

$2v_1 = 0,7 \implies v_1 = 0,35$ м/с

Только если тело начало ускоряться со скорости 0,35 м/с, приращение силы сопротивления составит 3 мН. При любой другой начальной скорости результат будет иным.

Вывод

Так как в условии задачи не указан закон зависимости силы сопротивления от скорости, однозначный ответ дать невозможно. Утверждение верно для линейной зависимости, но в общем случае неверно для квадратичной зависимости, так как в последнем случае результат зависит от начальной скорости. Поэтому однозначно утверждать, что $\Delta F = 3$ мН, нельзя.

Ответ: нет, однозначно утверждать нельзя, поскольку результат зависит от характера (линейного или квадратичного) зависимости силы сопротивления от скорости, который в условии задачи не указан.