Страница 57 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

17.9 [377] Чему должны быть равны показания динамометров, изображённых на рисунке II-83?

а) 25 Н

50 Н

H

б) 30 Н

90 Н

H

Рис. II-83

а) Дано:

Вес груза $P_1 = 50$ Н

Сила, действующая на корпус динамометра, $F_1 = 25$ Н

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Показания динамометра $F_{пок,а}$

Решение:

Динамометр — это прибор, который измеряет силу упругости, возникающую в его пружине при деформации. Показания прибора равны по модулю силе, которая растягивает эту пружину. В данном случае к крюку динамометра подвешен груз, который растягивает пружину с силой, равной своему весу $P_1$.

Сила $F_1 = 25$ Н приложена к корпусу динамометра, а не к его измерительному механизму (крюку и соединенной с ним пружине). Эта сила, а также сила реакции со стороны бокового крепления, действуют на корпус прибора и не влияют на величину растяжения пружины. Следовательно, они не влияют на показания динамометра.

Таким образом, показания динамометра будут равны весу подвешенного груза.

$F_{пок,а} = P_1 = 50$ Н

Ответ: показания динамометра равны 50 Н.

б) Дано:

Вес груза $P_2 = 90$ Н

Сила, приложенная к верхнему крюку, $F_2 = 30$ Н

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Показания динамометра $F_{пок,б}$

Решение:

Подвижная часть динамометра, к которой прикреплена пружина, находится под действием двух сил, направленных вдоль одной вертикальной прямой в противоположные стороны:
1. Вес груза $P_2 = 90$ Н, направленный вниз.
2. Внешняя сила $F_2 = 30$ Н, направленная вверх.

Пружина динамометра будет растянута силой, равной результирующей этих двух сил. Так как силы направлены в противоположные стороны, модуль результирующей силы $F_{раст}$, растягивающей пружину, равен разности модулей этих сил:

$F_{раст} = P_2 - F_2$

Подставим значения:

$F_{раст} = 90 \text{ Н} - 30 \text{ Н} = 60 \text{ Н}$

Показания динамометра будут равны модулю этой результирующей силы.

$F_{пок,б} = F_{раст} = 60$ Н

Ответ: показания динамометра равны 60 Н.

17.10 [378] Изобразите графически силу $5 \text{ H}$, действующую на тело в точке A (рис. II-84) горизонтально справа налево, и силу $6 \text{ H}$, действующую в противоположном направлении в точке B (масштаб: $0,5 \text{ см} --- 1 \text{ H}$). В каком направлении должно перемещаться тело? Чему равен модуль силы, приводящей его в движение?

Рис. II-84

Дано:

Найти:

Направление перемещения тела — ?

Модуль силы, приводящей тело в движение ($F_R$) — ?

Решение:

Сначала выполним первую часть задания — изобразим силы графически. Для этого нужно рассчитать длину векторов, представляющих силы, в заданном масштабе.

Длина вектора силы $F_A$: $L_A = F_A \cdot 0,5 \frac{\text{см}}{\text{Н}} = 5 \text{ Н} \cdot 0,5 \frac{\text{см}}{\text{Н}} = 2,5 \text{ см}$. Этот вектор приложен к точке А и направлен горизонтально влево.

Длина вектора силы $F_B$: $L_B = F_B \cdot 0,5 \frac{\text{см}}{\text{Н}} = 6 \text{ Н} \cdot 0,5 \frac{\text{см}}{\text{Н}} = 3,0 \text{ см}$. Этот вектор приложен к точке В и направлен горизонтально вправо (противоположно $F_A$).

Таким образом, для графического изображения нужно от точки А отложить отрезок длиной 2,5 см влево и поставить на его конце стрелку. От точки В нужно отложить отрезок длиной 3,0 см вправо и также поставить на его конце стрелку.

В каком направлении должно перемещаться тело?

На тело действуют две горизонтальные силы, направленные в противоположные стороны. Движение тела будет происходить в направлении большей по модулю силы. Сравним модули сил: $F_A = 5$ Н, а $F_B = 6$ Н. Так как $F_B > F_A$ ($6 \text{ Н} > 5 \text{ Н}$), тело будет перемещаться в направлении действия силы $F_B$, то есть горизонтально слева направо.

Ответ: Тело должно перемещаться горизонтально слева направо.

Чему равен модуль силы, приводящей его в движение?

Сила, приводящая тело в движение, является равнодействующей всех приложенных сил. Так как силы $F_A$ и $F_B$ действуют вдоль одной прямой, но в противоположных направлениях, модуль их равнодействующей $F_R$ равен разности их модулей:

$F_R = F_B - F_A$

Подставим числовые значения:

$F_R = 6 \text{ Н} - 5 \text{ Н} = 1 \text{ Н}$

Ответ: Модуль силы, приводящей тело в движение, равен 1 Н.

17.11 [379] Мальчик весом 400 Н держит на поднятой вверх руке гирю весом 100 Н. С какой силой он давит на землю?

Дано:

Вес мальчика $P_м = 400 \text{ Н}$

Вес гири $P_г = 100 \text{ Н}$

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силу, с которой мальчик давит на землю $F$ - ?

Решение:

Мальчик и гиря, которую он держит, образуют единую систему. Сила, с которой эта система давит на землю, равна общему весу системы "мальчик + гиря".

Вес — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. В данном случае мальчик является опорой для гири, а земля — опорой для мальчика. Сила давления мальчика на землю складывается из его собственного веса и веса гири, который передается на землю через тело мальчика.

Так как и вес мальчика, и вес гири являются силами, направленными вертикально вниз, то общая сила давления на землю будет равна их сумме.

Найдем общую силу $F$:

$F = P_м + P_г$

Подставим известные значения в формулу:

$F = 400 \text{ Н} + 100 \text{ Н} = 500 \text{ Н}$

Следовательно, мальчик давит на землю с силой 500 Н.

Ответ: мальчик давит на землю с силой $500 \text{ Н}$.

17.1.2 [380] На вопрос «Чему может быть равна равнодействующая двух сил $2\text{ Н}$ и $5\text{ Н}$, действующих на тело по одной прямой?» некоторые учащиеся дали ответы: $10\text{ Н}$; $7\text{ Н}$; $5\text{ Н}$; $4\text{ Н}$; $2\text{ Н}$; $3\text{ Н}$; $8\text{ Н}$. Какие из приведённых ответов правильные?

Дано

Сила $F_1 = 2$ Н
Сила $F_2 = 5$ Н
Силы действуют на тело по одной прямой.

Найти:

Какие из ответов (10 Н; 7 Н; 5 Н; 4 Н; 2 Н; 3 Н; 8 Н) являются правильными.

Решение

Равнодействующая сила — это результат векторного сложения всех сил, действующих на тело. Поскольку по условию задачи силы действуют по одной прямой, возможны два случая для определения модуля равнодействующей силы.

1. Силы направлены в одну сторону (сонаправлены). В этом случае модуль равнодействующей силы $R$ равен сумме модулей этих сил. Это максимальное возможное значение равнодействующей.
$R = F_1 + F_2 = 2 \text{ Н} + 5 \text{ Н} = 7 \text{ Н}$

2. Силы направлены в противоположные стороны. В этом случае модуль равнодействующей силы $R$ равен модулю разности модулей этих сил. Это минимальное возможное значение равнодействующей.
$R = |F_2 - F_1| = |5 \text{ Н} - 2 \text{ Н}| = 3 \text{ Н}$

Таким образом, равнодействующая данных сил может быть равна только 7 Н или 3 Н. Сравнивая эти результаты со списком предложенных ответов, мы видим, что правильными являются 7 Н и 3 Н. Остальные варианты (10 Н, 5 Н, 4 Н, 2 Н, 8 Н) невозможны при данных условиях.

Ответ: правильные ответы: 7 Н и 3 Н.

17.13 [381] На тело вдоль одной прямой действуют силы $3 \text{ Н}$; $4 \text{ Н}$; $5 \text{ Н}$. Может ли равнодействующая этих сил быть равной: $1 \text{ Н}$; $2 \text{ Н}$; $3 \text{ Н}$; $4 \text{ Н}$; $6 \text{ Н}$; $10 \text{ Н}$; $12 \text{ Н}$; $15 \text{ Н}$?

Дано:

На тело вдоль одной прямой действуют три силы с модулями:

$F_1 = 3$ Н

$F_2 = 4$ Н

$F_3 = 5$ Н

Данные величины представлены в системе СИ.

Найти:

Может ли модуль равнодействующей этих сил $R$ быть равным: 1 Н; 2 Н; 3 Н; 4 Н; 6 Н; 10 Н; 12 Н; 15 Н?

Решение:

Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой всех действующих сил: $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$. Поскольку по условию задачи все силы действуют вдоль одной прямой, то для нахождения модуля равнодействующей силы их модули нужно складывать или вычитать в зависимости от их направления. Рассмотрим все возможные комбинации направлений сил.

1. Максимальное значение модуля равнодействующей силы ($R_{max}$) достигается, когда все три силы направлены в одну сторону. В этом случае их модули складываются:

$R_{max} = F_1 + F_2 + F_3 = 3 \text{ Н} + 4 \text{ Н} + 5 \text{ Н} = 12 \text{ Н}$.

2. Другие возможные значения получаются, когда одна или две силы направлены в противоположную сторону. Рассмотрим случаи, когда одна сила направлена против двух других:

$R_a = |(F_2 + F_3) - F_1| = |(4 + 5) - 3| = |9 - 3| = 6 \text{ Н}$.

$R_b = |(F_1 + F_3) - F_2| = |(3 + 5) - 4| = |8 - 4| = 4 \text{ Н}$.

$R_c = |(F_1 + F_2) - F_3| = |(3 + 4) - 5| = |7 - 5| = 2 \text{ Н}$.

Таким образом, множество всех возможных значений для модуля равнодействующей силы: $\{2 \text{ Н}, 4 \text{ Н}, 6 \text{ Н}, 12 \text{ Н}\}$. Равнодействующая не может быть равна нулю, так как сумма модулей двух любых сил не равна модулю третьей силы.

Теперь проанализируем каждое из предложенных в задаче значений.

1 Н
Это значение не входит в множество возможных значений $\{2, 4, 6, 12\}$. Минимально возможная ненулевая равнодействующая сила равна 2 Н.

Ответ: не может.

2 Н
Да, это значение возможно. Например, если силы 3 Н и 4 Н направлены в одну сторону, а сила 5 Н — в противоположную: $R = |(3 + 4) - 5| = 2 \text{ Н}$.

Ответ: может.

3 Н
Это значение не входит в множество возможных значений $\{2, 4, 6, 12\}$.

Ответ: не может.

4 Н
Да, это значение возможно. Например, если силы 3 Н и 5 Н направлены в одну сторону, а сила 4 Н — в противоположную: $R = |(3 + 5) - 4| = 4 \text{ Н}$.

Ответ: может.

6 Н
Да, это значение возможно. Например, если силы 4 Н и 5 Н направлены в одну сторону, а сила 3 Н — в противоположную: $R = |(4 + 5) - 3| = 6 \text{ Н}$.

Ответ: может.

10 Н
Это значение не входит в множество возможных значений $\{2, 4, 6, 12\}$.

Ответ: не может.

12 Н
Да, это значение возможно, если все три силы направлены в одну сторону: $R = 3 + 4 + 5 = 12 \text{ Н}$.

Ответ: может.

15 Н
Это значение превышает максимально возможное значение равнодействующей силы, равное 12 Н.

Ответ: не может.

17.14 [382] На тело вдоль одной прямой действуют силы $20 \text{ кН}$ и $30 \text{ кН}$. Изобразите эти силы графически для случаев, когда их равнодействующая равна $10 \text{ кН}$ и $50 \text{ кН}$.

Дано:

$F_1 = 20 \text{ кН} = 20 \cdot 10^3 \text{ Н}$
$F_2 = 30 \text{ кН} = 30 \cdot 10^3 \text{ Н}$
$R_a = 10 \text{ кН} = 10 \cdot 10^3 \text{ Н}$
$R_b = 50 \text{ кН} = 50 \cdot 10^3 \text{ Н}$

Найти:

Изобразить силы $F_1$ и $F_2$ графически для случаев, когда их равнодействующая равна $R_a$ и $R_b$.

Решение:

Равнодействующая сила $\vec{R}$ двух сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$, действующих вдоль одной прямой, находится как их векторная сумма: $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$. Модуль равнодействующей силы зависит от взаимного направления векторов сил.

1. Если силы направлены в одну сторону, то модуль равнодействующей равен сумме модулей сил: $R = F_1 + F_2$.

2. Если силы направлены в противоположные стороны, то модуль равнодействующей равен модулю разности модулей сил: $R = |F_2 - F_1|$.

Равнодействующая равна 10 кН

Рассмотрим случай, когда равнодействующая сила $R_a = 10 \text{ кН}$. Проверим, какому варианту сложения сил это соответствует.

Сумма модулей: $F_1 + F_2 = 20 \text{ кН} + 30 \text{ кН} = 50 \text{ кН}$.

Разность модулей: $|F_2 - F_1| = |30 \text{ кН} - 20 \text{ кН}| = 10 \text{ кН}$.

Поскольку $R_a = 10 \text{ кН}$, это соответствует случаю, когда силы направлены в противоположные стороны. Направление равнодействующей силы совпадает с направлением большей по модулю силы, то есть силы $\vec{F_2}$.

Для графического изображения выберем масштаб, в котором длина вектора пропорциональна модулю силы. Пусть 10 кН соответствует длина в 40 условных единиц (пикселей) на схеме. Тогда сила $F_1 = 20 \text{ кН}$ будет изображена вектором длиной 80 ед., сила $F_2 = 30 \text{ кН}$ — вектором длиной 120 ед., а равнодействующая сила $R_a = 10 \text{ кН}$ — вектором длиной 40 ед.

Графическое изображение:

Ответ: для того чтобы равнодействующая сила была равна 10 кН, силы должны быть направлены в противоположные стороны. Направление равнодействующей совпадает с направлением большей силы (30 кН).

Равнодействующая равна 50 кН

Рассмотрим случай, когда равнодействующая сила $R_b = 50 \text{ кН}$. Сравним это значение с суммой модулей сил: $F_1 + F_2 = 20 \text{ кН} + 30 \text{ кН} = 50 \text{ кН}$. Поскольку $R_b = 50 \text{ кН}$, это соответствует случаю, когда силы направлены в одну сторону. Направление равнодействующей силы совпадает с направлением обеих сил.

Используя тот же масштаб (10 кН = 40 ед.), изобразим силы $F_1$ (80 ед.) и $F_2$ (120 ед.), направленные в одну сторону. Равнодействующая сила $R_b = 50 \text{ кН}$ будет изображена вектором длиной 200 ед.

Графическое изображение:

Ответ: для того чтобы равнодействующая сила была равна 50 кН, силы должны быть направлены в одну сторону. Направление равнодействующей совпадает с направлением обеих сил.

17.15* [383*] На тело действуют две силы в противоположных направлениях. С каким ускорением может двигаться тело, если известно, что под действием одной силы тело за 5 с прошло бы путь 100 м, а под действием другой силы за 3 с — путь, равный 27 м?

Дано:

$t_1 = 5$ с
$s_1 = 100$ м
$t_2 = 3$ с
$s_2 = 27$ м
$v_0 = 0$ м/с

Найти:

$a$ — ?

Решение:

В задаче рассматривается движение тела под действием сил. Предполагается, что в каждом из гипотетических случаев (когда действует только одна сила) тело начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$). Движение в этом случае является равноускоренным.

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости, вычисляется по формуле: $s = \frac{at^2}{2}$

Из этой формулы можно выразить ускорение, которое сила сообщает телу: $a = \frac{2s}{t^2}$

1. Найдем ускорение $a_1$, которое телу сообщила бы первая сила $F_1$: $a_1 = \frac{2s_1}{t_1^2} = \frac{2 \cdot 100 \text{ м}}{(5 \text{ с})^2} = \frac{200}{25} \text{ м/с}^2 = 8 \text{ м/с}^2$

2. Найдем ускорение $a_2$, которое телу сообщила бы вторая сила $F_2$: $a_2 = \frac{2s_2}{t_2^2} = \frac{2 \cdot 27 \text{ м}}{(3 \text{ с})^2} = \frac{54}{9} \text{ м/с}^2 = 6 \text{ м/с}^2$

Согласно второму закону Ньютона, сила пропорциональна ускорению: $F = ma$, где $m$ — масса тела. Таким образом, $F_1 = ma_1$ и $F_2 = ma_2$.

Когда обе силы действуют на тело одновременно в противоположных направлениях, их равнодействующая сила $F_{res}$ равна по модулю разности модулей этих сил: $F_{res} = |F_1 - F_2|$

Эта равнодействующая сила сообщит телу итоговое ускорение $a$, которое также определяется по второму закону Ньютона: $F_{res} = ma$

Приравняем выражения для равнодействующей силы: $ma = |F_1 - F_2| = |ma_1 - ma_2|$

Вынесем массу $m$ за скобки в правой части: $ma = m|a_1 - a_2|$

Поскольку масса тела не равна нулю, мы можем сократить ее в обеих частях уравнения. В результате получим искомое ускорение: $a = |a_1 - a_2|$

Подставим числовые значения: $a = |8 \text{ м/с}^2 - 6 \text{ м/с}^2| = 2 \text{ м/с}^2$

Ответ: тело может двигаться с ускорением 2 м/с².

17.16* [384*] Подъёмный кран поднимает груз массой 500 кг равноускоренно на высоту 16 м за 8 с. Определите силу тяжести и движущую силу. Сравните движущую силу $F$, силу тяжести $G$ и вес груза $P$.

Дано:

m = 500 кг

h = 16 м

t = 8 с

Движение равноускоренное, из состояния покоя (v₀ = 0 м/с)

Ускорение свободного падения g ≈ 9,8 м/с²

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

G, F - ?

Сравнить F, G, P.

Решение:

Прежде всего, определим ускорение a, с которым кран поднимает груз. Так как движение равноускоренное и начинается из состояния покоя, воспользуемся формулой для высоты подъема:

$h = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Поскольку начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается:

$h = \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы ускорение:

$a = \frac{2h}{t^2}$

Подставим известные значения:

$a = \frac{2 \cdot 16 \text{ м}}{(8 \text{ с})^2} = \frac{32 \text{ м}}{64 \text{ с}^2} = 0,5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Определите силу тяжести и движущую силу

1. Сила тяжести G, действующая на груз, — это сила его притяжения к Земле. Она вычисляется по формуле:

$G = m \cdot g$

$G = 500 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 4900 \text{ Н}$

2. Движущая сила F — это сила, с которой кран действует на груз (сила натяжения троса). Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение. На груз действуют две силы: направленная вверх движущая сила F и направленная вниз сила тяжести G. Запишем уравнение в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$F - G = ma$

Отсюда выразим движущую силу F:

$F = G + ma = m(g + a)$

Подставим числовые значения:

$F = 500 \text{ кг} \cdot (9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + 0,5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) = 500 \text{ кг} \cdot 10,3 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 5150 \text{ Н}$

Ответ: Сила тяжести $G = 4900$ Н, движущая сила $F = 5150$ Н.

Сравните движущую силу F, силу тяжести G и вес груза P

Вес груза P — это сила, с которой груз действует на подвес (в данном случае, на трос крана). Когда тело движется с ускорением a, направленным вверх, его вес увеличивается (состояние перегрузки) и определяется по формуле:

$P = m(g + a)$

Видно, что формула для веса P в данном случае совпадает с формулой для движущей силы F. Следовательно, их значения равны:

$P = F = 5150 \text{ Н}$

Теперь сравним численные значения всех трех сил:

Движущая сила: $F = 5150 \text{ Н}$

Сила тяжести: $G = 4900 \text{ Н}$

Вес груза: $P = 5150 \text{ Н}$

Таким образом, движущая сила равна весу груза, и обе эти силы больше силы тяжести. Это логично, так как для ускоренного подъема сила тяги должна не только компенсировать силу тяжести, но и сообщать грузу ускорение.

Соотношение между силами: $F = P > G$.

Ответ: Вес груза $P$ равен 5150 Н. Сравнение сил: $F = P = 5150$ Н; $G = 4900$ Н. Следовательно, $F = P > G$.

17.17* [385*] Пассажирский лифт, поднимающийся с постоянной скоростью, на верхних этажах движется равнозамедленно с ускорением $0,6 \text{ м/с}^2$. Чему равны вес пассажира массой 60 кг и сила тяжести, действующая на него при равномерном подъёме? при торможении?

Дано:

Масса пассажира, $m = 60 \text{ кг}$
Ускорение лифта при торможении, $a = 0.6 \text{ м/с²}$
Ускорение свободного падения, $g = 10 \text{ м/с²}$ (примем стандартное значение для упрощения расчетов)

Найти:

Вес пассажира ($P$) и силу тяжести ($F_т$) при равномерном подъёме и при торможении.

Решение:

Сначала определимся с понятиями. Сила тяжести ($F_т$) — это сила, с которой Земля притягивает пассажира. Она зависит только от массы пассажира и ускорения свободного падения и всегда направлена вертикально вниз. Её значение не зависит от того, как движется лифт.
$F_т = m \cdot g = 60 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} = 600 \text{ Н}$.
Таким образом, сила тяжести, действующая на пассажира, будет одинакова в обоих случаях.

Вес ($P$) — это сила, с которой тело (пассажир) действует на опору (пол лифта) вследствие гравитационного притяжения. По третьему закону Ньютона, вес по модулю равен силе нормальной реакции опоры ($N$), действующей на тело со стороны опоры. В отличие от силы тяжести, вес зависит от ускорения, с которым движется опора.
Для нахождения силы реакции опоры $N$ используем второй закон Ньютона: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх.

при равномерном подъёме

При равномерном подъёме лифт движется с постоянной скоростью, а значит, ускорение равно нулю: $a_1 = 0$.
На пассажира действуют две силы: сила тяжести $F_т$ (вниз) и сила реакции опоры $N_1$ (вверх).
Второй закон Ньютона в проекции на ось OY:
$N_1 - F_т = m \cdot a_1$
Так как $a_1 = 0$, то $N_1 - F_т = 0$, откуда $N_1 = F_т$.
Вес пассажира $P_1$ по модулю равен силе реакции опоры:
$P_1 = N_1 = F_т = 600 \text{ Н}$.

Ответ: Сила тяжести равна $600 \text{ Н}$, вес пассажира равен $600 \text{ Н}$.

при торможении

Лифт поднимается вверх и тормозит, то есть движется равнозамедленно. Это означает, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости, то есть вниз.
Величина ускорения $a_2 = 0.6 \text{ м/с²}$.
Запишем второй закон Ньютона для пассажира в проекции на ту же ось OY (направленную вверх):
$N_2 - F_т = m \cdot (-a_2)$
Знак "минус" перед $a_2$ указывает на то, что вектор ускорения направлен против оси OY.
Выразим силу реакции опоры $N_2$:
$N_2 = F_т - m \cdot a_2 = m \cdot g - m \cdot a_2 = m(g - a_2)$
Рассчитаем вес $P_2$, который равен $N_2$:
$P_2 = 60 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с²} - 0.6 \text{ м/с²}) = 60 \text{ кг} \cdot 9.4 \text{ м/с²} = 564 \text{ Н}$.
Сила тяжести, как мы уже установили, не изменяется и составляет $600 \text{ Н}$.

Ответ: Сила тяжести равна $600 \text{ Н}$, вес пассажира равен $564 \text{ Н}$.