Страница 59 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

17.27* [395*] Нить с шариком массой 50 г отклонили от положения равновесия на угол 30°, а затем отпустили. Определите силу, стремящуюся вернуть шарик в положение равновесия, и силу натяжения нити в момент начала движения.

Дано:

$m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$
$\alpha = 30°$
$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$F_в$ - сила, стремящаяся вернуть шарик в положение равновесия
$T$ - сила натяжения нити в момент начала движения

Решение:

На шарик в момент, когда его отпустили, действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Для анализа сил разложим силу тяжести $mg$ на две перпендикулярные составляющие:

1. Тангенциальную составляющую ($F_τ$), направленную по касательной к траектории движения шарика. Эта сила стремится вернуть шарик в положение равновесия.
2. Нормальную (радиальную) составляющую ($F_n$), направленную вдоль радиуса (нити) от шарика. Эта сила направлена противоположно силе натяжения нити.

Угол между вектором силы тяжести и нормальной составляющей равен углу отклонения нити $\alpha$.

Сила, стремящаяся вернуть шарик в положение равновесия

Сила, стремящаяся вернуть шарик в положение равновесия ($F_в$), — это тангенциальная составляющая силы тяжести. Из геометрии сил она определяется как: $F_в = F_τ = mg \sin\alpha$

Подставим известные значения: $F_в = 0.05 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin30°$

Так как $\sin30° = 0.5$: $F_в = 0.49 \text{ Н} \cdot 0.5 = 0.245 \text{ Н}$

Ответ: 0.245 Н.

Сила натяжения нити в момент начала движения

В момент начала движения шарик еще не набрал скорость, поэтому его скорость равна нулю ($v=0$). Следовательно, центростремительное ускорение также равно нулю ($a_ц = v^2/L = 0$).

Рассмотрим силы, действующие вдоль нити. По второму закону Ньютона в проекции на направление нити: $T - F_n = m a_ц$

$T - mg \cos\alpha = 0$

Отсюда сила натяжения нити равна нормальной составляющей силы тяжести: $T = mg \cos\alpha$

Подставим известные значения: $T = 0.05 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \cos30°$

Так как $\cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$: $T \approx 0.49 \text{ Н} \cdot 0.866 \approx 0.42434 \text{ Н}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $T \approx 0.424 \text{ Н}$.

Ответ: ≈0.424 Н.

17.28 [396] Чтобы сдвинуть с места застрявший автомобиль, его привязывают к дереву сильно натянутой длинной верёвкой. Затем, оттягивая верёвку посередине в сторону, перпендикулярную её направлению, человек легко может сдвинуть автомобиль с места. Почему это возможно?

Это возможно благодаря принципу разложения сил, который в данном случае обеспечивает большой выигрыш в силе. Рассмотрим физику процесса.

Дано:
Пусть $F_ч$ — это сила, которую человек прикладывает к середине веревки перпендикулярно ее первоначальному направлению.
$T$ — сила натяжения в каждой из половин веревки.
$F_а$ — сила, которая тянет автомобиль.
$\alpha$ — очень малый угол, на который каждая половина веревки отклоняется от прямой линии, соединяющей дерево и автомобиль.

Найти:
Объяснить, почему $F_а$ может быть значительно больше $F_ч$.

Решение:
Когда человек оттягивает середину сильно натянутой веревки, эта точка оказывается под действием трех сил: силы человека $F_ч$ и двух сил натяжения $T$, направленных от этой точки к автомобилю и к дереву.

Рассмотрим условие равновесия сил в точке приложения силы $F_ч$. Проекции сил на направление, перпендикулярное линии "дерево-автомобиль", должны компенсировать друг друга.

Сила человека $F_ч$ уравновешивается суммой проекций сил натяжения $T$ на это направление: $F_ч = T \sin(\alpha) + T \sin(\alpha) = 2T \sin(\alpha)$

Отсюда можно выразить силу натяжения веревки: $T = \frac{F_ч}{2 \sin(\alpha)}$

Сила, которая непосредственно тянет автомобиль, — это проекция силы натяжения $T$ на первоначальное направление веревки (вдоль линии "дерево-автомобиль"): $F_а = T \cos(\alpha)$

Подставим выражение для $T$ в эту формулу: $F_а = \left( \frac{F_ч}{2 \sin(\alpha)} \right) \cos(\alpha) = \frac{F_ч}{2} \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{F_ч}{2 \tan(\alpha)}$

Ключевой момент заключается в том, что веревка "сильно натянута" и "длинная". Это означает, что даже при небольшом усилии человека веревка отклоняется на очень малый угол $\alpha$. Для малых углов значение тангенса $\tan(\alpha)$ очень мало (стремится к нулю).

Поскольку в нашей формуле $F_а = \frac{F_ч}{2 \tan(\alpha)}$ малая величина $\tan(\alpha)$ находится в знаменателе, результат деления (сила $F_а$) оказывается во много раз больше, чем приложенная человеком сила $F_ч$. Например, если угол $\alpha$ таков, что $\tan(\alpha) = 0.05$, то выигрыш в силе будет $F_а = \frac{F_ч}{2 \cdot 0.05} = \frac{F_ч}{0.1} = 10F_ч$. Таким образом, приложив усилие в 500 Н (около 50 кгс), можно создать тянущую силу в 5000 Н (около 500 кгс), которой может быть достаточно, чтобы сдвинуть застрявший автомобиль.

Ответ: Это возможно потому, что небольшая сила, приложенная перпендикулярно к сильно натянутой веревке, создает в ней очень большую силу натяжения. Горизонтальная составляющая этой силы натяжения, которая и тянет автомобиль, оказывается значительно больше, чем усилие, приложенное человеком. Этот метод дает большой выигрыш в силе.

17.29* [397*] Сила тяжести, которая действует на груз, подвешенный к кронштейну, равна 60 Н. Определите силы, действующие на горизонтальную поперечину AB и подкос BC, линейные размеры которых указаны в условных единицах на рисунке II-87.

Рис. II-87

Дано:
Сила тяжести, действующая на груз, $P = 60$ Н.
Длина горизонтальной поперечины $AB = 400$ условных единиц.
Длина подкоса $BC = 500$ условных единиц.

Найти:
Силу, действующую на поперечину $AB$ ($F_{AB}$)
Силу, действующую на подкос $BC$ ($F_{BC}$)

Решение:

Рассмотрим узел $B$, в котором сходятся три силы: сила тяжести груза $\vec{P}$, направленная вертикально вниз, сила реакции опоры со стороны поперечины $AB$ $\vec{F}_{AB}$, направленная горизонтально, и сила реакции опоры со стороны подкоса $BC$ $\vec{F}_{BC}$, направленная вдоль подкоса.

Поскольку система находится в равновесии, векторная сумма сил, приложенных к точке $B$, равна нулю (первое условие равновесия):
$\vec{P} + \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BC} = 0$

Это означает, что векторы сил образуют замкнутый силовой треугольник. Так как сила $\vec{P}$ вертикальна, а сила $\vec{F}_{AB}$ горизонтальна, силовой треугольник является прямоугольным. Этот силовой треугольник подобен геометрическому треугольнику $ABC$, образованному элементами конструкции.

Найдем длину вертикального катета $AC$ в треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:
$AC^2 + AB^2 = BC^2$
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{500^2 - 400^2} = \sqrt{250000 - 160000} = \sqrt{90000} = 300$ условных единиц.

Из подобия силового треугольника (со сторонами, равными модулям сил $P$, $F_{AB}$, $F_{BC}$) и геометрического треугольника $ABC$ (со сторонами $AC$, $AB$, $BC$) следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{P}{AC} = \frac{F_{AB}}{AB} = \frac{F_{BC}}{BC}$

Из этой пропорции найдем искомые силы.

1. Сила, действующая на поперечину $AB$:
$\frac{P}{AC} = \frac{F_{AB}}{AB} \Rightarrow F_{AB} = P \cdot \frac{AB}{AC}$
$F_{AB} = 60 \text{ Н} \cdot \frac{400}{300} = 60 \cdot \frac{4}{3} = 80 \text{ Н}$
Поперечина $AB$ испытывает сжатие.

2. Сила, действующая на подкос $BC$:
$\frac{P}{AC} = \frac{F_{BC}}{BC} \Rightarrow F_{BC} = P \cdot \frac{BC}{AC}$
$F_{BC} = 60 \text{ Н} \cdot \frac{500}{300} = 60 \cdot \frac{5}{3} = 100 \text{ Н}$
Подкос $BC$ также испытывает сжатие.

Ответ: сила, действующая на горизонтальную поперечину $AB$, равна 80 Н; сила, действующая на подкос $BC$, равна 100 Н.

17.30 [398] Фонарь массой 5 кг укреплён на подвесе (рис. II-88).

Определите силы, действующие на брусок AB и проволоку CB.

Рис. II-88

Дано:

Значение массы уже представлено в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Решение:

Конструкция с фонарем находится в равновесии. Рассмотрим точку B, к которой приложены три силы: сила тяжести фонаря $\vec{P}$, сила натяжения проволоки $\vec{T}_{CB}$ и сила реакции (упругости) со стороны бруска $\vec{F}_{AB}$. Согласно первому закону Ньютона, для равновесия необходимо, чтобы векторная сумма всех сил, действующих на точку B, была равна нулю:

$\vec{P} + \vec{T}_{CB} + \vec{F}_{AB} = 0$

Сила тяжести $\vec{P}$ направлена вертикально вниз. Её модуль равен:

$P = mg = 5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 50 \text{ Н}$

Сила $\vec{F}_{AB}$ направлена вдоль бруска AB. Поскольку проволока CB тянет точку B вверх и влево, для компенсации горизонтальной составляющей силы натяжения брусок должен толкать точку B вправо. Это означает, что брусок AB испытывает сжатие, а сила $\vec{F}_{AB}$, действующая на точку B, направлена от стены (от A к B).

Сила натяжения проволоки $\vec{T}_{CB}$ направлена вдоль проволоки от точки B к точке C. Проволока испытывает растяжение.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке B. Направим ось Ox горизонтально вправо (вдоль $\vec{F}_{AB}$), а ось Oy — вертикально вверх.

Определим угол $\alpha$, который проволока CB образует с горизонталью (с бруском AB). Треугольник ABC является прямоугольным, так как брусок AB перпендикулярен стене AC. Поскольку катеты равны ($AB = AC = 500$ ед.), треугольник также является равнобедренным. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны $45^\circ$. Следовательно, $\alpha = \angle ABC = 45^\circ$.

Запишем условие равновесия в проекциях на оси координат:

Проекция на ось Ox: $F_{AB} - T_{CB} \cos \alpha = 0$ (1)

Проекция на ось Oy: $T_{CB} \sin \alpha - P = 0$ (2)

Из уравнения (2) найдем силу натяжения проволоки $T_{CB}$:

$T_{CB} = \frac{P}{\sin \alpha} = \frac{50 \text{ Н}}{\sin 45^\circ} = \frac{50 \text{ Н}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \text{ Н} = 50\sqrt{2} \text{ Н}$

Приблизительное значение: $T_{CB} \approx 50 \cdot 1,414 = 70,7 \text{ Н}$.

Эта сила растягивает проволоку CB.

Теперь из уравнения (1) найдем силу, с которой брусок действует на точку B, которая по модулю равна силе сжатия бруска $F_{AB}$:

$F_{AB} = T_{CB} \cos \alpha = (50\sqrt{2} \text{ Н}) \cdot \cos 45^\circ = (50\sqrt{2} \text{ Н}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 50 \cdot \frac{2}{2} \text{ Н} = 50 \text{ Н}$

Эта сила сжимает брусок AB.

Таким образом, сила, действующая на проволоку CB, является силой растяжения (натяжения), а сила, действующая на брусок AB, является силой сжатия.

Ответ: сила, действующая на брусок AB, — это сила сжатия, равная $50 \text{ Н}$; сила, действующая на проволоку CB, — это сила натяжения, равная $50\sqrt{2} \text{ Н}$ (приблизительно $70,7 \text{ Н}$).

17.31 [Д. 47] По условию задачи 16.21 определите направление и модуль равнодействующей сил, представленных на рисунке II-78.

Дано:

По условию задачи 16.21 и рисунку II-78 задана система из четырех сходящихся сил, приложенных к началу координат:
Сила $F_1 = 10$ Н, направлена вдоль положительного направления оси Oy (угол $90^\circ$ с осью Ox).
Сила $F_2 = 20$ Н, образует угол $\alpha_2 = 30^\circ$ с положительным направлением оси Ox.
Сила $F_3 = 30$ Н, образует угол $\alpha_3 = -45^\circ$ с положительным направлением оси Ox (или $45^\circ$ в четвертой четверти).
Сила $F_4 = 40$ Н, образует угол $60^\circ$ с отрицательным направлением оси Ox в третьей четверти. Угол с положительным направлением оси Ox составляет $\alpha_4 = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$.

Найти:

Модуль равнодействующей силы $R$ и ее направление (угол $\alpha$ с положительным направлением оси Ox).

Решение:

Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой всех действующих сил: $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4}$. Для нахождения модуля и направления равнодействующей силы воспользуемся методом проекций. Найдем проекции каждой силы на оси координат Ox и Oy.

Проекции сил на ось Ox: $F_{1x} = F_1 \cos(90^\circ) = 10 \cdot 0 = 0$ Н
$F_{2x} = F_2 \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ Н
$F_{3x} = F_3 \cos(-45^\circ) = 30 \cdot \cos(45^\circ) = 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$ Н
$F_{4x} = F_4 \cos(240^\circ) = 40 \cdot (-\frac{1}{2}) = -20$ Н

Проекция равнодействующей силы на ось Ox равна сумме проекций всех сил: $R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + F_{4x} = 0 + 10\sqrt{3} + 15\sqrt{2} - 20 = 10\sqrt{3} + 15\sqrt{2} - 20$ Н.
Вычислим приближенное значение: $R_x \approx 10 \cdot 1,732 + 15 \cdot 1,414 - 20 = 17,32 + 21,21 - 20 = 18,53$ Н.

Проекции сил на ось Oy: $F_{1y} = F_1 \sin(90^\circ) = 10 \cdot 1 = 10$ Н
$F_{2y} = F_2 \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ Н
$F_{3y} = F_3 \sin(-45^\circ) = -30 \cdot \sin(45^\circ) = -30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -15\sqrt{2}$ Н
$F_{4y} = F_4 \sin(240^\circ) = 40 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -20\sqrt{3}$ Н

Проекция равнодействующей силы на ось Oy равна сумме проекций всех сил: $R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} + F_{4y} = 10 + 10 - 15\sqrt{2} - 20\sqrt{3} = 20 - 15\sqrt{2} - 20\sqrt{3}$ Н.
Вычислим приближенное значение: $R_y \approx 20 - 15 \cdot 1,414 - 20 \cdot 1,732 = 20 - 21,21 - 34,64 = -35,85$ Н.

Модуль равнодействующей силы найдем по теореме Пифагора: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \approx \sqrt{(18,53)^2 + (-35,85)^2} = \sqrt{343,3609 + 1285,2225} = \sqrt{1628,5834} \approx 40,36$ Н.

Направление равнодействующей силы определим по тангенсу угла $\alpha$, который вектор $\vec{R}$ составляет с положительным направлением оси Ox. $\tan \alpha = \frac{R_y}{R_x} \approx \frac{-35,85}{18,53} \approx -1,9347$.
Отсюда, $\alpha = \arctan(-1,9347) \approx -62,66^\circ$.

Поскольку проекция $R_x > 0$ и $R_y < 0$, вектор равнодействующей силы направлен в четвертую координатную четверть, что согласуется со знаком вычисленного угла.

Ответ: модуль равнодействующей силы $R \approx 40,4$ Н, сила направлена под углом $\alpha \approx -62,7^\circ$ к положительному направлению оси Ox.

17.32 [д. 48] Небольшой шарик массой $m$, подвешенный на нити длиной $l$, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси. Нить образует с осью вращения угол $\alpha$. Сделайте рисунок и определите центростремительную силу и силу натяжения нити. С какой частотой осуществляется вращение? Вычислите линейную скорость шарика.

Дано:

Масса шарика: $m$

Длина нити: $l$

Угол отклонения нити от вертикали: $\alpha$

Найти:

Центростремительную силу: $F_{ц}$

Силу натяжения нити: $T$

Частоту вращения: $f$

Линейную скорость шарика: $v$

Решение:

Рисунок и силы, действующие на шарик

Шарик, вращаясь, описывает горизонтальную окружность. На него действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Геометрически можно определить радиус окружности $r$ как $r = l \sin(\alpha)$.

Для решения задачи разложим силу натяжения нити $T$ на две компоненты: вертикальную $T_y = T \cos(\alpha)$ и горизонтальную $T_x = T \sin(\alpha)$.

Определите центростремительную силу и силу натяжения нити.

Применим второй закон Ньютона. Поскольку шарик не движется по вертикали, вертикальная компонента силы натяжения уравновешивает силу тяжести:

$T_y = mg \implies T \cos(\alpha) = mg$

Из этого уравнения выразим силу натяжения нити $T$:

$T = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

Горизонтальная компонента силы натяжения $T_x$ является равнодействующей силой, которая направлена к центру окружности и сообщает шарику центростремительное ускорение. Эта сила и есть центростремительная сила $F_ц$:

$F_ц = T_x = T \sin(\alpha)$

Подставим в это выражение найденное значение для $T$:

$F_ц = \left(\frac{mg}{\cos(\alpha)}\right) \sin(\alpha) = mg \tan(\alpha)$

Ответ: Сила натяжения нити $T = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$, центростремительная сила $F_ц = mg \tan(\alpha)$.

С какой частотой осуществляется вращение?

Центростремительная сила связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом вращения $r$ формулой $F_ц = m\omega^2 r$. Угловая скорость, в свою очередь, связана с частотой $f$ как $\omega = 2\pi f$.

Приравняем два выражения для центростремительной силы:

$mg \tan(\alpha) = m\omega^2 r = m(2\pi f)^2 (l \sin(\alpha))$

$g \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 4\pi^2 f^2 l \sin(\alpha)$

Сократим массу $m$ и $\sin(\alpha)$ (при условии, что $\alpha \neq 0$):

$\frac{g}{\cos(\alpha)} = 4\pi^2 f^2 l$

Выразим квадрат частоты:

$f^2 = \frac{g}{4\pi^2 l \cos(\alpha)}$

Отсюда находим частоту вращения:

$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l \cos(\alpha)}}$

Ответ: $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l \cos(\alpha)}}$.

Вычислите линейную скорость шарика.

Линейную скорость $v$ можно найти из формулы для центростремительной силы: $F_ц = \frac{mv^2}{r}$.

Выразим $v^2$:

$v^2 = \frac{F_ц \cdot r}{m}$

Подставим известные выражения для $F_ц = mg \tan(\alpha)$ и $r = l \sin(\alpha)$:

$v^2 = \frac{mg \tan(\alpha) \cdot l \sin(\alpha)}{m} = gl \tan(\alpha)\sin(\alpha)$

$v^2 = gl \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \sin(\alpha) = \frac{gl \sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Извлекая квадратный корень, получаем выражение для линейной скорости:

$v = \sqrt{\frac{gl \sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \sin(\alpha) \sqrt{\frac{gl}{\cos(\alpha)}}$

Ответ: $v = \sin(\alpha) \sqrt{\frac{gl}{\cos(\alpha)}}$.

17.33 [н] Тело, помещённое на идеально гладкую наклонную поверхность, скользит по ней вниз. Изобразите силы, действующие на тело и на поверхность.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на тело и на наклонную поверхность по отдельности, в соответствии с условием задачи.

Силы, действующие на тело

На тело, скользящее по идеально гладкой наклонной поверхности, действуют две силы:

1. Сила тяжести ($m\vec{g}$): это сила, с которой Земля притягивает тело. Она всегда направлена строго вертикально вниз, к центру Земли. Точка приложения этой силы — центр масс тела.
2. Сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$): это сила, с которой наклонная поверхность действует на тело, препятствуя его прохождению сквозь нее. Эта сила всегда направлена перпендикулярно (нормально) к поверхности опоры, от поверхности.

Поскольку поверхность идеально гладкая, сила трения отсутствует ($\vec{F}_{тр} = 0$). Векторная сумма этих двух сил ($m\vec{g} + \vec{N}$) создает равнодействующую силу, направленную вдоль наклонной плоскости вниз. Эта равнодействующая сила, согласно второму закону Ньютона, сообщает телу ускорение.

На схематическом рисунке ниже изображены силы, действующие на тело (синий прямоугольник), скользящее по наклонной плоскости.

Ответ: На тело действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости. Сила трения отсутствует.

Силы, действующие на поверхность

Согласно третьему закону Ньютона, если одно тело действует на другое с некоторой силой, то второе тело действует на первое с силой, равной по модулю и противоположной по направлению. В данном случае мы рассматриваем силы, с которыми тело действует на наклонную поверхность.

1. Сила давления ($\vec{P}$): это сила, с которой тело давит на наклонную поверхность. По третьему закону Ньютона, она является силой реакции на силу нормальной реакции опоры $\vec{N}$. Следовательно, сила $\vec{P}$ равна по модулю силе $\vec{N}$ и направлена в противоположную сторону, то есть перпендикулярно поверхности, вглубь нее. Математически: $\vec{P} = -\vec{N}$.

Сила трения, с которой тело могло бы действовать на поверхность, равна нулю, так как поверхность идеально гладкая и, следовательно, сила трения скольжения, действующая на тело, также равна нулю.

Следует отметить, что на саму наклонную плоскость (как на физическое тело) также действуют ее собственная сила тяжести и сила реакции со стороны опоры, на которой она установлена, но в контексте взаимодействия со скользящим телом ключевой силой является сила давления $\vec{P}$.

Ответ: На поверхность со стороны тела действует одна сила — сила давления $\vec{P}$, которая равна по модулю силе нормальной реакции $\vec{N}$ и направлена перпендикулярно поверхности вглубь нее ($\vec{P} = -\vec{N}$).