Страница 55 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

16.17 [368] На горизонтальном участке пути трактор развил силу тяги 8 кН. Сила сопротивления движению трактора равна 6 кН. Вес трактора 40 кН. Изобразите эти силы графически (масштаб: $0.5 \text{ см} \text{ -- } 4000 \text{ Н}$).

Дано:

Сила тяги $F_{тяги} = 8 \text{ кН} = 8 \cdot 10^3 \text{ Н} = 8000 \text{ Н}$

Сила сопротивления $F_{сопр} = 6 \text{ кН} = 6 \cdot 10^3 \text{ Н} = 6000 \text{ Н}$

Вес трактора $P = 40 \text{ кН} = 40 \cdot 10^3 \text{ Н} = 40000 \text{ Н}$

Масштаб: $0,5 \text{ см} - 4000 \text{ Н}$

Найти:

Изобразить указанные силы графически.

Решение:

На трактор, движущийся по горизонтальному участку пути, действуют следующие силы:

• Сила тяги ($F_{тяги}$), направленная горизонтально в сторону движения.

• Сила сопротивления ($F_{сопр}$), направленная горизонтально в сторону, противоположную движению.

• Сила тяжести, равная по модулю весу трактора ($P$), направленная вертикально вниз. Мы будем использовать обозначение $P$ для этой силы, как дано в условии.

• Сила нормальной реакции опоры ($N$), направленная вертикально вверх. Поскольку поверхность горизонтальна, сила реакции опоры уравновешивает вес: $N = P = 40000 \text{ Н}$. В задаче требуется изобразить только силу тяги, силу сопротивления и вес.

Для графического изображения сил необходимо рассчитать длины векторов, соответствующих этим силам, в заданном масштабе. Масштаб: $0,5$ см соответствует $4000$ Н.

1. Длина вектора силы тяги ($L_{тяги}$):

$L_{тяги} = \frac{F_{тяги}}{4000 \text{ Н}} \cdot 0,5 \text{ см} = \frac{8000 \text{ Н}}{4000 \text{ Н}} \cdot 0,5 \text{ см} = 2 \cdot 0,5 \text{ см} = 1 \text{ см}$

2. Длина вектора силы сопротивления ($L_{сопр}$):

$L_{сопр} = \frac{F_{сопр}}{4000 \text{ Н}} \cdot 0,5 \text{ см} = \frac{6000 \text{ Н}}{4000 \text{ Н}} \cdot 0,5 \text{ см} = 1,5 \cdot 0,5 \text{ см} = 0,75 \text{ см}$

3. Длина вектора веса ($L_{P}$):

$L_{P} = \frac{P}{4000 \text{ Н}} \cdot 0,5 \text{ см} = \frac{40000 \text{ Н}}{4000 \text{ Н}} \cdot 0,5 \text{ см} = 10 \cdot 0,5 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Теперь изобразим эти силы графически. Все силы приложены к центру масс трактора. Сила тяги направлена в сторону движения (например, вправо), сила сопротивления – в противоположную сторону (влево), а вес – вертикально вниз.

Ответ: Длины векторов, изображающих силы в заданном масштабе, составляют: для силы тяги - $1$ см, для силы сопротивления - $0,75$ см, для веса - $5$ см. Графическое изображение сил представлено выше.

16.18 [д. 43] Лифт высотного здания в начале и конце пути движется с ускорением, а в средней части пути его скорость остаётся постоянной. Изобразите с помощью векторов силу тяжести и вес человека на каждом этапе подъёма и спуска лифта.

Решение

Для решения этой задачи необходимо различать два понятия: силу тяжести и вес тела.

Сила тяжести ($\vec{F}_{тяж}$) – это сила, с которой Земля притягивает тело. Она всегда направлена вертикально вниз и по модулю равна $F_{тяж} = mg$, где $m$ – масса тела, а $g$ – ускорение свободного падения. Вектор силы тяжести, действующей на человека, не изменяется при движении лифта.

Вес тела ($\vec{P}$) – это сила, с которой тело давит на опору. Эта сила приложена к опоре (в данном случае к полу лифта) и по Третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), действующей на тело. Вес человека, в отличие от силы тяжести, может изменяться в зависимости от ускорения лифта.

Запишем второй закон Ньютона для человека в лифте в проекции на вертикальную ось OY, направленную вверх:

$N - F_{тяж} = ma_y$ или $N - mg = ma_y$

Отсюда сила реакции опоры: $N = mg + ma_y = m(g+a_y)$.

Поскольку вес по модулю равен силе реакции опоры ($P=N$), то модуль веса равен $P = m(g+a_y)$, где $a_y$ – проекция вектора ускорения на вертикальную ось OY. Если ускорение направлено вверх, $a_y > 0$. Если ускорение направлено вниз, $a_y < 0$. Вектор веса $\vec{P}$ всегда направлен вертикально вниз.

Рассмотрим все этапы движения лифта.

Подъём лифта

а) Начало подъёма (ускоренное движение вверх)

Лифт начинает движение вверх, его скорость увеличивается. Ускорение $\vec{a}$ направлено вверх, поэтому его проекция $a_y > 0$. Модуль веса человека $P = m(g+a_y)$, следовательно $P > mg$. Человек испытывает перегрузку.

Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ направлен вертикально вниз. Вектор веса $\vec{P}$ также направлен вертикально вниз, но его модуль (длина вектора) больше модуля силы тяжести.

Ответ: Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ и вектор веса $\vec{P}$ направлены вертикально вниз. Модуль вектора веса больше модуля вектора силы тяжести ($P > F_{тяж}$).

б) Движение с постоянной скоростью вверх (средняя часть пути)

Лифт движется равномерно, его скорость постоянна. Ускорение $\vec{a}$ равно нулю, соответственно $a_y=0$.

В этом случае модуль веса $P = m(g+0) = mg$. Вес человека равен силе тяжести.

Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ направлен вертикально вниз. Вектор веса $\vec{P}$ также направлен вертикально вниз, и его модуль равен модулю силы тяжести.

Ответ: Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ и вектор веса $\vec{P}$ направлены вертикально вниз. Их модули равны ($P = F_{тяж}$).

в) Конец подъёма (замедленное движение вверх)

Лифт замедляет движение перед остановкой. Скорость направлена вверх, а ускорение $\vec{a}$ направлено в противоположную сторону, то есть вниз. Поэтому его проекция $a_y < 0$. Модуль веса $P = m(g+a_y)$, следовательно $P < mg$. Это состояние частичной невесомости.

Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ направлен вертикально вниз. Вектор веса $\vec{P}$ также направлен вертикально вниз, но его модуль меньше модуля силы тяжести.

Ответ: Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ и вектор веса $\vec{P}$ направлены вертикально вниз. Модуль вектора веса меньше модуля вектора силы тяжести ($P < F_{тяж}$).

Спуск лифта

г) Начало спуска (ускоренное движение вниз)

Лифт начинает движение вниз, его скорость увеличивается. Ускорение $\vec{a}$ направлено вниз, поэтому его проекция $a_y < 0$. Модуль веса $P = m(g+a_y)$, следовательно $P < mg$. Это состояние частичной невесомости.

Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ направлен вертикально вниз. Вектор веса $\vec{P}$ также направлен вертикально вниз, но его модуль меньше модуля силы тяжести.

Ответ: Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ и вектор веса $\vec{P}$ направлены вертикально вниз. Модуль вектора веса меньше модуля вектора силы тяжести ($P < F_{тяж}$).

д) Движение с постоянной скоростью вниз (средняя часть пути)

Лифт движется равномерно, его скорость постоянна. Ускорение $\vec{a}$ равно нулю, $a_y=0$.

В этом случае модуль веса $P = m(g+0) = mg$. Вес человека равен силе тяжести.

Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ направлен вертикально вниз. Вектор веса $\vec{P}$ также направлен вертикально вниз, и его модуль равен модулю силы тяжести.

Ответ: Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ и вектор веса $\vec{P}$ направлены вертикально вниз. Их модули равны ($P = F_{тяж}$).

е) Конец спуска (замедленное движение вниз)

Лифт замедляет движение перед остановкой. Скорость направлена вниз, а ускорение $\vec{a}$ направлено в противоположную сторону, то есть вверх. Поэтому его проекция $a_y > 0$. Модуль веса $P = m(g+a_y)$, следовательно $P > mg$. Человек испытывает перегрузку.

Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ направлен вертикально вниз. Вектор веса $\vec{P}$ также направлен вертикально вниз, но его модуль больше модуля силы тяжести.

Ответ: Вектор силы тяжести $\vec{F}_{тяж}$ и вектор веса $\vec{P}$ направлены вертикально вниз. Модуль вектора веса больше модуля вектора силы тяжести ($P > F_{тяж}$).

16.19 [д. 44] При спуске космического корабля вес космонавта оказался в 4 раза больше, чем его вес на Земле. Изобразите с помощью векторов в выбранном вами масштабе силу тяжести, действующую на космонавта, и его вес.

Дано:

Вес космонавта при спуске, $P$, в 4 раза больше его веса на Земле в состоянии покоя, $P_0$.
$P = 4 P_0$

Найти:

Изобразить с помощью векторов силу тяжести, действующую на космонавта ($\vec{F_т}$), и его вес ($\vec{P}$) в выбранном масштабе.

Решение:

Вес тела – это сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору или подвес. Сила тяжести – это сила, с которой Земля притягивает тело. В состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения вес тела равен силе тяжести, $P_0 = F_т = mg$, где $m$ – масса тела, а $g$ – ускорение свободного падения.

Когда космический корабль совершает спуск с торможением, он движется с ускорением, направленным против скорости. Так как корабль спускается (скорость направлена вниз), ускорение $\vec{a}$ направлено вверх. Такое состояние называют перегрузкой.

Запишем второй закон Ньютона для космонавта в проекции на вертикальную ось, направленную вверх. На космонавта действуют сила тяжести $\vec{F_т}$, направленная вниз, и сила реакции опоры $\vec{N}$ (со стороны кресла), направленная вверх.
$N - F_т = ma$

Вес космонавта $\vec{P}$ по определению — это сила, с которой он давит на опору (кресло). По третьему закону Ньютона, эта сила равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры: $P = N$. Следовательно, вектор веса $\vec{P}$ направлен вниз.

Из уравнения второго закона Ньютона находим модуль силы реакции опоры, а значит и веса:
$P = N = F_т + ma = mg + ma = m(g+a)$

По условию задачи, вес при спуске в 4 раза больше веса на Земле:
$P = 4 P_0 = 4mg$

Таким образом, мы должны изобразить два вектора, оба направленные вертикально вниз:
1. Вектор силы тяжести $\vec{F_т}$, модуль которого $F_т = mg$.
2. Вектор веса космонавта $\vec{P}$, модуль которого $P = 4mg$.

Для изображения векторов выберем масштаб. Пусть отрезок определенной длины (например, 1 см или одна клетка тетради) соответствует силе величиной $mg$. Тогда:

• Вектор силы тяжести $\vec{F_т}$ будет изображаться стрелкой, направленной вертикально вниз, длиной в 1 единицу масштаба.
• Вектор веса $\vec{P}$ будет изображаться стрелкой, направленной вертикально вниз, длиной в 4 единицы масштаба.

Схематическое изображение векторов:

Ответ:

Сила тяжести $\vec{F_т}$ и вес космонавта $\vec{P}$ при спуске — это два вектора, направленные вертикально вниз. Модуль веса в 4 раза больше модуля силы тяжести ($P = 4F_т$). В выбранном масштабе вектор $\vec{P}$ должен быть в 4 раза длиннее вектора $\vec{F_т}$, как показано на схеме.

16.20 [Д. 45] Изобразите в выбранном вами масштабе три силы, действующие на тело, если они направлены под углом $120^\circ$ по отношению друг к другу, причём сила, равная $10 \text{ кН}$, направлена вертикально вверх, а две другие равны по $25 \text{ кН}$ каждая.

Дано:

$F_1 = 10 \text{ кН}$
$F_2 = 25 \text{ кН}$
$F_3 = 25 \text{ кН}$
Угол между любыми двумя силами $\alpha = 120°$
Сила $\vec{F_1}$ направлена вертикально вверх

$F_1 = 10 \text{ кН} = 10 \cdot 10^3 \text{ Н} = 10000 \text{ Н}$
$F_2 = 25 \text{ кН} = 25 \cdot 10^3 \text{ Н} = 25000 \text{ Н}$
$F_3 = 25 \text{ кН} = 25 \cdot 10^3 \text{ Н} = 25000 \text{ Н}$

Найти:

Изобразить векторы сил $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$.

Решение:

Для графического изображения сил в виде векторов необходимо выбрать масштаб. Масштаб устанавливает соответствие между модулем (величиной) силы и длиной отрезка на чертеже.

1. Выберем удобный масштаб. Например, пусть 1 см на чертеже соответствует силе 5 кН.

2. Рассчитаем длины векторов, изображающих силы, в выбранном масштабе:
Длина вектора силы $\vec{F_1}$: $l_1 = \frac{F_1}{\text{масштаб}} = \frac{10 \text{ кН}}{5 \text{ кН/см}} = 2 \text{ см}$.
Длины векторов сил $\vec{F_2}$ и $\vec{F_3}$: $l_2 = l_3 = \frac{F_2}{\text{масштаб}} = \frac{25 \text{ кН}}{5 \text{ кН/см}} = 5 \text{ см}$.

3. Выполним построение векторов:
а) Выберем на плоскости точку O — точку приложения всех трех сил.
б) Из точки O проведем вектор $\vec{F_1}$ длиной $l_1 = 2 \text{ см}$ строго вертикально вверх, согласно условию задачи.
в) С помощью транспортира отложим от направления вектора $\vec{F_1}$ угол, равный $120°$ (например, по часовой стрелке), и из точки О проведем в этом направлении вектор $\vec{F_2}$ длиной $l_2 = 5 \text{ см}$.
г) Аналогично отложим от вектора $\vec{F_1}$ угол $120°$ в противоположную сторону (против часовой стрелки) и проведем вектор $\vec{F_3}$ длиной $l_3 = 5 \text{ см}$.

В результате получится чертеж, на котором из одной точки O исходят три вектора. Вектор $\vec{F_1}$ направлен вертикально вверх. Векторы $\vec{F_2}$ и $\vec{F_3}$ равны по длине и расположены симметрично относительно вертикальной прямой. Угол между каждой парой векторов ($\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$; $\vec{F_1}$ и $\vec{F_3}$; $\vec{F_2}$ и $\vec{F_3}$) составляет $120°$, что удовлетворяет условию задачи ($120° + 120° + 120° = 360°$).

Ответ:

Для изображения сил необходимо выбрать масштаб (например, 1 см : 5 кН). В этом масштабе длина вектора $\vec{F_1}$ равна 2 см, а длины векторов $\vec{F_2}$ и $\vec{F_3}$ — по 5 см. На чертеже из одной точки (точки приложения сил) следует провести три вектора: вектор $\vec{F_1}$ направить вертикально вверх, а векторы $\vec{F_2}$ и $\vec{F_3}$ направить под углами 120° к вектору $\vec{F_1}$ (и друг к другу), расположив их симметрично относительно вертикальной оси.

16.21 [Д. 46] На рисунке II-78 с помощью векторов изображены четыре силы, действующие на тело. Модуль вектора силы $\vec{F_3}$ соответствует 25 Н. Чему равны силы $F_1$, $F_2$, $F_4$, если $F_4 = \frac{3}{5}F_3$, а $F_1 = \frac{4}{3}F_4$? Назовите силы, действующие на тело.

Рис. II-78

Чему равны силы $F_1, F_2, F_4$, если $F_4 = \frac{3}{5}F_3$, а $F_1 = \frac{4}{3}F_4$?

Дано:

Найти:

$F_1, F_2, F_4$

Решение:

1. Для нахождения модуля силы $F_4$ воспользуемся соотношением, данным в условии, и значением силы $F_3$:

$F_4 = \frac{3}{5}F_3 = \frac{3}{5} \cdot 25 \text{ Н} = 3 \cdot 5 \text{ Н} = 15 \text{ Н}$

2. Теперь, зная модуль силы $F_4$, мы можем вычислить модуль силы $F_1$:

$F_1 = \frac{4}{3}F_4 = \frac{4}{3} \cdot 15 \text{ Н} = 4 \cdot 5 \text{ Н} = 20 \text{ Н}$

3. На рисунке видно, что силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ действуют вдоль вертикальной оси в противоположных направлениях. Предполагая, что тело находится в состоянии покоя или движется равномерно по горизонтальной поверхности (т.е. нет ускорения по вертикали), вертикальные силы уравновешивают друг друга. Это означает, что их модули равны.

$\sum F_y = 0 \implies F_2 - F_1 = 0 \implies F_2 = F_1$

Следовательно, модуль силы $F_2$ равен:

$F_2 = F_1 = 20 \text{ Н}$

Ответ: $F_1 = 20 \text{ Н}$, $F_2 = 20 \text{ Н}$, $F_4 = 15 \text{ Н}$.

Назовите силы, действующие на тело.

Исходя из направлений векторов на рисунке и стандартного описания взаимодействия тел, можно дать названия силам:

• $\vec{F_1}$ — сила, действующая со стороны Земли на тело и направленная вертикально вниз. Это сила тяжести.
• $\vec{F_2}$ — сила, действующая со стороны опоры на тело и направленная перпендикулярно опоре вверх. Это сила нормальной реакции опоры.
• $\vec{F_3}$ — внешняя сила, приложенная к телу и направленная горизонтально вправо. Это сила тяги.
• $\vec{F_4}$ — сила, возникающая при контакте тела с поверхностью и препятствующая его движению вправо. Она направлена горизонтально влево. Это сила трения.

Ответ: $\vec{F_1}$ — сила тяжести; $\vec{F_2}$ — сила нормальной реакции опоры; $\vec{F_3}$ — сила тяги; $\vec{F_4}$ — сила трения.

16.22 [353] Два связанных невесомой нерастяжимой нитью тела массами $m_1$ и $m_2$ ($m_2 > m_1$) лежат на гладком столе. Силу с одинаковым модулем $F$ прикладывают сначала к телу большей массы (рис. II-79, а), а затем к телу меньшей массы (рис. II-79, б). Одинакова ли сила натяжения нити в этих двух случаях? Изобразите силу натяжения нити в каждом случае.

Рис. II-79

Дано:

Два тела массами $m_1$ и $m_2$
Условие: $m_2 > m_1$
Сила, приложенная к системе: $F$
Поверхность гладкая (трение отсутствует)
Нить невесомая и нерастяжимая

Найти:

Сравнить силы натяжения нити $T_a$ и $T_b$ в двух случаях.
Изобразить (описать) силы натяжения нити в каждом случае.

Решение:

Поскольку нить нерастяжима, оба тела движутся как единое целое с одинаковым ускорением $a$. Согласно второму закону Ньютона, для системы тел, общая масса которой равна $m_1 + m_2$, ускорение будет:
$F = (m_1 + m_2)a$
Отсюда, ускорение системы в обоих случаях одинаково и равно:
$a = \frac{F}{m_1 + m_2}$

Случай а) Сила $F$ приложена к телу большей массы $m_2$ (рис. II-79, а).

В этом случае сила $F$ тянет тело $m_2$, а тело $m_2$ через нить тянет тело $m_1$. Обозначим силу натяжения нити как $T_a$. Эта сила действует на тело $m_1$ в направлении движения и на тело $m_2$ против направления движения.
Рассмотрим силы, действующие на тело $m_1$. Единственная горизонтальная сила, действующая на него, — это сила натяжения нити $T_a$. По второму закону Ньютона:
$T_a = m_1 a$
Подставим выражение для ускорения $a$:
$T_a = m_1 \frac{F}{m_1 + m_2}$

Случай б) Сила $F$ приложена к телу меньшей массы $m_1$ (рис. II-79, б).

Теперь сила $F$ тянет тело $m_1$, а тело $m_1$ через нить тянет тело $m_2$. Обозначим силу натяжения нити как $T_b$. Эта сила действует на тело $m_2$ в направлении движения и на тело $m_1$ против направления движения.
Рассмотрим силы, действующие на тело $m_2$. Единственная горизонтальная сила, действующая на него, — это сила натяжения нити $T_b$. По второму закону Ньютона:
$T_b = m_2 a$
Подставим то же самое выражение для ускорения $a$:
$T_b = m_2 \frac{F}{m_1 + m_2}$

Сравнение сил натяжения.

Теперь сравним полученные выражения для сил натяжения $T_a$ и $T_b$:
$T_a = \frac{m_1}{m_1 + m_2} F$
$T_b = \frac{m_2}{m_1 + m_2} F$
По условию задачи $m_2 > m_1$. Сравним дроби $\frac{m_1}{m_1 + m_2}$ и $\frac{m_2}{m_1 + m_2}$. Так как знаменатели у них одинаковы, а числитель $m_2$ больше числителя $m_1$, то:
$\frac{m_2}{m_1 + m_2} > \frac{m_1}{m_1 + m_2}$
Следовательно,
$T_b > T_a$
Таким образом, сила натяжения нити не одинакова в этих двух случаях. Она больше, когда внешняя сила приложена к телу меньшей массы (случай б), так как в этом случае нить должна разгонять тело большей массы.

Ответ: Сила натяжения нити в этих двух случаях не одинакова. Она больше в случае б), когда сила приложена к телу меньшей массы ($T_b > T_a$).
В случае а) сила натяжения $T_a$ приложена к телу $m_1$ и направлена в сторону движения, а к телу $m_2$ — в сторону, противоположную движению. Ее величина равна $T_a = F \frac{m_1}{m_1 + m_2}$.
В случае б) сила натяжения $T_b$ приложена к телу $m_2$ и направлена в сторону движения, а к телу $m_1$ — в сторону, противоположную движению. Ее величина равна $T_b = F \frac{m_2}{m_1 + m_2}$.