Страница 49 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

шек, чтобы он улетел как можно дальше? Сопротивление воздуха не учитывайте.

14.28* [н] В выбранной системе координат (рис. II-56) для описания движения тела кинематические уравнения

$v_x = v_0 \cos \alpha$, $v_y = v_0 \sin \alpha - gt$

$x = x_0 + v_0(\cos \alpha)t$, $y = y_0 + v_0(\sin \alpha)t - gt^2/2$

являются универсальными. Рассмотрите несколько из возможных направлений вектора начальной скорости $v_0$, сделайте рисунки и упростите уравнения с учётом правила отсчёта углов и преобразований тригонометрических функций. Можно ли поступательно переносить систему координат? Изменятся ли при этом: а) знак проекции вектора $v_0$ и вектора $g$; б) начальные координаты? Сохранят ли свою универсальность уравнения, приведённые выше, если поменять направление оси Y на противоположное?

Рис. II-56

Данные кинематические уравнения описывают движение тела, брошенного с начальной скоростью $\vec{v}_0$ под углом $\alpha$ к горизонту из точки с координатами $(x_0, y_0)$ в поле силы тяжести. Ускорение свободного падения $\vec{g}$ направлено вертикально вниз. Система координат выбрана так, что ось $X$ горизонтальна, а ось $Y$ вертикальна и направлена вверх. Угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси $X$ против часовой стрелки.

Уравнения являются проекциями векторных уравнений движения на оси координат:

$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{\vec{g}t^2}{2}$

$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{g}t$

В выбранной системе координат компоненты векторов равны: $\vec{r}_0 = (x_0, y_0)$, $\vec{v}_0 = (v_0 \cos \alpha, v_0 \sin \alpha)$, $\vec{g} = (0, -g)$. Подстановка этих компонент в векторные уравнения и дает исходные скалярные уравнения.

Рассмотрите несколько из возможных направлений вектора начальной скорости $\vec{v}_0$, сделайте рисунки и упростите уравнения с учётом правила отсчёта углов и преобразований тригонометрических функций.

Проанализируем, как данные уравнения работают для разных направлений начальной скорости, то есть для разных углов $\alpha$.

1. Тело брошено горизонтально вправо.
Вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ направлен вдоль оси $X$. Угол $\alpha = 0^\circ$.
$\cos(0^\circ) = 1$, $\sin(0^\circ) = 0$.
Уравнения принимают вид:
$v_x = v_0 \cos(0^\circ) = v_0$
$x = x_0 + v_0 t$
$v_y = v_0 \sin(0^\circ) - gt = -gt$
$y = y_0 - gt^2/2$
Эти уравнения корректно описывают горизонтальный бросок.

2. Тело брошено вертикально вверх.
Вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ направлен вдоль оси $Y$. Угол $\alpha = 90^\circ$.
$\cos(90^\circ) = 0$, $\sin(90^\circ) = 1$.
Уравнения принимают вид:
$v_x = v_0 \cos(90^\circ) = 0$
$x = x_0$
$v_y = v_0 \sin(90^\circ) - gt = v_0 - gt$
$y = y_0 + v_0 t - gt^2/2$
Эти уравнения корректно описывают движение тела, брошенного вертикально вверх.

3. Тело брошено влево и вверх (во вторую координатную четверть).
Пусть угол $\alpha = 135^\circ$.
$\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Уравнения принимают вид:
$v_x = -v_0 \frac{\sqrt{2}}{2}$ (проекция на ось $X$ отрицательна, что верно для движения влево)
$x = x_0 - (v_0 \frac{\sqrt{2}}{2})t$
$v_y = v_0 \frac{\sqrt{2}}{2} - gt$ (начальная проекция на ось $Y$ положительна, что верно для движения вверх)
$y = y_0 + (v_0 \frac{\sqrt{2}}{2})t - gt^2/2$
Уравнения правильно учитывают знаки проекций скорости.

4. Тело брошено вертикально вниз.
Вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ направлен против оси $Y$. Угол $\alpha = 270^\circ$ (или $-90^\circ$).
$\cos(270^\circ) = 0$, $\sin(270^\circ) = -1$.
Уравнения принимают вид:
$v_x = 0$
$x = x_0$
$v_y = v_0 \sin(270^\circ) - gt = -v_0 - gt$
$y = y_0 + v_0(\sin(270^\circ))t - gt^2/2 = y_0 - v_0 t - gt^2/2$
Уравнения корректно описывают движение тела, брошенного вертикально вниз.

Ответ: Приведенные уравнения являются универсальными для любого направления вектора начальной скорости $\vec{v}_0$ при условии, что угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси $X$. Тригонометрические функции $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ автоматически определяют правильные знаки проекций начальной скорости на оси координат для любого угла.

Можно ли поступательно переносить систему координат?

Да, можно. Законы Ньютона, из которых следуют данные кинематические уравнения, инвариантны относительно преобразований Галилея, частным случаем которых является параллельный перенос (поступательное смещение) системы отсчета. Выбор начала координат произволен и диктуется соображениями удобства. Часто начало координат совмещают с начальным положением тела $(x_0, y_0)$, что упрощает уравнения, так как в этом случае $x_0=0$ и $y_0=0$.

Ответ: Да, систему координат можно переносить поступательно.

Изменятся ли при этом: а) знак проекции вектора $\vec{v}_0$ и вектора $\vec{g}$; б) начальные координаты?

а) При поступательном переносе системы координат оси новой системы остаются параллельны осям старой системы. Векторы, такие как скорость $\vec{v}_0$ и ускорение $\vec{g}$, не зависят от выбора начала координат. Поскольку направления осей не меняются, то и проекции этих векторов на оси ($v_{0x}, v_{0y}, g_x, g_y$) остаются неизменными. Следовательно, их знаки также не изменятся.

б) Координаты точки определяются ее положением относительно начала координат. При смещении начала координат изменятся и координаты любой точки, включая начальное положение тела. Если новая система координат $X'Y'$ смещена относительно старой $XY$ так, что ее начало $O'$ имеет координаты $(x_{O'}, y_{O'})$ в старой системе, то новые начальные координаты тела $(x'_0, y'_0)$ будут связаны со старыми $(x_0, y_0)$ соотношениями: $x'_0 = x_0 - x_{O'}$ и $y'_0 = y_0 - y_{O'}$.

Ответ: а) Нет, знаки проекций векторов $\vec{v}_0$ и $\vec{g}$ не изменятся.
б) Да, начальные координаты изменятся.

Сохранят ли свою универсальность уравнения, приведённые выше, если поменять направление оси Y на противоположное?

Нет, не сохранят. Изменение направления оси $Y$ на противоположное является поворотом системы координат, а не ее поступательным переносом. В этом случае меняются правила проецирования векторов на эту ось.

Пусть новая ось $Y'$ направлена вертикально вниз. Ось $X$ остается без изменений.

1. Проекция ускорения свободного падения $\vec{g}$ на новую ось $Y'$ станет положительной: $g'_{y} = g$ (поскольку вектор $\vec{g}$ сонаправлен с осью $Y'$). В старой системе было $g_y = -g$.

2. Проекция начальной скорости $\vec{v}_0$ на ось $Y'$ будет иметь противоположный знак по сравнению с проекцией на старую ось $Y$: $v'_{0y} = -v_{0y} = -v_0 \sin\alpha$.

3. Координата $y'$ будет связана со старой координатой $y$ как $y' = -y$. Соответственно, $y'_0 = -y_0$.

Общее уравнение для координаты $y'$ будет иметь вид: $y'(t) = y'_0 + v'_{0y} t + \frac{g'_{y} t^2}{2}$.
Подставив новые проекции, получим:
$y'(t) = -y_0 + (-v_0 \sin\alpha) t + \frac{g t^2}{2} = -y_0 - v_0 \sin\alpha t + \frac{gt^2}{2}$.

Это уравнение по своей форме отличается от исходного уравнения для координаты $y$:
$y(t) = y_0 + v_0 \sin\alpha t - \frac{gt^2}{2}$.
Как видно, знаки при членах, содержащих $v_0$ и $g$, изменились. Это означает, что исходная форма записи уравнений не является универсальной по отношению к изменению направления осей. Данные уравнения справедливы только для системы координат, где ось $Y$ направлена вверх.

Ответ: Нет, уравнения не сохранят свою универсальность. Их форма изменится, так как изменятся знаки проекций векторов $\vec{g}$ и $\vec{v}_0$ на ось $Y$.

14.29 [н] Мяч для гольфа, отправленный в полёт с вершины холма высотой 10,0 м под углом $30^\circ$ к горизонту, упал на землю через 8,2 с. Определите:

модуль начальной скорости тела

дальность полёта

время, за которое мяч достиг наивысшей точки траектории

максимальную высоту полёта

Дано:

$h_0 = 10.0 \, м$
$\alpha = 30^\circ$
$t_{полн} = 8.2 \, с$
$g = 9.8 \, м/с^2$

Найти:

$v_0$ - модуль начальной скорости
$L$ - дальность полёта
$t_{подъема}$ - время подъема на максимальную высоту
$H_{max}$ - максимальная высота полёта

Решение:

Введем систему координат. Начало координат $(0;0)$ разместим на земле под точкой броска. Ось $OX$ направим горизонтально в сторону полёта, а ось $OY$ — вертикально вверх. Таким образом, начальные координаты мяча: $x_0 = 0$, $y_0 = h_0 = 10.0 \, м$.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали (ось $OX$) и равноускоренное по вертикали (ось $OY$) с ускорением $g$, направленным вниз.

Запишем уравнения движения:
Проекции начальной скорости на оси:
$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$
$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$
Координаты тела в любой момент времени $t$:
$x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t$
$y(t) = h_0 + v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

модуль начальной скорости тела

В момент падения на землю ($t = t_{полн}$) вертикальная координата мяча равна нулю: $y(t_{полн}) = 0$. Подставим известные значения в уравнение для $y(t)$: $0 = h_0 + v_0 \sin\alpha \cdot t_{полн} - \frac{g t_{полн}^2}{2}$

Выразим из этого уравнения начальную скорость $v_0$: $v_0 \sin\alpha \cdot t_{полн} = \frac{g t_{полн}^2}{2} - h_0$
$v_0 = \frac{\frac{g t_{полн}^2}{2} - h_0}{t_{полн} \sin\alpha}$

Подставим числовые значения: $v_0 = \frac{\frac{9.8 \cdot (8.2)^2}{2} - 10.0}{8.2 \cdot \sin30^\circ} = \frac{\frac{9.8 \cdot 67.24}{2} - 10.0}{8.2 \cdot 0.5} = \frac{329.476 - 10.0}{4.1} = \frac{319.476}{4.1} \approx 77.92 \, м/с$

Округляя до трех значащих цифр, получаем:

Ответ: модуль начальной скорости тела равен $77.9 \, м/с$.

дальность полёта

Дальность полёта $L$ — это горизонтальная координата $x$ в момент падения $t_{полн}$. $L = x(t_{полн}) = v_0 \cos\alpha \cdot t_{полн}$

Подставим значения, используя найденную скорость $v_0 \approx 77.92 \, м/с$ для большей точности: $L = 77.92 \cdot \cos30^\circ \cdot 8.2 \approx 77.92 \cdot 0.866 \cdot 8.2 \approx 553.36 \, м$

Округляя до трех значащих цифр:

Ответ: дальность полёта мяча составляет $553 \, м$.

время, за которое мяч достиг наивысшей точки траектории

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости $v_y$ обращается в ноль. Уравнение для вертикальной скорости: $v_y(t) = v_0 \sin\alpha - gt$. При $t = t_{подъема}$, $v_y(t_{подъема}) = 0$: $0 = v_0 \sin\alpha - g t_{подъема}$

Отсюда находим время подъема: $t_{подъема} = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}$

Подставим значения: $t_{подъема} = \frac{77.92 \cdot \sin30^\circ}{9.8} = \frac{77.92 \cdot 0.5}{9.8} = \frac{38.96}{9.8} \approx 3.9755 \, с$

Округляя до трех значащих цифр:

Ответ: мяч достиг наивысшей точки траектории за $3.98 \, с$.

максимальную высоту полёта

Максимальная высота полёта $H_{max}$ — это вертикальная координата $y$ в момент времени $t = t_{подъема}$. Высота измеряется от уровня земли (ось $OX$). $H_{max} = y(t_{подъема}) = h_0 + v_0 \sin\alpha \cdot t_{подъема} - \frac{g t_{подъема}^2}{2}$

Можно использовать более простую формулу, подставив выражение для $t_{подъема}$: $H_{max} = h_0 + \frac{(v_0 \sin\alpha)^2}{2g}$

Подставим числовые значения: $H_{max} = 10.0 + \frac{(77.92 \cdot \sin30^\circ)^2}{2 \cdot 9.8} = 10.0 + \frac{(77.92 \cdot 0.5)^2}{19.6} = 10.0 + \frac{(38.96)^2}{19.6} = 10.0 + \frac{1517.88}{19.6} \approx 10.0 + 77.44 \approx 87.44 \, м$

Округляя до одной цифры после запятой (как в $h_0$):

Ответ: максимальная высота полёта равна $87.4 \, м$.

15.1 [324] Назовите силы, действующие на сило-мер — медицинский динамометр, сжатый рукой человека (рис. II-57).

Рис. II-57

Решение

На медицинский динамометр (силомер), сжатый в руке человека, действуют следующие силы:

1. Сила тяжести ($ \vec{F}_{тяж} $). Эта сила вызвана притяжением динамометра к Земле, так как он обладает массой. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз и приложена к центру масс прибора.

2. Сила реакции опоры ($ \vec{N} $). Динамометр лежит на ладони, которая не дает ему упасть. Со стороны ладони на динамометр действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх. Эта сила по модулю равна силе тяжести и уравновешивает её, если динамометр неподвижен.

3. Силы сжатия со стороны руки. Это активные силы, которые прикладывает человек для измерения. Они состоят из двух основных компонент:
- сила, с которой пальцы давят на одну сторону динамометра;
- сила, с которой ладонь давит на противоположную сторону.
Эти две силы направлены навстречу друг другу и вызывают деформацию (сжатие) упругого элемента динамометра.

4. Сила упругости ($ \vec{F}_{упр} $). В ответ на деформацию сжатия внутри динамометра возникает сила упругости. Она стремится вернуть прибор в исходное состояние, направлена против сжимающих сил (то есть, наружу) и по величине равна приложенной силе сжатия. Именно величину этой силы и показывает стрелка на шкале прибора.

Ответ: На динамометр действуют сила тяжести, сила реакции опоры со стороны ладони, силы сжатия (со стороны пальцев и ладони) и возникающая в результате деформации сила упругости.

15.2° [325°] При колебательном движении шарик, подвешенный к закреплённой пружине, периодически оказывается в положениях 1, 0, 2 (рис. II-58). Взаимодействием каких тел обусловлено движение шарика вниз? вверх?

Рис. II-58

На шарик в процессе его колебательного движения постоянно действуют силы, обусловленные его взаимодействием с двумя телами:

1. С Землей. Это взаимодействие проявляется как сила тяжести ($F_т$), которая всегда направлена вертикально вниз.
2. С пружиной. Это взаимодействие проявляется как сила упругости ($F_{упр}$), которая направлена в сторону, противоположную деформации пружины (вверх при растяжении, вниз при сжатии).

Колебательное движение является результатом совместного действия этих двух сил. Точка 0 на рисунке – это положение равновесия, в котором сила тяжести уравновешена силой упругости.

Движение шарика вниз

Движение шарика вниз (из положения 1 в положение 2) обусловлено его взаимодействием с Землей и пружиной. Когда шарик находится в верхней части траектории (выше положения равновесия 0), действующая на него сила тяжести превосходит силу упругости пружины. Возникающая результирующая сила направлена вниз, что заставляет шарик двигаться вниз с ускорением. Хотя обе силы участвуют в движении, именно притяжение к Земле является причиной, инициирующей движение из верхней точки.

Ответ: Движение шарика вниз обусловлено его взаимодействием с Землей и пружиной.

Движение шарика вверх

Движение шарика вверх (из положения 2 в положение 1) также обусловлено его взаимодействием с пружиной и Землей. В нижнем положении 2 пружина растянута сильнее всего, поэтому сила упругости, направленная вверх, значительно превышает силу тяжести. Результирующая сила направлена вверх, сообщая шарику ускорение в этом направлении. Хотя сила тяжести продолжает действовать, именно сила упругости является причиной, инициирующей движение из нижней точки.

Ответ: Движение шарика вверх обусловлено его взаимодействием с пружиной и Землей.