Страница 46 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

14.9 [н] Ускорение свободного падения на Венере $g_1 = 8,8 \text{ м/с}^2$, на Луне $g_2 = 1,6 \text{ м/с}^2$. Во сколько раз различаются пути, пройденные свободно падающими предметами на этих небесных телах:

а) за первую секунду движения;

б) за вторую секунду движения?

Дано:

Ускорение свободного падения на Венере: $g_1 = 8,8 \, м/с^2$
Ускорение свободного падения на Луне: $g_2 = 1,6 \, м/с^2$
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) Отношение путей за первую секунду движения: $\frac{S_{1(a)}}{S_{2(a)}}$
б) Отношение путей за вторую секунду движения: $\frac{S_{1(b)}}{S_{2(b)}}$

Решение:

Свободное падение является равноускоренным движением с начальной скоростью, равной нулю ($v_0 = 0$). Путь, пройденный телом при таком движении, определяется по формуле: $S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$. Поскольку $v_0 = 0$ и ускорение $a$ равно ускорению свободного падения $g$, формула принимает вид: $S = \frac{gt^2}{2}$.

а) за первую секунду движения

Путь, пройденный за первую секунду движения, — это путь, который тело проходит за время $t = 1$ с.
Найдем пути для Венеры ($S_{1(a)}$) и Луны ($S_{2(a)}$):
$S_{1(a)} = \frac{g_1 t^2}{2}$
$S_{2(a)} = \frac{g_2 t^2}{2}$
Найдем, во сколько раз различаются эти пути, вычислив их отношение. Время $t=1$ с одинаково для обоих случаев.
$\frac{S_{1(a)}}{S_{2(a)}} = \frac{\frac{g_1 t^2}{2}}{\frac{g_2 t^2}{2}} = \frac{g_1}{g_2} = \frac{8,8}{1,6} = 5,5$.

Ответ: путь, пройденный на Венере за первую секунду, в 5,5 раз больше пути, пройденного на Луне.

б) за вторую секунду движения

Путь, пройденный за вторую секунду движения ($S_{b}$), равен разности между путем, пройденным за две секунды ($S(t=2)$), и путем, пройденным за одну секунду ($S(t=1)$).
$S_{b} = S(t=2) - S(t=1) = \frac{g \cdot 2^2}{2} - \frac{g \cdot 1^2}{2} = \frac{4g}{2} - \frac{g}{2} = \frac{3g}{2}$.
Найдем пути, пройденные за вторую секунду на Венере ($S_{1(b)}$) и на Луне ($S_{2(b)}$):
$S_{1(b)} = \frac{3g_1}{2}$
$S_{2(b)} = \frac{3g_2}{2}$
Найдем отношение этих путей:
$\frac{S_{1(b)}}{S_{2(b)}} = \frac{\frac{3g_1}{2}}{\frac{3g_2}{2}} = \frac{g_1}{g_2} = \frac{8,8}{1,6} = 5,5$.

Ответ: путь, пройденный на Венере за вторую секунду, в 5,5 раз больше пути, пройденного на Луне.

14.10* [314*] Камень упал в воду с крутой скалы. Звук его падения был услышан на вершине скалы через 5 с после начала движения камня. Определите высоту скалы, если скорость звука в воздухе равна 340 м/с.

Дано:

Все данные представлены в системе СИ.

Общее время от начала движения камня до прихода звука, $t_{общ}$ = 5 с

Скорость звука в воздухе, $v_{зв}$ = 340 м/с

Начальная скорость камня, $v_0$ = 0 м/с (камень падает из состояния покоя)

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Высоту скалы, $h$

Решение:

Общее время $t_{общ}$ состоит из двух частей: времени падения камня ($t_{пад}$) и времени, за которое звук от всплеска доходит до вершины скалы ($t_{зв}$).

$t_{общ} = t_{пад} + t_{зв}$

Высоту скалы $h$ можно определить из уравнений движения для камня и для звука.

1. Движение камня — это свободное падение без начальной скорости. Высота скалы описывается формулой:

$h = \frac{g t_{пад}^2}{2}$ (1)

2. Движение звука — это равномерное прямолинейное движение. Высота скалы, которую проходит звук, равна:

$h = v_{зв} \cdot t_{зв}$ (2)

Из основного уравнения времени выразим время движения звука $t_{зв}$:

$t_{зв} = t_{общ} - t_{пад} = 5 - t_{пад}$

Подставим это выражение в формулу (2):

$h = v_{зв} \cdot (5 - t_{пад})$ (3)

Теперь мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (3), так как левые части (высота $h$) равны:

$\frac{g t_{пад}^2}{2} = v_{зв} \cdot (5 - t_{пад})$

Подставим известные значения $g$ и $v_{зв}$ и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$ относительно $t_{пад}$:

$\frac{9,8}{2} t_{пад}^2 = 340 \cdot (5 - t_{пад})$

$4,9 t_{пад}^2 = 1700 - 340 t_{пад}$

$4,9 t_{пад}^2 + 340 t_{пад} - 1700 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 340^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot (-1700) = 115600 + 33320 = 148920$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{148920} \approx 385,9$

Найдем время падения $t_{пад}$. Поскольку время не может быть отрицательным, мы используем только положительный корень уравнения:

$t_{пад} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-340 + 385,9}{2 \cdot 4,9} = \frac{45,9}{9,8} \approx 4,684$ с

Теперь, зная время падения, можем вычислить высоту скалы $h$ по формуле (1):

$h = \frac{g t_{пад}^2}{2} \approx \frac{9,8 \cdot (4,684)^2}{2} \approx \frac{9,8 \cdot 21,94}{2} \approx 107,5$ м

Проверим результат, вычислив высоту по формуле (3). Сначала найдем $t_{зв}$:

$t_{зв} = 5 - t_{пад} \approx 5 - 4,684 = 0,316$ с

$h = v_{зв} \cdot t_{зв} \approx 340 \cdot 0,316 \approx 107,44$ м

Результаты, полученные двумя способами, практически совпадают (небольшая разница обусловлена округлением). Таким образом, высота скалы составляет примерно 107,5 м.

Ответ: высота скалы приблизительно равна 107,5 м.

14.11 [н] Тело начинает движение из точки с координатой $y_0 = 7$ м (рис. II-49). Напишите уравнение зависимости координаты от времени, если:

1) начальная скорость тела равна 0;

2) тело брошено вниз с начальной скоростью 2 м/с.

Рис. II-49

Дано:

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Решение:

Общий вид уравнения движения тела при равноускоренном движении вдоль оси Y имеет вид:

$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2}$

где $y_0$ — начальная координата, $v_{0y}$ — проекция начальной скорости на ось Y, $a_y$ — проекция ускорения на ось Y, а $t$ — время.

Согласно условию и рисунку II-49, ось Y направлена вертикально вверх. Начало отсчета ($y=0$) находится на поверхности земли. Тело начинает движение с высоты $y_0 = 7$ м.

Ускорение свободного падения $\vec{g}$ направлено вертикально вниз. Следовательно, его проекция на направленную вверх ось Y будет отрицательной: $a_y = -g \approx -9.8$ м/с².

Подставим известные значения в общую формулу:

$y(t) = 7 + v_{0y} t + \frac{(-9.8) t^2}{2} = 7 + v_{0y} t - 4.9 t^2$

Теперь рассмотрим каждый из двух случаев.

1) начальная скорость тела равна 0

В этом случае начальная скорость тела равна нулю ($v_0 = 0$). Следовательно, и ее проекция на ось Y также равна нулю: $v_{0y} = 0$.

Подставляем это значение в полученное ранее уравнение:

$y_1(t) = 7 + 0 \cdot t - 4.9 t^2$

Таким образом, уравнение зависимости координаты от времени для первого случая имеет вид:

$y_1(t) = 7 - 4.9 t^2$

Ответ: $y_1(t) = 7 - 4.9 t^2$ (где $y$ в метрах, $t$ в секундах).

2) тело брошено вниз с начальной скоростью 2 м/с

В этом случае тело имеет начальную скорость $v_0 = 2$ м/с, которая направлена вниз. Поскольку ось Y направлена вверх, проекция начальной скорости на ось Y будет отрицательной: $v_{0y} = -2$ м/с.

Подставляем это значение в уравнение:

$y_2(t) = 7 + (-2) \cdot t - 4.9 t^2$

Таким образом, уравнение зависимости координаты от времени для второго случая:

$y_2(t) = 7 - 2t - 4.9 t^2$

Ответ: $y_2(t) = 7 - 2t - 4.9 t^2$ (где $y$ в метрах, $t$ в секундах).

14.12 [н] В каком направлении по вертикали и с какой начальной скоростью двигалось тело, если график зависимости пройденного телом пути от времени представляет собой кривую, изображённую на рисунке II-50?

Рис. II-50

Дано:

График зависимости пройденного пути `s` от времени `t` для тела, движущегося по вертикали.

Из графика: при `t_1 = 1` с, `s_1 = 5` м; при `t_2 = 2` с, `s_2 = 20` м.

Найти:

Направление движения - ?

Начальная скорость `v_0` - ?

Решение:

Представленный график зависимости пройденного пути от времени `s(t)` является кривой, похожей на параболу. Это характерно для равноускоренного движения, которое описывается уравнением:

`s = v_0 t + \frac{at^2}{2}`

где `v_0` — начальная скорость, `a` — ускорение, `t` — время.

Поскольку движение происходит по вертикали, тело движется под действием силы тяжести, и его ускорение равно ускорению свободного падения `a = g`. Ускорение `g` всегда направлено вертикально вниз.

Из графика видно, что с течением времени путь, проходимый телом за единицу времени, увеличивается (наклон касательной к кривой растет). Это означает, что скорость тела возрастает. Скорость может возрастать только в том случае, когда векторы скорости и ускорения направлены в одну сторону. Так как ускорение `g` направлено вниз, то и вектор скорости тела также направлен вниз. Следовательно, тело движется вертикально вниз.

Для определения начальной скорости `v_0` и ускорения `a` воспользуемся данными с графика. Составим систему уравнений, подставив в формулу движения координаты двух точек с графика:

1. Для точки (`t_1 = 1` с, `s_1 = 5` м):

`5 = v_0 \cdot 1 + \frac{a \cdot 1^2}{2} \implies 5 = v_0 + \frac{a}{2}`

2. Для точки (`t_2 = 2` с, `s_2 = 20` м):

`20 = v_0 \cdot 2 + \frac{a \cdot 2^2}{2} \implies 20 = 2v_0 + 2a \implies 10 = v_0 + a`

Получили систему двух линейных уравнений:

`\begin{cases} v_0 + \frac{a}{2} = 5 \\ v_0 + a = 10 \end{cases}`

Вычтем первое уравнение из второго:

`(v_0 + a) - (v_0 + \frac{a}{2}) = 10 - 5`

`\frac{a}{2} = 5`

`a = 10 \text{ м/с}^2`

Полученное значение ускорения соответствует ускорению свободного падения (`g \approx 10 \text{ м/с}^2`).

Теперь найдем начальную скорость `v_0`, подставив значение `a` во второе уравнение:

`v_0 + 10 = 10`

`v_0 = 0 \text{ м/с}`

Таким образом, тело начало свое движение из состояния покоя.

Ответ:

Тело двигалось вертикально вниз с начальной скоростью `v_0 = 0` м/с.

14.13 [312] Брошенный вертикально вверх мяч массой 100 г вернулся на землю через 3 с. Определите силу тяжести, действующую на мяч, начальную скорость мяча и высоту, на которую он поднялся.

Дано:

Масса мяча, $m = 100$ г
Общее время полета, $t_{общ} = 3$ с
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

Силу тяжести $F_т$ — ?
Начальную скорость $v_0$ — ?
Максимальную высоту подъема $h$ — ?

Решение:

силу тяжести, действующую на мяч

Сила тяжести, действующая на тело, вычисляется по формуле второго закона Ньютона для силы тяжести:

$F_т = m \cdot g$

Подставим известные значения в систему СИ:

$F_т = 0.1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 0.98 \text{ Н}$

Ответ: $0.98$ Н.

начальную скорость мяча

Поскольку мяч брошен вертикально вверх и вернулся в ту же точку, его движение симметрично (если пренебречь сопротивлением воздуха). Это значит, что время подъема на максимальную высоту ($t_{подъема}$) равно времени падения с этой высоты.

$t_{подъема} = \frac{t_{общ}}{2} = \frac{3 \text{ с}}{2} = 1.5 \text{ с}$

В верхней точке траектории скорость мяча равна нулю. Зная это, мы можем найти начальную скорость из уравнения скорости для равнозамедленного движения:

$v = v_0 - gt$

Для момента времени $t = t_{подъема}$, конечная скорость $v=0$. Тогда:

$0 = v_0 - g \cdot t_{подъема}$

Отсюда выражаем начальную скорость:

$v_0 = g \cdot t_{подъема}$

Подставляем значения:

$v_0 = 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1.5 \text{ с} = 14.7 \text{ м/с}$

Ответ: $14.7$ м/с.

высоту, на которую он поднялся

Максимальную высоту подъема можно найти, используя формулу, не содержащую время:

$h = \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим в эту формулу найденное значение начальной скорости:

$h = \frac{(14.7 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{216.09 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19.6 \text{ м/с}^2} \approx 11.025 \text{ м}$

Также можно использовать формулу высоты для движения с начальной скоростью вверх:

$h = v_0 t_{подъема} - \frac{g t_{подъема}^2}{2}$

$h = 14.7 \text{ м/с} \cdot 1.5 \text{ с} - \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (1.5 \text{ с})^2}{2} = 22.05 \text{ м} - \frac{9.8 \cdot 2.25}{2} \text{ м} = 22.05 \text{ м} - 11.025 \text{ м} = 11.025 \text{ м}$

Ответ: $11.025$ м.

14.14 [н] График модуля скорости мяча в поле силы тяжести представлен на рисунке II-51. Определите направления оси координат и начальной скорости мяча. Как двигался мяч? Определите его начальную скорость, путь и перемещение за время наблюдения (примите $g = 10 \text{ м/с}^2$).

$v, \text{ м/с}$

$t, \text{ с}$

Рис. II-51

Дано:

График зависимости модуля скорости от времени $v(t)$.

$v_0 = 10 \text{ м/с}$ (из графика при $t=0 \text{ с}$)

$t_{max\_height} = 1 \text{ с}$ (из графика при $v=0 \text{ м/с}$)

$t_{total} = 3 \text{ с}$ (время наблюдения)

$v_{final} = 20 \text{ м/с}$ (из графика при $t=3 \text{ с}$)

$g = 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

1. Направление оси координат и начальной скорости.

2. Описание движения мяча.

3. Начальную скорость $v_0$, путь $S$, перемещение $\Delta \vec{r}$ за время наблюдения.

Решение:

Определите направление оси координат и начальной скорости.

На графике мы видим, что модуль скорости мяча сначала уменьшается до нуля, а затем возрастает. Такое движение характерно для тела, брошенного вертикально вверх в поле силы тяжести. Ускорение свободного падения $\vec{g}$ всегда направлено вертикально вниз. Поскольку скорость сначала уменьшается, это означает, что вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ направлен в сторону, противоположную вектору ускорения $\vec{g}$. Следовательно, начальная скорость мяча направлена вертикально вверх. Для описания такого движения удобно выбрать ось координат (например, OY), направленную также вертикально вверх. В этом случае проекция начальной скорости на ось будет положительной ($v_{0y} > 0$), а проекция ускорения свободного падения - отрицательной ($a_y = -g$).

Ответ: Начальная скорость направлена вертикально вверх. Целесообразно выбрать ось координат, также направленную вертикально вверх.

Как двигался мяч?

Анализируя график, можно разделить движение на два этапа:
1. Временной интервал от $t=0$ до $t=1$ с: модуль скорости линейно уменьшается с $10$ м/с до $0$. Это соответствует равнозамедленному движению мяча вертикально вверх до достижения им максимальной высоты, где он на мгновение останавливается.
2. Временной интервал от $t=1$ с до $t=3$ с: модуль скорости линейно возрастает с $0$ до $20$ м/с. Это соответствует равноускоренному движению мяча (свободному падению) вертикально вниз.

Ответ: В течение первой секунды ($0 \le t \le 1$ с) мяч двигался равнозамедленно вертикально вверх, достиг максимальной высоты. Затем, в течение следующих двух секунд ($1 \le t \le 3$ с), он двигался равноускоренно вертикально вниз.

Определите его начальную скорость, путь и перемещение за время наблюдения.

1. Начальная скорость ($v_0$): Из графика видно, что в начальный момент времени $t=0$ с модуль скорости равен $10$ м/с.

$v_0 = 10 \text{ м/с}$

2. Путь ($S$): Пройденный путь равен площади фигуры под графиком модуля скорости от времени. Эта фигура состоит из двух треугольников.

Путь наверх ($S_{вверх}$) за время от $0$ до $1$ с:
$S_{вверх} = \frac{1}{2} \cdot (1 \text{ с}) \cdot (10 \text{ м/с}) = 5 \text{ м}$

Путь вниз ($S_{вниз}$) за время от $1$ до $3$ с:
$S_{вниз} = \frac{1}{2} \cdot (3 \text{ с} - 1 \text{ с}) \cdot (20 \text{ м/с}) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 20 = 20 \text{ м}$

Общий путь $S$ за все время наблюдения равен сумме путей вверх и вниз:
$S = S_{вверх} + S_{вниз} = 5 \text{ м} + 20 \text{ м} = 25 \text{ м}$

3. Перемещение ($\Delta y$): Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Если направить ось OY вверх, то перемещение при движении вверх будет положительным, а при движении вниз — отрицательным.

Перемещение за время от $0$ до $3$ с:
$\Delta y = (+S_{вверх}) + (-S_{вниз}) = 5 \text{ м} - 20 \text{ м} = -15 \text{ м}$

Знак «минус» указывает на то, что конечное положение мяча находится на $15$ м ниже начального. Модуль перемещения равен $15$ м.

Ответ: Начальная скорость $v_0 = 10$ м/с. Путь $S = 25$ м. Перемещение составляет $15$ м и направлено вертикально вниз (противоположно начальной скорости), его проекция на направленную вверх ось OY равна $\Delta y = -15$ м.

14.15 [н] На рисунке II-52 представлены графики пути двух тел А и В, двигавшихся в вертикальном направлении. Как направлена и чему равна начальная скорость каждого из тел? Какой знак имеет проекция вектора начальной скорости на ось $Y$, если ось направлена вверх? Можно ли утверждать, что к моменту времени, соответствующему пересечению графиков, тела прошли одинаковый путь? Находились ли они в одной и той же точке пространства?

$s$, м

$t$, с

Рис. II-52

Дано:

Графики зависимости пути $s$ от времени $t$ для двух тел А и В, движущихся вертикально. Ось Y направлена вверх.

Найти:

1. Направление и значение начальной скорости каждого тела.
2. Знак проекции вектора начальной скорости на ось Y.
3. Равенство путей в момент пересечения графиков.
4. Находились ли тела в одной точке пространства в момент пересечения графиков.

Решение:

Анализ проведем на основе представленных графиков зависимости пути $s$ от времени $t$. Мгновенная скорость тела в любой момент времени определяется как тангенс угла наклона касательной к графику $s(t)$ в соответствующей точке: $v = \frac{ds}{dt}$.

Как направлена и чему равна начальная скорость каждого из тел?

Начальная скорость $v_0$ — это скорость тела в момент времени $t=0$. Чтобы найти ее, нужно определить наклон касательной к графику в точке $(0,0)$.
Для тела А:
Касательная к графику А в точке $t=0$ имеет положительный наклон. Проведем касательную через начало координат. Мы видим, что она проходит примерно через точку $(t=1 \text{ с}, s=20 \text{ м})$. Таким образом, начальная скорость тела А равна:
$v_{0A} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \approx \frac{20 \text{ м} - 0 \text{ м}}{1 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$.
Поскольку путь $s$ со временем увеличивается, тело движется в одном направлении. Так как движение вертикальное и по условию ось Y направлена вверх, то вектор начальной скорости направлен вверх.
Для тела B:
Касательная к графику B в точке $t=0$ горизонтальна. Это означает, что ее наклон равен нулю.
$v_{0B} = 0 \text{ м/с}$.
Тело B начинает движение из состояния покоя.

Ответ: Начальная скорость тела А направлена вверх и равна примерно $20 \text{ м/с}$. Начальная скорость тела В равна нулю.

Какой знак имеет проекция вектора начальной скорости на ось Y, если ось направлена вверх?

Проекция вектора скорости на ось Y, $v_y$, будет положительной, если вектор скорости сонаправлен с осью Y, и отрицательной, если направлен противоположно.
Для тела А:
Вектор начальной скорости $\vec{v}_{0A}$ направлен вверх, так же как и ось Y. Следовательно, его проекция на ось Y положительна: $v_{0yA} > 0$.
Для тела B:
Вектор начальной скорости $\vec{v}_{0B}$ равен нулю. Следовательно, его проекция на ось Y также равна нулю: $v_{0yB} = 0$.

Ответ: Проекция начальной скорости тела А на ось Y имеет положительный знак. Проекция начальной скорости тела В равна нулю.

Можно ли утверждать, что к моменту времени, соответствующему пересечению графиков, тела прошли одинаковый путь?

Точка пересечения двух графиков на плоскости $(t, s)$ — это точка, в которой значения времени $t$ и пути $s$ для обоих тел совпадают.
Из графика видно, что кривые A и B пересекаются в момент времени $t \approx 1,8 \text{ с}$. В этот момент значение на оси ординат (оси пути $s$) для обоих графиков одинаково и составляет $s \approx 20 \text{ м}$.
Таким образом, к моменту пересечения графиков оба тела прошли одинаковый путь, равный примерно $20 \text{ м}$.

Ответ: Да, можно утверждать, что в момент времени, соответствующий пересечению графиков, тела прошли одинаковый путь.

Находились ли они в одной и той же точке пространства?

График показывает пройденный путь $s$, а не координату $y$. Координата тела в любой момент времени $t$ связана с пройденным путем и начальной координатой $y_0$ соотношением $y(t) = y_0 + s(t)$ (для движения в положительном направлении оси Y).
В момент времени $t_x$, когда графики пересекаются, мы имеем $s_A(t_x) = s_B(t_x)$.
Чтобы тела находились в одной и той же точке пространства, их координаты должны быть равны: $y_A(t_x) = y_B(t_x)$.
Это означает, что должно выполняться равенство:
$y_A(0) + s_A(t_x) = y_B(0) + s_B(t_x)$.
Поскольку $s_A(t_x) = s_B(t_x)$, это равенство выполняется только в том случае, если начальные координаты тел были одинаковы: $y_A(0) = y_B(0)$.
В условии задачи не сказано, что тела начали движение из одной и той же точки. Следовательно, мы не можем утверждать, что в момент пересечения графиков они находились в одной точке пространства. Это было бы так только при условии, что они стартовали из одной точки.

Ответ: Не обязательно. Тела находились бы в одной точке пространства, только если бы они начали свое движение из одной и той же начальной точки.

14.16* [313*] С вертолёта, находящегося на высоте $100 \text{ м}$ над землёй, выпал предмет массой $200 \text{ г}$. Чему равна сила тяжести, действующая на предмет? Через какое время предмет достигнет земли, если вертолёт:

а) поднимается со скоростью $3 \text{ м/с}$;

б) опускается со скоростью $3 \text{ м/с}$;

в) неподвижен относительно земли?

Дано:

$h = 100$ м
$m = 200$ г
$v_{\text{верт}} = 3$ м/с
$g \approx 9.8$ м/с²

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

$F_т - ?$
$t_а - ?$
$t_б - ?$
$t_в - ?$

Решение:

Сначала найдем силу тяжести, действующую на предмет. Она не зависит от скорости вертолета и определяется по формуле: $F_т = m \cdot g$

Подставим значения: $F_т = 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 1.96 \text{ Н}$

Далее найдем время падения предмета для каждого из трех случаев. Движение предмета является равноускоренным. Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) расположим на поверхности земли.

В этом случае уравнение движения предмета имеет вид: $y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$ где $y_0 = h = 100$ м — начальная высота, $v_{0y}$ — начальная скорость предмета (равна скорости вертолета в момент, когда предмет выпал), $g$ — ускорение свободного падения.

В момент падения на землю координата предмета будет равна нулю, $y(t) = 0$. Таким образом, для нахождения времени падения $t$ нужно решить квадратное уравнение: $0 = h + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$ или $\frac{g}{2}t^2 - v_{0y}t - h = 0$

а) поднимается со скоростью 3 м/с

В этом случае начальная скорость предмета направлена вверх, поэтому $v_{0y} = +3$ м/с. Уравнение принимает вид: $\frac{9.8}{2}t^2 - 3t - 100 = 0$ $4.9t^2 - 3t - 100 = 0$

Решаем квадратное уравнение, где $a=4.9, b=-3, c=-100$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot (-100) = 9 + 1960 = 1969$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{1969} \approx 44.37$ с. $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 44.37}{2 \cdot 4.9}$

Так как время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком "плюс": $t_а = \frac{3 + 44.37}{9.8} = \frac{47.37}{9.8} \approx 4.83 \text{ с}$

Ответ: $F_т = 1.96$ Н; $t_а \approx 4.83$ с.

б) опускается со скоростью 3 м/с

В этом случае начальная скорость предмета направлена вниз, поэтому $v_{0y} = -3$ м/с. Уравнение принимает вид: $\frac{9.8}{2}t^2 - (-3)t - 100 = 0$ $4.9t^2 + 3t - 100 = 0$

Решаем квадратное уравнение, где $a=4.9, b=3, c=-100$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot (-100) = 9 + 1960 = 1969$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{1969} \approx 44.37$ с. $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 44.37}{2 \cdot 4.9}$

Так как время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком "плюс": $t_б = \frac{-3 + 44.37}{9.8} = \frac{41.37}{9.8} \approx 4.22 \text{ с}$

Ответ: $F_т = 1.96$ Н; $t_б \approx 4.22$ с.

в) неподвижен относительно земли

В этом случае начальная скорость предмета равна нулю, $v_{0y} = 0$ м/с. Уравнение движения упрощается: $h = \frac{gt^2}{2}$

Выразим время $t$: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим значения: $t_в = \sqrt{\frac{2 \cdot 100 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{200}{9.8}} \approx \sqrt{20.41} \approx 4.52 \text{ с}$

Ответ: $F_т = 1.96$ Н; $t_в \approx 4.52$ с.