Номер 14.16, страница 46 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.16, страница 46.

14.16* [313*] С вертолёта, находящегося на высоте $100 \text{ м}$ над землёй, выпал предмет массой $200 \text{ г}$. Чему равна сила тяжести, действующая на предмет? Через какое время предмет достигнет земли, если вертолёт:

а) поднимается со скоростью $3 \text{ м/с}$;

б) опускается со скоростью $3 \text{ м/с}$;

в) неподвижен относительно земли?

Дано:

$h = 100$ м
$m = 200$ г
$v_{\text{верт}} = 3$ м/с
$g \approx 9.8$ м/с²

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

$F_т - ?$
$t_а - ?$
$t_б - ?$
$t_в - ?$

Решение:

Сначала найдем силу тяжести, действующую на предмет. Она не зависит от скорости вертолета и определяется по формуле: $F_т = m \cdot g$

Подставим значения: $F_т = 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 1.96 \text{ Н}$

Далее найдем время падения предмета для каждого из трех случаев. Движение предмета является равноускоренным. Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) расположим на поверхности земли.

В этом случае уравнение движения предмета имеет вид: $y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$ где $y_0 = h = 100$ м — начальная высота, $v_{0y}$ — начальная скорость предмета (равна скорости вертолета в момент, когда предмет выпал), $g$ — ускорение свободного падения.

В момент падения на землю координата предмета будет равна нулю, $y(t) = 0$. Таким образом, для нахождения времени падения $t$ нужно решить квадратное уравнение: $0 = h + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$ или $\frac{g}{2}t^2 - v_{0y}t - h = 0$

а) поднимается со скоростью 3 м/с

В этом случае начальная скорость предмета направлена вверх, поэтому $v_{0y} = +3$ м/с. Уравнение принимает вид: $\frac{9.8}{2}t^2 - 3t - 100 = 0$ $4.9t^2 - 3t - 100 = 0$

Решаем квадратное уравнение, где $a=4.9, b=-3, c=-100$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot (-100) = 9 + 1960 = 1969$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{1969} \approx 44.37$ с. $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 44.37}{2 \cdot 4.9}$

Так как время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком "плюс": $t_а = \frac{3 + 44.37}{9.8} = \frac{47.37}{9.8} \approx 4.83 \text{ с}$

Ответ: $F_т = 1.96$ Н; $t_а \approx 4.83$ с.

б) опускается со скоростью 3 м/с

В этом случае начальная скорость предмета направлена вниз, поэтому $v_{0y} = -3$ м/с. Уравнение принимает вид: $\frac{9.8}{2}t^2 - (-3)t - 100 = 0$ $4.9t^2 + 3t - 100 = 0$

Решаем квадратное уравнение, где $a=4.9, b=3, c=-100$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot (-100) = 9 + 1960 = 1969$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{1969} \approx 44.37$ с. $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 44.37}{2 \cdot 4.9}$

Так как время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком "плюс": $t_б = \frac{-3 + 44.37}{9.8} = \frac{41.37}{9.8} \approx 4.22 \text{ с}$

Ответ: $F_т = 1.96$ Н; $t_б \approx 4.22$ с.

в) неподвижен относительно земли

В этом случае начальная скорость предмета равна нулю, $v_{0y} = 0$ м/с. Уравнение движения упрощается: $h = \frac{gt^2}{2}$

Выразим время $t$: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим значения: $t_в = \sqrt{\frac{2 \cdot 100 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{200}{9.8}} \approx \sqrt{20.41} \approx 4.52 \text{ с}$

Ответ: $F_т = 1.96$ Н; $t_в \approx 4.52$ с.